Модель четырехвагонной подвески

Обычные пассивные подвески используют пружину и демпфер между корпусом автомобиля и колесным узлом. Характеристики пружины-демпфера выбираются, чтобы подчеркнуть одну из нескольких противоречивых целей, таких как комфорт пассажиров, обработка дорог и отклонение подвески. Активные подвески позволяют проектировщику сбалансировать эти цели с помощью гидравлического привода с обратной связью между шасси и колесным узлом.

В этом примере используется модель системы активной подвески с четвертью автомобиля (см. фигуру 1). Масса $$m_b$$ (в килограммах) представляет собой автомобильное шасси (кузов) и массу $$m_w$$ (в килограммах) представляет колесный узел. Пружина $$k_s$$ и демпфер $$b_s$$ представляют пассивную пружину и амортизатор, размещенные между кузовом автомобиля и колесным узлом. Пружина $$k_t$$ моделирует сжимаемость пневматической шины. Переменные $$x_b$$, $$x_w$$, и $$r$$ (все в метрах) являются перемещением кузова, перемещением колеса и нарушением порядка, соответственно. Сила $$f_s$$ (в кНьютонах), приложенный между корпусом и колесным узлом, управляется с помощью обратной связи и представляет собой активный компонент системы подвески.

Фигура 1: Квартальная модель активной подвески.

С обозначением $$(x_1,x_2,x_3,x_4):=(x_b,\underset{}{\overset{\dot{}}{x_b}},x_w,{\underset{}{\overset{\dot{}}{x}}}_w)$$, линеаризованные уравнения пространства состояний для модели с четвертью машины:

Создайте модель пространства состояний qcar представление этих уравнений.

% Physical parameters
mb = 300;    % kg
mw = 60;     % kg
bs = 1000;   % N/m/s
ks = 16000 ; % N/m
kt = 190000; % N/m

% State matrices
A = [ 0 1 0 0; [-ks -bs ks bs]/mb ; ...
      0 0 0 1; [ks bs -ks-kt -bs]/mw];
B = [ 0 0; 0 1e3/mb ; 0 0 ; [kt -1e3]/mw];
C = [1 0 0 0; 1 0 -1 0; A(2,:)];
D = [0 0; 0 0; B(2,:)];

qcar = ss(A,B,C,D);
qcar.StateName = {'body travel (m)';'body vel (m/s)';...
          'wheel travel (m)';'wheel vel (m/s)'};
qcar.InputName = {'r';'fs'};
qcar.OutputName = {'xb';'sd';'ab'};

Передаточная функция от привода к движению и ускорению корпуса имеет мнимый осевой нуль с естественной частотой 56,27 рад/с. Это называется частотой шинного скачка.

tzero(qcar({'xb','ab'},'fs'))

ans = 2×1 complex

  -0.0000 +56.2731i
  -0.0000 -56.2731i

Точно так же передаточная функция от привода к отклонению подвеса имеет мнимую ось, нуль с собственной частотой 22,97 рад/с. Это называется частотой пространства трения.

zero(qcar('sd','fs'))

ans = 2×1 complex

   0.0000 +22.9734i
   0.0000 -22.9734i

Дорожные нарушения порядка влияют на движение автомобиля и подвеску. Комфорт пассажиров связан с небольшим ускорением тела. Допустимый ход подвески ограничивается пределами на перемещение привода. Постройте график усиления разомкнутого контура от нарушения порядка дороги и силы привода до ускорения корпуса и перемещения подвески.

bodemag(qcar({'ab','sd'},'r'),'b',qcar({'ab','sd'},'fs'),'r',{1 100});
legend('Road disturbance (r)','Actuator force (fs)','location','SouthWest')
title({'Gain from road dist (r) and actuator force (fs) ';
       'to body accel (ab) and suspension travel (sd)'})

Из-за мнимых нулей осей управление с обратной связью не может улучшить ответ от нарушения порядка дороги $$r$$ в ускорение тела $$a_b$$ на частоте tire-hop, и от $$r$$ к отклонению подвески $$s_d$$ на частоте пространства гремучих волн. Более того, из-за отношений $$x_w=x_b-s_d$$ и тот факт, что положение колеса $$x_w$$ примерно следуют $$r$$ при низкой частоте (менее 5 рад/с) происходит неотъемлемый компромисс между комфортом пассажиров и отклонением подвески: любое уменьшение хода кузова на низкой частоте приведет к увеличению отклонения подвески.

Модель неопределенного привода

Гидравлический привод, используемый для активного управления подвеской, соединяется между массой корпуса $$m_b$$ и масса колесного узла $$m_w$$. Номинальная динамика привода представлена передаточной функцией первого порядка $$1/(1+s/60)$$ с максимальным водоизмещением 0,05 м.

ActNom = tf(1,[1/60 1]);

Эта номинальная модель только аппроксимирует динамику физического привода. Мы можем использовать семейство моделей привода, чтобы учесть ошибки моделирования и изменчивость в моделях привода и квартала автомобиля. Это семейство состоит из номинальной модели с частотно-зависимым количеством неопределенности. На низкой частоте, ниже 3 рад/с, модель может варьироваться до 40% от своего номинального значения. Около 3 рад/с, процентное изменение начинает увеличиваться. Неопределенность пересекает 100% при 15 рад/с и достигает 2000% при приблизительно 1000 рад/с. Функция взвешивания $$W_{unc}$$ используется для моделирования величины неопределенности с частотой.

Wunc = makeweight(0.40,15,3);
unc = ultidyn('unc',[1 1],'SampleStateDim',5);
Act = ActNom*(1 + Wunc*unc);
Act.InputName = 'u';
Act.OutputName = 'fs';

Результат Act - модель привода с неопределенным пространством состояний. Постройте график характеристики Бода 20 выборочных значений Act и сравните с номинальным значением.

rng('default')
bode(Act,'b',Act.NominalValue,'r+',logspace(-1,3,120))

Проектирование Setup

Основные цели управления сформулированы с точки зрения комфорта пассажиров и обработки дорог, которые относятся к ускорению кузова $$a_b$$ и перемещение подвески $$s_d$$. Другие факторы, которые влияют на систему управления, включают характеристики нарушения порядка дороги, качество измерений датчика для обратной связи и пределы доступной силы управления. Использовать $$H_{\infty }$$ алгоритмы синтеза, мы должны выразить эти цели как одну функцию затрат, которая должна быть минимизирована. Это может быть сделано, как показано фигура.

Фигура 2: Рецептура подавления помех.

Контроллер обратной связи использует измерения $$y_1,y_2$$ хода подвески $$s_d$$ и ускорение тела $$a_b$$ для вычисления управляющего сигнала $$u$$ привода гидропривода. Существует три внешних источника нарушения порядка:

Цели управления могут быть переосмыслены как цель подавления помех: Минимизируйте влияние нарушений порядка $$d_1,d_2,d_3$$ на взвешенной комбинации усилий по управлению $$u$$, перемещение подвески $$s_d$$, и ускорение тела $$a_b$$. При использовании $$H_{\infty }$$ norm (пиковое усиление) для измерения « влияния», это эквивалентно разработке контроллера, который минимизирует $$H_{\infty }$$ норма от входов нарушения порядка $$d_1,d_2,d_3$$ к сигналам ошибки $$e_1,e_2,e_3$$.

Создайте функции взвешивания на фигуре 2 и пометьте их каналы ввода-вывода, чтобы облегчить соединение. Используйте фильтр верхних частот для $$W_{act}$$ штрафовать высокочастотное содержимое управляющего сигнала и, таким образом, ограничивать пропускную способность управляющего сигнала.

Wroad = ss(0.07);  Wroad.u = 'd1';   Wroad.y = 'r';
Wact = 0.8*tf([1 50],[1 500]);  Wact.u = 'u';  Wact.y = 'e1';
Wd2 = ss(0.01);  Wd2.u = 'd2';   Wd2.y = 'Wd2';
Wd3 = ss(0.5);   Wd3.u = 'd3';   Wd3.y = 'Wd3';

Задайте цели с обратной связью для усиления от нарушения порядка дороги $$r$$ к отклонению подвески $$s_d$$ (обработка) и ускорение тела $$a_b$$ (комфорт). Из-за неопределенности привода и мнимых нулей осей, только стремиться ослабить нарушения порядка ниже 10 рад/с.

HandlingTarget = 0.04 * tf([1/8 1],[1/80 1]);
ComfortTarget = 0.4 * tf([1/0.45 1],[1/150 1]);

Targets = [HandlingTarget ; ComfortTarget];
bodemag(qcar({'sd','ab'},'r')*Wroad,'b',Targets,'r--',{1,1000}), grid
title('Response to road disturbance')
legend('Open-loop','Closed-loop target')

Соответствующие веса эффективность $$W_{sd},W_{ab}$$ являются взаимностью этих целей комфорта и обработки. Чтобы исследовать компромисс между комфортом пассажиров и обработкой дорог, создайте три набора весов $$(\beta W_{sd},(1-\beta )W_{ab})$$ соответствующий трем различным компромиссам: комфорт ($$\beta =0.01$$), сбалансированный ($$\beta =0.5$$), и обработка ($$\beta =0.99$$).

% Three design points
beta = reshape([0.01 0.5 0.99],[1 1 3]);
Wsd = beta / HandlingTarget;
Wsd.u = 'sd';  Wsd.y = 'e3';
Wab = (1-beta) / ComfortTarget;
Wab.u = 'ab';  Wab.y = 'e2';

Наконец, используйте connect для создания модели qcaric на блок схеме Фигуры 2. Обратите внимание, что qcaric массив из трех моделей, по одной для каждого проекта $$\beta$$. Кроме того, qcaric является неопределенной моделью, поскольку она содержит неопределенную модель привода Act.

sdmeas  = sumblk('y1 = sd+Wd2');
abmeas = sumblk('y2 = ab+Wd3');
ICinputs = {'d1';'d2';'d3';'u'};
ICoutputs = {'e1';'e2';'e3';'y1';'y2'};
qcaric = connect(qcar(2:3,:),Act,Wroad,Wact,Wab,Wsd,Wd2,Wd3,...
                 sdmeas,abmeas,ICinputs,ICoutputs)

qcaric =

  3x1 array of uncertain continuous-time state-space models.
  Each model has 5 outputs, 4 inputs, 9 states, and the following uncertain blocks:
    unc: Uncertain 1x1 LTI, peak gain = 1, 1 occurrences

Type "qcaric.NominalValue" to see the nominal value, "get(qcaric)" to see all properties, and "qcaric.Uncertainty" to interact with the uncertain elements.

Номинальный проект H-бесконечности

Использование hinfsyn для вычисления $$H_{\infty }$$ контроллер для каждого значения коэффициента смешения $$\beta$$.

ncont = 1; % one control signal, u
nmeas = 2; % two measurement signals, sd and ab
K = ss(zeros(ncont,nmeas,3));
gamma = zeros(3,1);
for i=1:3
   [K(:,:,i),~,gamma(i)] = hinfsyn(qcaric(:,:,i),nmeas,ncont);
end

gamma

gamma = 3×1

    0.9405
    0.6727
    0.8892

Три контроллера достигают системы с обратной связью $$H_{\infty }$$ нормы 0,94, 0,67 и 0,89 соответственно. Создайте соответствующие модели с обратной связью и сравните усиления от нарушения порядка дороги с $$x_b,s_d,a_b$$ для пассивных и активных суспензий. Обратите внимание, что все три контроллера уменьшают отклонение подвески и ускорение тела ниже частоты пространства трения (23 рад/с).

% Closed-loop models
K.u = {'sd','ab'};  K.y = 'u';
CL = connect(qcar,Act.Nominal,K,'r',{'xb';'sd';'ab'});

bodemag(qcar(:,'r'),'b', CL(:,:,1),'r-.', ...
   CL(:,:,2),'m-.', CL(:,:,3),'k-.',{1,140}), grid
legend('Open-loop','Comfort','Balanced','Handling','location','SouthEast')
title('Body travel, suspension deflection, and body acceleration due to road')

Оценка временной области

Чтобы дополнительно оценить три проекта, выполните симуляции во временной области с использованием сигнала нарушения порядка дороги $$r(t)$$ представляет собой дорожный отбойник высотой 5 см.

% Road disturbance
t = 0:0.0025:1;
roaddist = zeros(size(t));
roaddist(1:101) = 0.025*(1-cos(8*pi*t(1:101)));

% Closed-loop model
SIMK = connect(qcar,Act.Nominal,K,'r',{'xb';'sd';'ab';'fs'});

% Simulate
p1 = lsim(qcar(:,1),roaddist,t);
y1 = lsim(SIMK(1:4,1,1),roaddist,t);
y2 = lsim(SIMK(1:4,1,2),roaddist,t);
y3 = lsim(SIMK(1:4,1,3),roaddist,t);

% Plot results
subplot(211)
plot(t,p1(:,1),'b',t,y1(:,1),'r.',t,y2(:,1),'m.',t,y3(:,1),'k.',t,roaddist,'g')
title('Body travel'), ylabel('x_b (m)')
subplot(212)
plot(t,p1(:,3),'b',t,y1(:,3),'r.',t,y2(:,3),'m.',t,y3(:,3),'k.',t,roaddist,'g')
title('Body acceleration'), ylabel('a_b (m/s^2)')

subplot(211)
plot(t,p1(:,2),'b',t,y1(:,2),'r.',t,y2(:,2),'m.',t,y3(:,2),'k.',t,roaddist,'g')
title('Suspension deflection'), xlabel('Time (s)'), ylabel('s_d (m)')
subplot(212)
plot(t,zeros(size(t)),'b',t,y1(:,4),'r.',t,y2(:,4),'m.',t,y3(:,4),'k.',t,roaddist,'g')
title('Control force'), xlabel('Time (s)'), ylabel('f_s (kN)')
legend('Open-loop','Comfort','Balanced','Handling','Road Disturbance','location','SouthEast')

Обратите внимание, что ускорение тела является наименьшим для контроллера, подчеркивая комфорт пассажира и самым большим для контроллера, подчеркивая отклонение подвески. «Сбалансированный » проект достигает хорошего компромисса между ускорением тела и отклонением подвески.

Робастный проект Mu

До сих пор вы проектировали $$H_{\infty }$$ контроллеры, которые отвечают целям эффективности для номинальной модели привода. Как обсуждалось ранее, эта модель является только приближением истинного привода, и необходимо убедиться, что эффективность контроллера поддерживается перед лицом ошибок модели и неопределенности. Это называется устойчивой эффективностью.

Следующее использование $$\mu$$-синтез для разработки контроллера, который достигает устойчивой эффективности для всего семейства моделей привода. Устойчивый контроллер синтезируется с помощью функции musyn с помощью неопределенной модели qcaric(:,:,2) соответствующий «сбалансированной» эффективности ($$\beta =0.5$$).

[Krob,rpMU] = musyn(qcaric(:,:,2),nmeas,ncont);

D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
                       Robust performance               Fit order
-----------------------------------------------------------------
  Iter         K Step       Peak MU       D Fit             D
    1           1.193        1.125        1.139             4
    2           1.091        1.025        1.033             4
    3          0.9991        0.946       0.9559             4
    4          0.9358        0.932       0.9348             4
    5          0.9096       0.9057       0.9114             8
    6          0.9103        0.907       0.9096             8
    7          0.9091       0.9066       0.9094             6

Best achieved robust performance: 0.906

Симулируйте номинальный ответ на дорожный отбойник с устойчивым контроллером Krob. Ответы аналогичны тем, что получены с «сбалансированным» $$H_{\infty }$$ контроллер.

% Closed-loop model (nominal)
Krob.u = {'sd','ab'};
Krob.y = 'u';
SIMKrob = connect(qcar,Act.Nominal,Krob,'r',{'xb';'sd';'ab';'fs'});

% Simulate
p1 = lsim(qcar(:,1),roaddist,t);
y1 = lsim(SIMKrob(1:4,1),roaddist,t);

% Plot results
clf, subplot(221)
plot(t,p1(:,1),'b',t,y1(:,1),'r',t,roaddist,'g')
title('Body travel'), ylabel('x_b (m)')
subplot(222)
plot(t,p1(:,3),'b',t,y1(:,3),'r')
title('Body acceleration'), ylabel('a_b (m/s^2)')
subplot(223)
plot(t,p1(:,2),'b',t,y1(:,2),'r')
title('Suspension deflection'), xlabel('Time (s)'), ylabel('s_d (m)')
subplot(224)
plot(t,zeros(size(t)),'b',t,y1(:,4),'r')
title('Control force'), xlabel('Time (s)'), ylabel('f_s (kN)')
legend('Open-loop','Robust design','location','SouthEast')

Затем моделируйте реакцию на дорожный отбойник для 100 моделей привода, случайным образом выбранных из набора неопределенных моделей Act.

rng('default'), nsamp = 100;  clf

% Uncertain closed-loop model with balanced H-infinity controller
CLU = connect(qcar,Act,K(:,:,2),'r',{'xb','sd','ab'});
lsim(usample(CLU,nsamp),'b',CLU.Nominal,'r',roaddist,t)
title('Nominal "balanced" design')
legend('Perturbed','Nominal','location','SouthEast')

% Uncertain closed-loop model with balanced robust controller
CLU = connect(qcar,Act,Krob,'r',{'xb','sd','ab'});
lsim(usample(CLU,nsamp),'b',CLU.Nominal,'r',roaddist,t)
title('Robust "balanced" design')
legend('Perturbed','Nominal','location','SouthEast')

Надежный контроллер Krob уменьшает изменчивость из-за неопределенности модели и обеспечивает более последовательную эффективность.

Упрощение контроллера: Сокращение порядка

Надежный контроллер Krob имеет относительно высокий порядок по сравнению с объектом. Можно использовать функции снижения сложности модели, чтобы найти контроллер более низкого порядка, который достигает того же уровня устойчивой эффективности. Использование reduce для генерации приближений различных порядков.

% Create array of reduced-order controllers
NS = order(Krob);
StateOrders = 1:NS;
Kred = reduce(Krob,StateOrders);

Следующее использование robgain вычисление надежного запаса эффективности для каждого приближения пониженного порядка. Цели эффективности достигаются, когда коэффициент усиления в системе с обратной связью меньше, чем $$\gamma =1$$. Устойчивый запас эффективности измеряет, насколько неопределенность может быть сохранена без ухудшения эффективности (превышения $$\gamma =1$$). Запас в 1 или более указывает, что мы можем поддерживать 100% указанной неопределенности.

% Compute robust performance margin for each reduced controller
gamma = 1;
CLP = lft(qcaric(:,:,2),Kred);
for k=1:NS
   PM(k) = robgain(CLP(:,:,k),gamma);
end

% Compare robust performance of reduced- and full-order controllers
PMfull = PM(end).LowerBound;
plot(StateOrders,[PM.LowerBound],'b-o',...
   StateOrders,repmat(PMfull,[1 NS]),'r');
grid
title('Robust performance margin as a function of controller order')
legend('Reduced order','Full order','location','SouthEast')

Можно использовать наименьший порядок контроллера, для которого устойчивая эффективность выше 1.

Упрощение контроллера: Настройка фиксированного порядка

Также можно использовать musyn для непосредственной настройки контроллеров низкого порядка. Это часто более эффективно, чем a-апостериорное сокращение контроллера полного порядка Krob. Например, настройте контроллер третьего порядка, чтобы оптимизировать его устойчивую эффективность.

% Create tunable 3rd-order controller 
K = tunableSS('K',3,ncont,nmeas);

% Tune robust performance of closed-loop system CL
CL0 = lft(qcaric(:,:,2),K);
[CL,RP] = musyn(CL0);

D-K ITERATION SUMMARY:
-----------------------------------------------------------------
                       Robust performance               Fit order
-----------------------------------------------------------------
  Iter         K Step       Peak MU       D Fit             D
    1           1.189        1.104         1.12            10
    2           1.076        1.062        1.073            10
    3          0.9899       0.9762       0.9913            10
    4          0.9229       0.9228       0.9341            10
    5          0.9197       0.9156        0.925            10
    6            0.92       0.9157       0.9226            10

Best achieved robust performance: 0.916

Настроенный контроллер имеет эффективность RP=0.92, очень близко к тому, что у Krob. Его ответ Bode можно увидеть используя

K3 = getBlockValue(CL,'K');
bode(K3)