В этом примере рассмотрим аттрактор Лоренца, описывающий уникальный набор хаотических решений.

Загрузите набор данных и частоту дискретизации fs в рабочую область и визуализировать аттрактор Лоренца в 3-D.

load('lorenzAttractorExampleData.mat','data','fs');
plot3(data(:,1),data(:,2),data(:,3));

В данном примере используйте данные о направлении X аттрактора Лоренца. Начиная с Lag неизвестно, оцените задержку используя phaseSpaceReconstruction. Установите размерность 3, так как аттрактор Лоренца является трехмерной системой. The dim и lag параметры требуются для создания логарифмического расхождения в зависимости от шага графика расширения.

xdata = data(:,1);
dim = 3;
[~,lag] = phaseSpaceReconstruction(xdata,[],dim)

lag = 10

Создайте средний логарифмический график расхождения с шагом расширения для аттрактора Лоренца, используя lag значение, полученное на предыдущем этапе. Установите достаточно большую область значений расширения, чтобы захватить все шаги расширения.

eRange = 200;
lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',eRange)

Первая штриховая вертикальная зеленая линия (слева) указывает минимальное количество шагов, используемых для оценки области значений расширения, в то время как вторая вертикальная зеленая линия (справа) представляет максимальное количество используемых шагов. Вместе первая и вторая вертикальные линии представляют область значений расширения. Штриховая красная линия указывает линейную линию подгонки для данных в пределах области значений расширения.

Чтобы вычислить самый большой показатель Ляпунова, сначала нужно определить область значений расширения, необходимый для точной оценки.

На графике перетащите две штриховые вертикальные зеленые линии, чтобы наилучшим образом соответствовать линейной линии подгонки к исходной линии данных, чтобы получить область значений расширения: ${\mathit{K}}_{\min }$ и ${\mathit{K}}_{\max }$.

Обратите внимание на новые значения области значений расширения после перетаскивания двух вертикальных линий для соответствующей подгонки.

Поскольку область значений расширения может быть задан только с помощью целых чисел, округление ${\mathit{K}}_{\min }$ и ${\mathit{K}}_{\max }$ на ближайшее целое число. Найдите самый большой показатель Ляпунова аттрактора Лоренца, используя новое значение области значений расширения.

Kmin = 21;
Kmax = 161;
lyapExp = lyapunovExponent(xdata,fs,lag,dim,'ExpansionRange',[Kmin Kmax])

lyapExp = 1.6834

Отрицательный показатель Ляпунова указывает на сходимость, в то время как положительный показатель Ляпунова демонстрирует расхождение и хаос. Величина lyapExp является показателем скорости сходимости или расхождения бесконечно близких траекторий.