Вычислите LU-факторизацию матрицы и исследуйте получившиеся множители. LU-факторизация является способом разложения матрицы $\mathit{A}$ в верхнюю треугольную матрицу $\mathit{U}$, нижняя треугольная матрица $\mathit{L}$, и матрицу сочетаний $\mathit{P}$ таким, что $\mathrm{PA}=\mathrm{LU}$. Эти матрицы описывают шаги, необходимые для выполнения Гауссова исключения на матрице, пока она не будет в приведенный ступенчатый по строкам вид матрицы. $\mathit{L}$ матрица содержит все умножители и матрицу сочетания $\mathit{P}$ счетов для смены строк.

Создайте матрицу 3 на 3 и вычислите коэффициенты LU.

A = [10 -7 0
     -3  2 6
      5 -1 5];

[L,U] = lu(A)

L = 3×3

    1.0000         0         0
   -0.3000   -0.0400    1.0000
    0.5000    1.0000         0

U = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
         0    2.5000    5.0000
         0         0    6.2000

Умножьте коэффициенты для воссоздания A. С синтаксисом двух входных параметров, lu включает матрицу сочетаний P непосредственно в L коэффициент, такой что L возвращаться действительно P'*L и, таким образом A = L*U.

L*U

ans = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
   -3.0000    2.0000    6.0000
    5.0000   -1.0000    5.0000

Можно задать три выхода, чтобы отделить матрицу сочетания от умножителей в L.

[L,U,P] = lu(A)

L = 3×3

    1.0000         0         0
    0.5000    1.0000         0
   -0.3000   -0.0400    1.0000

U = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
         0    2.5000    5.0000
         0         0    6.2000

P = 3×3

     1     0     0
     0     0     1
     0     1     0

P'*L*U

ans = 3×3

   10.0000   -7.0000         0
   -3.0000    2.0000    6.0000
    5.0000   -1.0000    5.0000

Решите линейную систему, выполнив LU-факторизацию и используя факторы для упрощения задачи. Сравните результаты с другими подходами, используя оператор обратной косой черты и decomposition объект.

Создайте магическую квадратную матрицу 5 на 5 и решите линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$ со всеми элементами b равная 65, магическая сумма. Поскольку 65 является магической суммой для этой матрицы (все строки и столбцы добавляют к 65), ожидаемое решение для x является вектором на 1с.

A = magic(5);
b = 65*ones(5,1);
x = A\b

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Для типовых квадратных матриц оператор обратной косой черты вычисляет решение линейной системы с помощью LU-разложения. LU-разложение выражает A как продукт треугольных матриц, и линейные системы, включающие треугольные матрицы, легко решаются с помощью формул замещения.

Чтобы воссоздать ответ, вычисленный обратной косой чертой, вычислите LU-разложение A. Затем используйте факторы, чтобы решить две треугольные линейные системы:

y = L\(P*b);
x = U\y;

Этот подход предварительного вычисления матричных факторов до решения линейной системы может улучшить эффективность, когда многие линейные системы будут решены, поскольку факторизация происходит только один раз и не требует повторения.

[L,U,P] = lu(A)

L = 5×5

    1.0000         0         0         0         0
    0.7391    1.0000         0         0         0
    0.4783    0.7687    1.0000         0         0
    0.1739    0.2527    0.5164    1.0000         0
    0.4348    0.4839    0.7231    0.9231    1.0000

U = 5×5

   23.0000    5.0000    7.0000   14.0000   16.0000
         0   20.3043   -4.1739   -2.3478    3.1739
         0         0   24.8608   -2.8908   -1.0921
         0         0         0   19.6512   18.9793
         0         0         0         0  -22.2222

P = 5×5

     0     1     0     0     0
     1     0     0     0     0
     0     0     0     0     1
     0     0     1     0     0
     0     0     0     1     0

y = L\(P*b);
x = U\y

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

The decomposition объект также полезен для решения линейных систем с помощью специализированных факторизаций, поскольку вы получаете многие преимущества эффективности от предварительного вычисления матричных факторов, но вам не нужно знать, как использовать факторы. Используйте объект разложения с 'lu' введите для повторного создания тех же результатов.

dA = decomposition(A,'lu');
x = dA\b

x = 5×1

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Вычислите LU-факторизацию разреженной матрицы и проверьте тождества L*U = P*S*Q.

Создайте разреженную матрицу смежности 60 на 60 график связности геодезического купола Бакминстера-Фуллера.

S = bucky;

Вычислите LU-факторизацию S использование синтаксиса разреженной матрицы с четырьмя выходами для возврата матриц сочетания строк и столбцов.

[L,U,P,Q] = lu(S);

Транспозиция строк и столбцов S с P*S*Q и сравните результат с умножением треугольных множителей L*U. 1-норма их различия находится в пределах округления ошибки, что указывает на то, что L*U = P*S*Q.

e = P*S*Q - L*U;
norm(e,1)

ans = 2.4425e-15

Вычислите LU-факторизацию матрицы. Сохраните память, вернув сочетания строк в виде вектора вместо матрицы.

Создайте случайную матрицу 1000 на 1000.

A = rand(1000);

Вычислите LU-факторизацию с информацией о сочетаниях, хранящейся в матрице P. Сравните результат с информацией о сочетаниях, хранящейся в виде вектора p. Чем больше матрица, тем больше памяти эффективно использовать вектор сочетания.

[L1,U1,P] = lu(A);
[L2,U2,p] = lu(A,'vector');
whos P p

  Name         Size                Bytes  Class     Attributes

  P         1000x1000            8000000  double              
  p            1x1000               8000  double              

Использование вектора сочетания также экономит время выполнения в последующих операциях. Например, можно использовать предыдущие LU-факторизации, чтобы решить линейную систему $\mathrm{Ax}=\mathit{b}$. Хотя решения, полученные из вектора сочетания и матрицы сочетания, эквивалентны (вплоть до округления), решение, использующее вектор сочетания, обычно требует немного меньше времени.

Сравните результаты вычисления LU-факторизации разреженной матрицы с перестановками столбцов и без них.

Загрузите west0479 матрица, которая является действительной 479 на 479 разреженной матрицей.

load west0479
A = west0479;

Вычислите LU-факторизацию A по вызову lu с тремя выходами. Сгенерируйте шпионские графики факторов L и U.

[L,U,P] = lu(A);
subplot(1,2,1)
spy(L)
title('L factor')
subplot(1,2,2)
spy(U)
title('U factor')

Теперь вычислите LU-факторизацию A использование lu с четырьмя выходами, который переключает столбцы A уменьшить количество ненулей в факторах. Результирующие факторы намного разреженнее, чем если бы не использовались сочетания столбцов.

[L,U,P,Q] = lu(A);
subplot(1,2,1)
spy(L)
title('L factor')
subplot(1,2,2)
spy(U)
title('U factor')