Использование svdsketch вычислить SVD-коэффициенты низкоуровневого матричного приближения.

Использование gallery для создания случайной матрицы 200 на 200 с геометрически распределенными сингулярными значениями.

A = gallery('randsvd',200);

Использование svdsketch вычислить SVD низкорангового приближения A.

[U,S,V] = svdsketch(A);

Проверьте размер выходов.

size(S)

ans = 1×2

   120   120

Результаты показывают, что низкоранговое матричное приближение A имеет ранг 120.

Задайте допуск с svdsketch вычислить SVD-коэффициенты низкоуровневого матричного приближения. svdsketch адаптивно определяет соответствующий ранг матричного эскиза на основе заданного допуска.

Использование gallery для создания случайной матрицы 200 на 200 с геометрически распределенными сингулярными значениями.

A = gallery('randsvd',200);

Использование svdsketch вычислить SVD низкорангового приближения A. Задайте допуск 1e-2, и найти размер выхода S для определения ранга svdsketch использует для матричного эскиза.

tol = 1e-2;
[U,S,V] = svdsketch(A,tol);
size(S)

ans = 1×2

    60    60

Результаты показывают, что низкоранговое матричное приближение A имеет ранг 60.

Рассмотрим, насколько хорошо аппроксимируется матричный эскиз A путем сравнения A на U*S*V'.

norm(U*S*V' - A,'fro')/norm(A,'fro')

ans = 0.0048

Результат указывает, что матричный эскиз аппроксимируется A в пределах заданного допуска 1e-2.

Использование svdsketch с MaxSubspaceDimension опция на матрице, которая имеет медленно разрушающиеся сингулярные значения. Можно использовать эту опцию для принудительного svdsketch использовать подмножество функций A в матричном эскизе.

Создайте матрицу 5000 на 5000 со значениями, полученными из стандартного нормального распределения. Просмотрите распределение матричных сингулярных значений.

A = randn(5000);
semilogy(svd(A),'-o')

Поскольку сингулярные значения в A медленно распадаются, A имеет много важные функции и не поддается низкоранговым приближениям. Чтобы сформировать матричный эскиз, который разумно аппроксимирует A, большинство или почти все функции должны быть сохранены.

Использование svdsketch на матрице с допуском 1e-5. Задайте четыре выхода, чтобы вернуть коэффициенты SVD, а также относительную ошибку приближения в каждой итерации.

tol = 1e-5;
[U1,S1,V1,apxError1] = svdsketch(A,tol);
size(S1)

ans = 1×2

        5000        5000

Размер S указывает, что, чтобы удовлетворить допуску, svdsketch необходимо сохранить все функции A. Для больших разреженных входных матриц это может представлять проблемы с памятью, поскольку низкоранговое приближение A формируется по svdsketch приблизительно совпадает с размером A и таким образом может не помещаться в памяти как плотная матрица.

Проверьте ошибку приближения выходов. Начиная с svdsketch сохраняет все в AВычисленный ответ точен, но вычисление было всего лишь дорогим способом вычисления svd(X).

apxError1(end)

ans = 1.9075e-08

Теперь выполните тот же расчет, но задайте MaxSubspaceDimension равным 650, чтобы ограничить размер подпространства, используемого для построения эскиза A. Это полезно для принудительного svdsketch использовать только подмножество функций в A чтобы сформировать матричный эскиз, уменьшая размер выходов.

[U2,S2,V2,apxError2] = svdsketch(A,tol,'MaxSubspaceDimension',650);
size(S2)

ans = 1×2

   650   650

Теперь выходные параметры имеют меньший размер.

Проверьте ошибку приближения новых выходов. Компромисс для принуждения выходов к меньшему заключается в том, что многие важные функции A должны быть опущены в матричном эскизе, и полученное приближение ранга 650 A не соответствует указанному допуску.

apxError2(end)

ans = 0.8214