Сравните решения с системой линейных уравнений, полученных обратной косой чертой (\) и pinv.

Если прямоугольная матрица коэффициентов A имеет низкий ранг, тогда задача минимизации методом наименьших квадратов norm(A*x-b) имеет бесконечно много решений. Два решения возвращаются по x1 = A\b и x2 = pinv(A)*b. Отличительные свойства этих решений таковы x1 имеет только rank(A) ненулевые компоненты и norm(x2) меньше, чем для любого другого решения.

Создайте матрицу 8 на 6, которая имеет rank(A) = 3.

A = magic(8); 
A = A(:,1:6) 

A = 8×6

    64     2     3    61    60     6
     9    55    54    12    13    51
    17    47    46    20    21    43
    40    26    27    37    36    30
    32    34    35    29    28    38
    41    23    22    44    45    19
    49    15    14    52    53    11
     8    58    59     5     4    62

Создайте вектор для правой стороны системы уравнений.

b = 260*ones(8,1)

b = 8×1

   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260
   260

Число, выбранное для правой стороны 260, является значением магической суммы 8 на 8 для A. Если бы A все еще была матрицей 8 на 8, то одно решение для x было бы вектором на 1с. С шестью столбцами решение существует, так как уравнения все еще непротиворечивы, но решение не все 1с. Поскольку матрица имеет низкий ранг, существует бесконечно много решений.

Решите для двух решений, используя обратная косая черта и pinv.

x1 = A\b

Warning: Rank deficient, rank = 3, tol =  1.882938e-13.

x1 = 6×1

    3.0000
    4.0000
         0
         0
    1.0000
         0

x2 = pinv(A)*b

x2 = 6×1

    1.1538
    1.4615
    1.3846
    1.3846
    1.4615
    1.1538

Оба эти решения точны в том смысле, что norm(A*x1-b) и norm(A*x2-b) находятся в порядке округления ошибки. Решение x1 является особенным, потому что он имеет только три ненулевых элемента. Решение x2 является особенным, потому что norm(x2) меньше, чем для любого другого решения, включая norm(x1).

norm(x1)

ans = 5.0990

norm(x2)

ans = 3.2817