Показать, как использовать decomposition объекты могут улучшить эффективность решения $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ со многими правыми сторонами.

Обратная итерация является итеративным алгоритмом собственного значения, который решает линейные системы со многими правыми сторонами. Это метод итерационно вычислить собственное значение матрицы, начиная с предположения о соответствующем собственном векторе. Каждая итерация вычисляет x = A\x, а затем масштабируется x по своей норме.

Создайте разреженную матрицу A и случайные стартовые векторы x1 и x2.

n = 1e3;
rng default % for reproducibility
A = sprandn(n,n,0.2) + speye(n);
x1 = randn(n,1);
x2 = x1;

Примените 100 итераций алгоритма обратной итерации, используя обратную косую черту, чтобы вычислить собственное значение A.

tic
for ii=1:100
    x1 = A \ x1;
    x1 = x1 / norm(x1);
end
toc

Elapsed time is 13.154918 seconds.

lambda = x1'*A*x1

lambda = -0.6707

Теперь используйте decomposition объект для решения той же задачи.

tic
dA = decomposition(A); 
for ii=1:100
    x2 = dA \ x2;
    x2 = x2 / norm(x2);
end
toc

Elapsed time is 0.910174 seconds.

lambda = x2'*A*x2

lambda = -0.6707

Эффективность алгоритма значительно улучшается, потому что матрица A не требует факторизации во время каждой итерации. Кроме того, даже если алгоритм обратной косой черты может быть улучшен путем выполнения LU-разложения A перед for-цикл, decomposition объект предоставляет доступ ко всем тем же увеличениям эффективности, не требуя, чтобы вы записывали сложный код.

Выберите тип разложения, чтобы переопределить автоматический выбор по умолчанию на основе матрицы входа.

Создайте матрицу коэффициентов и разложите матрицу, используя выбор по умолчанию типа разложения.

A = ones(3);
dA = decomposition(A)

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'ldl'

  Show all properties

Решить линейную систему можно используя вектор таковых для правой оси.

b = ones(3,1);
x = dA\b

Warning: Matrix is singular to working precision.

x = 3×1

   NaN
   NaN
   NaN

Задайте тип разложения, чтобы использовать 'qr' метод вместо стандартного 'ldl' способ. Это заставляет обратная косая черта (\) найти решение задачи методом наименьших квадратов вместо возврата вектора NaNс.

dA_qr = decomposition(A,'qr')

dA_qr = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [3 3]
          Type: 'qr'

  Show all properties

x = dA_qr\b

Warning: Rank deficient, rank = 1, tol =  1.153778e-15.

x = 3×1

     1
     0
     0

Задайте 'upper' использовать только верхний треугольный фрагмент матрицы входа в разложении.

Создайте матрицу коэффициентов. Создайте треугольное разложение для матрицы, используя только верхний треугольный фрагмент. Эта опция может быть полезна в случаях, когда и верхняя треугольная, и нижняя треугольная матрица сохранены в одной матрице.

A = randi([0 5],10)

A = 10×10

     4     0     3     4     2     1     4     5     2     0
     5     5     0     0     2     4     1     1     4     0
     0     5     5     1     4     3     3     4     3     3
     5     2     5     0     4     0     4     1     3     4
     3     4     4     0     1     0     5     5     5     5
     0     0     4     4     2     2     5     2     1     0
     1     2     4     4     2     5     3     1     4     3
     3     5     2     1     3     2     0     1     4     2
     5     4     3     5     4     3     0     3     2     0
     5     5     1     0     4     1     1     2     3     2

dA = decomposition(A,'triangular','upper')

dA = 
  decomposition with properties:

    MatrixSize: [10 10]
          Type: 'triangular'

  Show all properties

Используйте 'CheckCondition' Пара "имя-значение" отключить предупреждения на основе условия матрицы коэффициентов при решении линейной системы с помощью decomposition.

Создайте матрицу коэффициентов, которая плохо обусловлена. В этой матрице при усреднении двух первых столбцов создается третий столбец.

A = [1 2 1.5; 3 4 3.5; 5 6 5.5]

A = 3×3

    1.0000    2.0000    1.5000
    3.0000    4.0000    3.5000
    5.0000    6.0000    5.5000

Решите линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ использование вектора 1с для правой оси. mldivide выдает предупреждение об обусловленности матрицы коэффициентов.

b = ones(3,1);
x = A\b

Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND =  1.850372e-17.

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Теперь создайте decomposition объект для матрицы и решить ту же линейную систему. Задайте 'CheckCondition' как false так что mldivide не проверяет условие матрицы коэффициентов. Даже при возвращении того же решения mldivide не отображает предупреждающее сообщение.

dA = decomposition(A,'CheckCondition',false);
x = dA\b

x = 3×1

   -0.6250
    1.3750
   -0.7500

Используйте isIllConditioned функция, чтобы проверить, decomposition ли объект основан на плохо обусловленной матрице.

tf = isIllConditioned(dA)

tf = logical
   1