Подмножество собственных значений и собственных векторов
d = eigs(A,k,sigma,Name,Value)eigs(A,k,sigma,'Tolerance',1e-3) настраивает допуск сходимости для алгоритма.
Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительно определенная матрица с собственными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите шесть собственных значений наибольшей величины.
A = delsq(numgrid('C',15));
d = eigs(A)d = 6×1
7.8666
7.7324
7.6531
7.5213
7.4480
7.3517
Задайте второй вход, чтобы вычислить определенное число самых больших собственных значений.
d = eigs(A,3)
d = 3×1
7.8666
7.7324
7.6531
Матрица A = delsq(numgrid('C',15)) - симметричная положительно определенная матрица с собственными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8). Вычислите пять наименьших собственных значений.
A = delsq(numgrid('C',15)); d = eigs(A,5,'smallestabs')
d = 5×1
0.1334
0.2676
0.3469
0.4787
0.5520
Создайте 1500 на 1500 случайную разреженную матрицу с 25% приблизительной плотностью ненулевых элементов.
n = 1500; A = sprand(n,n,0.25);
Найдите LU-факторизацию матрицы, вернув вектор сочетания p который удовлетворяет A(p,:) = L*U.
[L,U,p] = lu(A,'vector');Создайте указатель на функцию Afun который принимает входной параметр вектора x и использует результаты LU-разложения, чтобы, по сути, вернуть A\x.
Afun = @(x) U\(L\(x(p)));
Вычислите шесть собственных значений наименьшей величины с помощью eigs с помощью указателя на функцию Afun. Второй вход является размером A.
d = eigs(Afun,1500,6,'smallestabs')d = 6×1 complex
0.1423 + 0.0000i
0.4859 + 0.0000i
-0.3323 - 0.3881i
-0.3323 + 0.3881i
0.1019 - 0.5381i
0.1019 + 0.5381i
west0479 является действительной 479 на 479 разреженной матрицей с как действительными, так и комплексными парами сопряженных собственных значений.
Загрузите west0479 матрица, затем вычислите и постройте график всех собственных значений с помощью eig. Поскольку собственные значения комплексны, plot автоматически использует действительные детали в качестве координат X, а мнимые детали - в качестве координат Y.
load west0479 A = west0479; d = eig(full(A)); plot(d,'+')
Собственные значения сгруппированы вдоль действительной линии (ось X), особенно около источника.
eigs имеет несколько опции для sigma который может выбрать самые большие или самые маленькие собственные значения различных типов. Вычислите и постройте несколько собственных значений для каждого из доступных опций sigma.
figure plot(d, '+') hold on la = eigs(A,6,'largestabs'); plot(la,'ro') sa = eigs(A,6,'smallestabs'); plot(sa,'go') hold off legend('All eigenvalues','Largest magnitude','Smallest magnitude') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
figure plot(d, '+') hold on ber = eigs(A,4,'bothendsreal'); plot(ber,'r^') bei = eigs(A,4,'bothendsimag'); plot(bei,'g^') hold off legend('All eigenvalues','Both ends real','Both ends imaginary') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
figure plot(d, '+') hold on lr = eigs(A,3,'largestreal'); plot(lr,'ro') sr = eigs(A,3,'smallestreal'); plot(sr,'go') li = eigs(A,3,'largestimag','SubspaceDimension',45); plot(li,'m^') si = eigs(A,3,'smallestimag','SubspaceDimension',45); plot(si,'c^') hold off legend('All eigenvalues','Largest real','Smallest real','Largest imaginary','Smallest imaginary') xlabel('Real axis') ylabel('Imaginary axis')
'smallestabs' и 'smallestreal' Собственные значенияСоздайте симметричную положительно определенную разреженную матрицу.
A = delsq(numgrid('C', 150));Вычислите шесть наименьших реальных собственных значений с помощью 'smallestreal', который использует метод Крылова с использованием A.
tic
d = eigs(A, 6, 'smallestreal')d = 6×1
0.0013
0.0025
0.0033
0.0045
0.0052
0.0063
toc
Elapsed time is 1.301556 seconds.
Вычислите те же собственные значения с помощью 'smallestabs', который использует метод Крылова, используя обратную A.
tic
dsm = eigs(A, 6, 'smallestabs')dsm = 6×1
0.0013
0.0025
0.0033
0.0045
0.0052
0.0063
toc
Elapsed time is 0.201428 seconds.
Собственные значения кластеризованы около нуля. The 'smallestreal' расчеты борются за сходимость, используя A поскольку зазор между собственными значениями настолько мал. И наоборот, 'smallestabs' опция использует обратную Aи, следовательно, обратные собственные значения A, которые имеют намного большую погрешность и поэтому легче вычислить. Эта улучшенная производительность возникает за счет факторизации A, что не обязательно с 'smallestreal'.
Вычисление собственных значений около числового sigma значение, которое почти равно собственному значению.
Матрица A = delsq(numgrid('C',30)) - симметричная положительно определенная матрица размера 632 с собственными значениями, достаточно хорошо распределенными в интервале (0 8), но с 18 собственными значениями, повторенными в 4.0. Чтобы вычислить некоторые собственные значения около 4.0, разумно попробовать вызов функции eigs(A,20,4.0). Однако этот вызов вычисляет самые большие собственные значения обратного A - 4.0*I, где I является матрицей тождеств. Потому что 4.0 является собственным значением A, эта матрица сингулярна и поэтому не имеет обратной. eigs сбой и выдача сообщения об ошибке. Числовое значение sigma не может быть точно равно собственному значению. Вместо этого необходимо использовать значение sigma это близко, но не равно 4,0, чтобы найти эти собственные значения.
Вычислите все собственные значения с помощью eigи 20 собственных значений, ближайших к 4-1e-6 с использованием eigs для сравнения результатов. Постройте график собственных значений, рассчитанных с каждым методом.
A = delsq(numgrid('C',30));
sigma = 4 - 1e-6;
d = eig(A);
D = sort(eigs(A,20,sigma));plot(d(307:326),'ks') hold on plot(D,'k+') hold off legend('eig(A)','eigs(A,20,sigma)') title('18 Repeated Eigenvalues of A')
Создайте разреженные случайные матрицы A и B что оба имеют низкие плотности ненулевых элементов.
B = sprandn(1e3,1e3,0.001) + speye(1e3); B = B'*B; A = sprandn(1e3,1e3,0.005); A = A+A';
Найдите разложение Холецкого матрицы B, используя три выхода, чтобы вернуть вектор сочетания s и тестовое значение p.
[R,p,s] = chol(B,'vector');
pp = 0
Начиная с p равен нулю, B - симметричная положительно определенная матрица, которая удовлетворяет B(s,s) = R'*R.
Вычислите шесть собственных значений и собственных векторов наибольшей величины обобщенной задачи собственного значения, включающей A и R. Начиная с R является фактором Холецкого B, задайте 'IsCholesky' как true. Кроме того, с B(s,s) = R'*R и, таким образом R = chol(B(s,s)), используйте вектор сочетания s как значение 'CholeskyPermutation'.
[V,D,flag] = eigs(A,R,6,'largestabs','IsCholesky',true,'CholeskyPermutation',s); flag
flag = 0
Начиная с flag равен нулю, все собственные значения сходятся.
eigs генерирует стартовый вектор по умолчанию, используя частный поток случайных чисел, для обеспечения повторяемости между запусками. Установка состояния генератора случайных чисел с помощью rng перед вызовом eigs не влияет на выход.
Использование eigs не самый эффективный способ найти несколько собственных значений малых, плотных матриц. Для таких проблем это может быть быстрее использовать eig(full(A)). Для примера нахождение трех собственных значений в матрице 500 на 500 является относительно небольшой проблемой, с которой легко справиться eig.
Если eigs не сходится для заданной матрицы, увеличить количество базисных векторов Ланцоса путем увеличения значения 'SubspaceDimension'. В качестве вторичных опций, корректирующих максимальное количество итераций, 'MaxIterations'и допуск сходимости, 'Tolerance', также может помочь с сходимостью поведения.
[1] Stewart, G.W. «A Krylov-Schur Algorithm for Large Eigenproblems». SIAM Journal of Matrix Analysis and Applications. Том 23, Выпуск 3, 2001, стр. 601-614.
[2] Lehoucq, R.B., D.C. Соренсон и К. Ян. Руководство пользователя ARPACK. Филадельфия, Пенсильвания: СИАМ, 1998.