Создайте матрицу и вычислите приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы. В этой форме матрица имеет начальное значение 1с в положении поворота каждого столбца.

A = magic(3)

A = 3×3

     8     1     6
     3     5     7
     4     9     2

RA = rref(A)

RA = 3×3

     1     0     0
     0     1     0
     0     0     1

Матрица магического квадрата 3 на 3 является полной рангом, поэтому приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы является матрицей тождеств.

Теперь вычислите приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы магической квадратной матрицы 4 на 4. Задайте два выхода, чтобы вернуть ненулевые сводные столбцы. Поскольку эта матрица неполного ранга, результат не является тождествами матрицей.

B = magic(4)

B = 4×4

    16     2     3    13
     5    11    10     8
     9     7     6    12
     4    14    15     1

[RB,p] = rref(B)

RB = 4×4

     1     0     0     1
     0     1     0     3
     0     0     1    -3
     0     0     0     0

p = 1×3

     1     2     3

Используйте исключение по Гауссу-Жордану на дополненных матрицах, чтобы решить линейную систему и вычислить обратную матрицу. Эти методы в основном представляют академический интерес, поскольку существуют более эффективные и численно стабильные способы вычисления этих значений.

Создайте магическую квадратную матрицу 3 на 3. Добавьте дополнительный столбец в конец матрицы. Эта дополненная матрица представляет линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$, с дополнительным столбцом, соответствующим $\mathit{b}$.

A = magic(3);
A(:,4) = [1; 1; 1]

A = 3×4

     8     1     6     1
     3     5     7     1
     4     9     2     1

Вычислите приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы A. Индексируйте в R для извлечения записей в дополнительном (дополненном) столбце, который содержит решение для линейной системы.

R = rref(A)

R = 3×4

    1.0000         0         0    0.0667
         0    1.0000         0    0.0667
         0         0    1.0000    0.0667

x = R(:,end)

x = 3×1

    0.0667
    0.0667
    0.0667

Более эффективный способ решения этой линейной системы - это оператор обратной косой черты, x = A\b.

Создайте аналогичную матрицу магического квадрата, но на этот раз прибавьте матрицу тождеств того же размера к конечным столбцам.

A = [magic(3) eye(3)]

A = 3×6

     8     1     6     1     0     0
     3     5     7     0     1     0
     4     9     2     0     0     1

Вычислите приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы A. В этой форме дополнительные столбцы содержат обратную матрицу для магической квадратной матрицы 3 на 3.

R = rref(A)

R = 3×6

    1.0000         0         0    0.1472   -0.1444    0.0639
         0    1.0000         0   -0.0611    0.0222    0.1056
         0         0    1.0000   -0.0194    0.1889   -0.1028

inv_A = R(:,4:end)

inv_A = 3×3

    0.1472   -0.1444    0.0639
   -0.0611    0.0222    0.1056
   -0.0194    0.1889   -0.1028

Более эффективный способ вычисления обратной матрицы - это inv(A).

Рассмотрим линейную систему уравнений с четырьмя уравнениями и тремя неизвестными.

Создайте дополненную матрицу, которая представляет систему уравнений.

A = [1  1  5;
     2  1  8;
     1  2  7;
    -1  1 -1];
b = [6 8 10 2]';
M = [A b];

Использование rref для выражения системы в приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы.

R = rref(M)

R = 4×4

     1     0     3     2
     0     1     2     4
     0     0     0     0
     0     0     0     0

Первые две строки R содержат уравнения, которые выражают ${\mathit{x}}_1$ и ${\mathit{x}}_2$ с точки зрения ${\mathit{x}}_3$. Вторые две строки подразумевают, что существует по крайней мере одно решение, которое подходит для правого вектора (в противном случае одно из уравнений считалось бы $1=0$). Третий столбец не содержит центр, поэтому ${\mathit{x}}_3$ является независимой переменной. Поэтому существует бесконечно много решений для ${\mathit{x}}_1$ и ${\mathit{x}}_2$, и ${\mathit{x}}_3$ может быть выбран свободно.

Для примера, если ${\mathit{x}}_3=1$, затем ${\mathit{x}}_1=-1$ и ${\mathit{x}}_2=2$.

С числовой точки зрения более эффективный способ решения этой системы уравнений - это x0 = A\b, который (для прямоугольной матрицы A) вычисляет решение методом наименьших квадратов. В этом случае можно проверить точность решения с помощью norm(A*x0-b)/norm(b) и уникальность решения путем проверки, если rank(A) равен количеству неизвестных. Если существует более одного решения, то все они имеют форму $\mathit{x}={\mathit{x}}_0+\mathrm{nt}$, где $\mathit{n}$ - ядро пространства null(A) и $\mathit{t}$ может быть выбран свободно.