Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительно определенная матрица с сингулярными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть самых больших сингулярных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));
s = svds(A)

s = 6×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531
    7.5213
    7.4480
    7.3517

Задайте второй вход, чтобы вычислить определенное число самых больших сингулярных значений.

s = svds(A,3)

s = 3×1

    7.8666
    7.7324
    7.6531

Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительно определенная матрица с сингулярными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять наименьших сингулярных значений.

A = delsq(numgrid('C',15));
s = svds(A,5,'smallest')

s = 5×1

    0.5520
    0.4787
    0.3469
    0.2676
    0.1334

Создайте разреженную матрицу Неймана 100 на 100.

C = gallery('neumann',100);

Вычислите десять наименьших сингулярных значений.

ss = svds(C,10,'smallest')

ss = 10×1

    0.9828
    0.9049
    0.5625
    0.5625
    0.4541
    0.4506
    0.2256
    0.1139
    0.1139
         0

Вычислите 10 наименьших ненулевых сингулярных значений. Поскольку матрица имеет сингулярное значение, которое равно нулю, 'smallestnz' опция опускает его.

snz = svds(C,10,'smallestnz')

snz = 10×1

    0.9828
    0.9828
    0.9049
    0.5625
    0.5625
    0.4541
    0.4506
    0.2256
    0.1139
    0.1139

west0479 является действительной 479 на 479 разреженной матрицей. Матрица имеет несколько больших сингулярных значений и много малых сингулярных значений.

Загрузка west0479 и храните его как A.

load west0479
A = west0479;

Вычислите сингулярное разложение A, возвращая шесть крупнейших сингулярных значений и соответствующие сингулярные векторы. Задайте четвертый выходной аргумент, чтобы проверить сходимость сингулярных значений.

[U,S,V,cflag] = svds(A);
cflag

cflag = 0

cflag указывает, что все сингулярные значения сходятся. Сингулярные значения указаны на диагонали выходной матрицы S.

s = diag(S)

s = 6×1
105 ×

    3.1895
    3.1725
    3.1695
    3.1685
    3.1669
    0.3038

Проверьте результаты путем вычисления полного сингулярного разложения A. Преобразование A в полную матрицу и использовать svd.

[U1,S1,V1] = svd(full(A));

Постройте график шести крупнейших сингулярных значений A вычисляется по svd и svds использование логарифмической шкалы.

s2 = diag(S1);
semilogy(s2(1:6),'r.')
hold on
semilogy(s,'ro','MarkerSize',10)
title('Singular Values of west0479')
legend('svd','svds')

Создайте разреженную диагональную матрицу и вычислите шесть самых больших сингулярных значений.

A = diag(sparse([1e4*ones(1, 8) 1e4:-1:1]));
s = svds(A)

Warning: Only 2 of the 6 requested singular values converged. Singular values that did not converge are NaN.

s = 6×1
104 ×

    1.0000
    0.9999
       NaN
       NaN
       NaN
       NaN

The svds алгоритм выдает предупреждение, так как было выполнено максимальное количество итераций, но не удалось выполнить допуск.

Наиболее эффективным способом решения проблем сходимости является увеличение максимального размера подпространства Крылова, используемого в вычислении, путем использования большего значения для 'SubspaceDimension'. Сделайте это, передав в пару "имя-значение" 'SubspaceDimension' со значением 60.

s = svds(A,6,'largest','SubspaceDimension',60)

s = 6×1
104 ×

    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000
    1.0000

Вычислите 10 наименьших сингулярных значений почти сингулярной матрицы.

rng default
format shortg
B = spdiags([repelem([1; 1e-7], [198, 2]) ones(200, 1)], [0 1], 200, 200);
s1 = svds(B,10,'smallest')

Warning: Large residual norm detected. This is likely due to bad condition of the input matrix (condition number 1.0008e+16).

s1 = 10×1

       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
       7.0945
      0.25927
   7.0888e-16

Предупреждение указывает, что svds не вычисляет соответствующие сингулярные значения. Отказ с svds происходит из-за зазора между наименьшим и вторым наименьшими сингулярными значениями. svds(...,'smallest') нужно инвертировать B, что приводит к большой числовой ошибке.

Для сравнения вычислите точные сингулярные значения с помощью svd.

s = svd(full(B));
s = s(end-9:end)

s = 10×1

      0.14196
      0.12621
      0.11045
     0.094686
     0.078914
     0.063137
     0.047356
     0.031572
     0.015787
   7.0888e-16

В порядок воспроизведения этого вычисления с svds, сделать QR-разложение B. Сингулярные значения треугольной матрицы R те же, что и для B.

[Q,R,p] = qr(B,0);

Постройте график нормы для каждой строки R.

rownormR = sqrt(diag(R*R'));
semilogy(rownormR)
hold on;
semilogy(size(R, 1), rownormR(end), 'ro')

Последняя запись в R почти равен нулю, что вызывает нестабильность в решении.

Предотвратите повреждение этой записи хороших частей решения путем установки последней строки R быть в точности нулем.

R(end,:) = 0;

Использование svds найти 10 наименьших сингулярных значений R. Результаты сопоставимы с результатами, полученными svd.

sr = svds(R,10,'smallest')

sr = 10×1

      0.14196
      0.12621
      0.11045
     0.094686
     0.078914
     0.063137
     0.047356
     0.031572
     0.015787
            0

Чтобы вычислить сингулярные векторы B используя этот метод, преобразуйте левый и правый сингулярные векторы с помощью Q и вектор сочетания p.

[U,S,V] = svds(R,20,'s');
U = Q*U;
V(p,:) = V;