Документация

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) содержит одну или несколько производных зависимой переменной, y относительно одной независимой переменной t, обычно называемой временем. Используемая здесь обозначение для представления производных y относительно t, является $$y\text{'}$$ для первой производной, $$y\text{'}\text{'}$$ для второй производной и так далее. Порядок ОДУ равен производной высшего порядка y, которая появляется в уравнении.

Для примера это ОДУ второго порядка:

В задаче начального значения ОДУ решается, начиная с начального состояния. Используя начальное условие, $$y_0$$, а также период времени, в течение которого должен быть получен ответ, $$\left(t_0,t_f\right)$$, решения получают итеративно. На каждом шаге решатель применяет конкретный алгоритм к результатам предыдущих шагов. На первом этапе начальное условие предоставляет необходимую информацию, которая позволяет продолжить интегрирование. Конечным результатом является то, что решатель ОДУ возвращает вектор времени $$t=\left[t_0,t_1,t_2,\mathrm{...},t_f\right]$$ а также соответствующее решение на каждом шаге $$y=\left[y_0,y_1,y_2,\mathrm{...},y_f\right]$$.

Типы ОДУ

Решатели ОДУ в MATLAB^® решить эти типы ОДУ первого порядка:

Вы можете предоставить дополнительную информацию решателю для некоторых типов задач при помощи odeset функция для создания структуры опций.

Системы ОДУ

Можно задать любое количество связанных уравнений ОДУ, чтобы решить, и в принципе количество уравнений ограничено только доступной памятью компьютера. Если система уравнений имеет n уравнения,

затем функция, которая кодирует уравнения, возвращает вектор с n элементами, соответствующими значениям для $$y{\text{'}}_1,y{\text{'}}_2,\dots ,y{\text{'}}_n$$. Для примера рассмотрим систему двух уравнений

Функция, которая кодирует эти уравнения,

function dy = myODE(t,y)
dy(1) = y(2);
dy(2) = y(1)*y(2)-2;

ОДУ более высокого порядка

Решатели MATLAB ODE решают только уравнения первого порядка. Необходимо переписать ОДУ более высокого порядка как эквивалентную систему уравнений первого порядка с помощью обобщенных замен

Результатом этих замен является система n уравнений первого порядка

Для примера рассмотрим ОДУ третьего порядка

Использование замен

результаты в эквивалентной системе первого порядка

Код для этой системы уравнений тогда

function dydt = f(t,y)
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = y(3);
dydt(3) = y(1)*y(3)-1;

Комплексные ОДУ

Рассмотрим комплексное уравнение ОДУ

где $$y=y_1+i{y}_2$$. Чтобы решить его, разделите действительную и мнимую части на различные компоненты решения, затем рекомбинируйте результаты в конце. Концептуально это выглядит как

Для примера, если ОДУ $$y\text{'}=yt+2i$$, тогда можно представлять уравнение с помощью файла функции.

function f = complexf(t,y)
% Define function that takes and returns complex values
f = y.*t + 2*i;

Затем код, чтобы разделить реальную и мнимую части,

function fv = imaginaryODE(t,yv)
% Construct y from the real and imaginary components
y = yv(1) + i*yv(2);            

% Evaluate the function
yp = complexf(t,y);             

% Return real and imaginary in separate components
fv = [real(yp); imag(yp)];      

Когда вы запускаете решатель, чтобы получить решение, начальное условие y0 также разделяется на действительные и мнимые части для обеспечения начальных условий для каждого компонента решения.

y0 = 1+i;
yv0 = [real(y0); imag(y0)];
tspan = [0 2];
[t,yv] = ode45(@imaginaryODE, tspan, yv0);

Как только вы получите решение, объедините действительные и мнимые компоненты вместе, чтобы получить конечный результат.

y = yv(:,1) + i*yv(:,2);

Основной выбор решателя

ode45 хорошо работает с большинством задач ОДУ и обычно должен быть вашим первым выбором решателя. Однако, ode23 и ode113 может быть более эффективным, чем ode45 для проблем с более свободными или более жесткими требованиями точности.

Некоторые проблемы ОДУ показывают жесткость или трудности в оценке. Жесткость - это термин, который не поддается точному определению, но в целом жесткость возникает, когда существует различие в масштабировании где-то в задаче. Для примера, если ОДУ имеет два компонента решения, которые варьируются на резко разных временных шкалах, то уравнение может быть жестким. Можно идентифицировать задачу как жесткую, если нежесткие решатели (такие как ode45) не могут решить проблему или чрезвычайно медленно. Если вы наблюдаете, что нежесткий решатель очень медлен, попробуйте использовать жесткий решатель, такой как ode15s вместо этого. При использовании жесткого решателя можно улучшить надежность и эффективность, задав матрицу Якобия или её разреженность шаблона.

В этой таблице приведены общие инструкции по использованию каждого из других решателей.

Для получения дополнительной информации и дополнительных рекомендаций о том, когда использовать каждый решатель, смотрите [5].

Сводных данных примеров и файлов ОДУ

Существует несколько доступных примерных файлов, которые служат отличными начальными точками для большинства задач ОДУ. Чтобы запустить приложение Дифференциальные Уравнения Examples, которое позволяет легко исследовать и запускать примеры, введите

odeexamples

Чтобы открыть отдельный файл примера для редактирования, введите

edit exampleFileName.m

Чтобы запустить пример, введите

exampleFileName

Эта таблица содержит список доступных файлов примеров ОДУ и ДАУ, а также используемых ими решателей и опций. Ссылки включены для подмножества примеров, которые также публикуются непосредственно в документации.