Адаптивный MPC

Когда использовать адаптивный MPC

MPC управление предсказывает будущее поведение с помощью линейно-временной инвариантной (LTI) динамической модели. На практике такие предсказания никогда не являются точными, и ключевая цель настройки состоит в том, чтобы сделать MPC нечувствительным к ошибкам предсказания. Во многих приложениях этого подхода достаточно для устойчивой эффективности контроллера.

Если объект сильно нелинейен или его характеристики сильно изменяются со временем, точность предсказания LTI может ухудшиться настолько, что эффективность MPC станет неприемлемой. Адаптивный MPC может решить это ухудшение путем адаптации модели предсказания для изменения условий работы. Как реализовано в программном обеспечении Model Predictive Control Toolbox™, адаптивный MPC использует фиксированную структуру модели, но позволяет параметрам модели развиваться со временем. В идеале, всякий раз, когда контроллер требует предсказания (в начале каждого контрольного интервала), он использует модель, соответствующую текущим условиям.

После того, как вы проектируете контроллер MPC для средних или наиболее вероятных условий работы вашей системы управления, можно реализовать адаптивный контроллер MPC, основанную на этом проекте. Для получения информации о разработке этого начального контроллера, смотрите Создание контроллера.

На каждом контрольном интервале адаптивный контроллер MPC обновляет модель объекта управления и номинальные условия. После обновления модель и условия остаются постоянными в горизонте предсказания. Если можно предсказать, как объект и номинальные условия изменяются в будущем, можно использовать Изменяющийся во времени MPC, чтобы задать модель, которая изменяется над горизонтом предсказания.

Альтернативной опцией для управления нелинейным или изменяющимся во времени объектом является использование запланированного по усилению MPC управления. См. Gain-Scheduled MPC.)

Модель объекта управления

Модель объекта управления, используемая в качестве базиса для адаптивного MPC, должна быть моделью LTI в дискретном времени, в пространстве состояний. Смотрите Основные модели или Основы линеаризации (Simulink Control Design) для получения информации о создании и изменении таких систем. Структура модели объекта управления является следующей:

$\begin{matrix} x (k + 1) = A x (k) + B_{u} u (k) + B_{v} v (k) + B_{d} d (k) \\ y (k) = C x (k) + D_{v} v (k) + D_{d} d (k) . \end{matrix}$

Здесь, матрицы A, _Bu, _Bv, _Bd, C, _Dv, и _Dd являются параметрами, которые могут меняться в зависимости от времени. Другие переменные в выражении:

k - Временной индекс (текущий контрольный интервал).
x - _nx состояния модели объекта управления.
u - _nu управляемые входы (MV). Это один или несколько входов, которые настраиваются контроллером MPC.
v - _nv измеренные входы нарушения порядка.
d - _nd неизмеренные входы нарушения порядка.
y - _ny выходы объекта, включая _nym измеренные и _nyu неизмеренные выходы. Общее количество выходов, _ny = _nym + _nyu. Кроме того, _nym ≥ 1 (существует, по меньшей мере, один измеренный выход).

Дополнительные требования к модели объекта управления в адаптивных MPC управлениях:

Шаг расчета (Ts) является постоянным и идентичным MPC управлением интервалу.
Задержка времени (если она есть) поглощается как дискретные состояния (см., например, Control System Toolbox™ absorbDelay функция).
_nx, _nu, _ny, _nd, _nym, и _nyu являются всеми константами.
Адаптивный MPC запрещает прямое сквозное соединение от любой манипулируемой переменной до любого выхода объекта. Таким образом, _Du = 0 в вышеописанной модели.
Входы и выход сигнала строения остается постоянным.

Для получения дополнительной информации о создании моделей объекта управления для MPC управления, смотрите Спецификацию объекта.

Номинальная рабочая точка

Традиционный контроллер MPC включает номинальную рабочую точку, в которой применяется модель объекта управления, такую как условие, при котором вы линеаризируете нелинейную модель, чтобы получить приближение LTI. The Model.Nominal свойство контроллера содержит эту информацию.

В адаптивном MPC по мере развития времени вы должны обновить номинальную рабочую точку, чтобы соответствовать обновленной модели объекта управления.

Можно записать модель объекта управления с точки зрения отклонений от номинальных условий:

$\begin{matrix} x (k + 1) = \bar{x} + A (x (k) - \bar{x}) + B (u_{t} (k) - {\bar{u}}_{t}) + \bar{Δ x} \\ y (k) = \bar{y} + C (x (k) - \bar{x}) + D (u_{t} (k) - {\bar{u}}_{t}) . \end{matrix}$

Здесь матрицы A, B, C и D являются параметром матрицами, которые нужно обновить. _ut является объединенной входной переменной объекта управления, содержащей u, v и d переменные, заданные выше. Номинальные условия, подлежащие обновлению:

$\bar{x}$ - _nx номинальных состояний
$\bar{Δ x}$ - _nx номинальных шагов состояния
${\bar{u}}_{t}$ - _nut номинальные входы
$\bar{y}$ - _ny номинальных выходов

Оценка состояния

По умолчанию MPC использует статический фильтр Калмана (KF), чтобы обновить свои состояния контроллера, которые включают _nxp состояния модели объекта управления, _nd (≥ 0) состояния модели возмущения и _nn (≥ 0) состояния модели шума измерения. Эта KF требует двух матриц усиления, L и M. По умолчанию контроллер MPC вычисляет их во время инициализации. Они зависят от объекта, нарушения порядка и шумовых параметров модели, и предположений относительно стохастических сигналов шума, управляющих моделями нарушения порядка и шума. Для получения дополнительной информации об оценке состояния в традиционном MPC, смотрите Оценку состояния контроллера.

Адаптивный MPC использует фильтр Калмана и настраивает коэффициент усиления, L и M, на каждом контрольном интервале, чтобы поддерживать согласованность с обновленной моделью объекта управления. Результатом является линейно-изменяющийся во времени фильтр Калмана (LTVKF):

$\begin{matrix} L_{k} = (A_{k} P_{k | k - 1} C_{m, k}^{T} + N) {(C_{m, k} P_{k | k - 1} C_{m, k}^{T} + R)}^{- 1} \\ M_{k} = P_{k | k - 1} C_{m, k}^{T} {(C_{m, k} P_{k | k - 1} C_{m, k}^{T} + R)}^{- 1} \\ P_{k + 1 | k} = A_{k} P_{k | k - 1} A_{k}^{T} - (A_{k} P_{k | k - 1} C_{m, k}^{T} + N) L_{k}^{T} + Q . \end{matrix}$

Здесь Q, R и N являются постоянными ковариационными матрицами, заданными как в оценке состояния MPC. _Ak и _Cm,k являются матрицами параметров пространства состояний для всего состояния контроллера, заданными как для традиционного MPC, но с фрагментов, затронутой моделью объекта управления, обновленной до временных k. Значение P _{k |} k -1 является ковариационной матрицей ошибки оценки состояния в k времени на основе информации, доступной в момент времени k -1. _{Наконец}, Lk _и Mk являются обновленными матрицами усиления KF. Для получения дополнительной информации о формулировке KF, используемой в традиционном MPC, смотрите Оценку состояния контроллера. По умолчанию начальное условие_, P 0 | -1, является статическим решением KF до любых обновлений модели.

Коэффициент усиления KF и ковариационная матрица ошибок состояний зависят от параметров модели и допущений, ведущих к постоянным Q, R и N матрицам. Если модель объекта управления является постоянной, выражения для _Lk и _Mk сходятся к эквивалентному статическому решению KF, используемому в традиционном MPC.

Уравнения для эволюции состояния контроллера в k времени идентичны формулировке KF традиционного MPC, описанной в оценке состояния контроллера, но с матрицами усиления оценщика и пространства состояний, обновленными до временных k.

У вас есть опция обновить состояние контроллера с помощью процедуры, внешней для контроллера MPC, и затем предоставить обновленное состояние MPC в каждый момент управления, k. В этом случае контроллер MPC пропускает все вычисления KF и LTVKF.

Документация