Процесс итерации D-K

Вы можете использовать musyn команда для разработки робастного контроллера для неопределенного объекта, как описано в Robust Controller Design Using Mu Synthesis. Алгоритм, используемый musyn - итерационный процесс, называемый D-K iteration. В этом процессе функция:

Использует H синтез ∞, чтобы найти контроллер, который минимизирует коэффициент усиления в системе с обратной связью номинальной системы .
Выполняет анализ робастности, чтобы оценить устойчивую H ∞ эффективность системы с обратной связью. Эта величина выражена как масштабированная _H ∞ норма с динамическими масштабированиями, называемыми D и G масштабированиями (D шаг).
Находит новый контроллер, чтобы минимизировать масштабированную норму H ∞, полученную на шаге 2 (K шаг).
Повторяет шаги 2 и 3 до тех пор, пока устойчивая эффективность не перестанет улучшаться.

И шаг D, и шаг K являются математически интенсивными расчетами. Далее приводятся подробные данные алгоритма.

Шаг D

На D шаге, musyn вычисляет верхнюю границу $\bar{μ}$ устойчивой производительности H ∞ для токового K контроллера. Шаг D начинается с надежного анализа эффективности для системы с неопределенной системой с обратной связью T = LFT (P, K), как на следующей схеме.

Введение блока производительности в _perf преобразует устойчивый анализ T в устойчивый анализ цикла обратной связи на следующей схеме.

Здесь, И является дополненной структурой неопределенности

$Δ ≜ (\begin{matrix} Δ_{p e r f} & 0 \\ 0 & Δ_{u n c} \end{matrix}) .$

musyn вычисляет $\bar{μ}$ , верхняя граница устойчивой H ∞ эффективность. Для этого ,musyn выбирает сетку частот {ω 1,.._., ωN}. Для T только со сложной неопределенностью,musyn вычисляет на каждой частотной _ωi

${\bar{μ}}_{i} = \inf_{D_{i}} ‖ D_{i} T_{0} (j ω_{i}) D_{i}^{- 1} ‖ .$

Частотно-зависимые матрицы D, которые коммутируются с, называются D масштабированиями. $\bar{μ}$ является самым большим результатом по всем частотам в сетке,

$\bar{μ} = \max_{i} {\bar{μ}}_{i} .$

Когда вы используете musyn, вы можете получить доступ к результатам D шага несколькими способами.

Дефолт musyn отображение показывает $\bar{μ}$ для каждой итерации в Peak MU столбец.
musyn возвраты $\bar{μ}$ для каждой итерации в PeakMU поле info выходной аргумент.
musyn возвращает _Di в DG поля info выходной аргумент.
Чтобы визуализировать частотную зависимость _Di, установите 'Display' опция musynOptions на 'full'.

Для получения дополнительной информации об расчете и интерпретации $\bar{μ}$ , см. Robust Performance Measure for Mu-Synthesis.

D-образная и масштабированная производительность H ∞

musyn подходит для рациональной функции D (s) к последовательности масштабирований {_Di}. Подгонка приводит к величине _μF называемой scaled H∞ performance,

$μ_{F} ≜ {‖ D (T_{0}) D^{- 1} ‖}_{\infty} .$

Поскольку подгонка не точна, _μF обычно несколько больше, чем $\bar{μ}$ .

Получить доступ к результатам подгонки можно несколькими способами.

Дефолт musyn Отображение показов _μF для каждой итерации в DG Fit столбец.
musyn возвращает _μF для каждой итерации в PeakMUFit поле info выходной аргумент.
musyn возвращает функции аппроксимации в dr и dc поля info выходной аргумент.
Чтобы визуализировать частотную зависимость функций аппроксимации, установите 'Display' опция musynOptions на 'full'.

K Шаг

T 0 зависит от выбора контроллера K по отношению _T 0 = LFT (P 0, K). Поэтому _{минимизация} μF по отношению к K является задачей масштабированного H ∞ синтеза. Таким образом, на K шаге,musyn использование hinfsyn или hinfstruct для вычисления K контроллера^* что минимизирует _μF. Минимизированная величина является масштабированной H ∞ нормой. Чтобы алгоритм продвинулся вперед, новый контроллер должен улучшить устойчивую эффективность, полученную на D шаге :

${‖ D LFT (P_{0}, K^{*}) D^{- 1} ‖}_{\infty} < \bar{μ} .$

В противном случае прогресса недостаточно для компенсации ошибок аппроксимации. Таким образом musyn завершает процесс итерации D-K, когда K^* не улучшает устойчивую эффективность в пределах допуска, заданного 'TolPerf' опция musynOptions.

Доступ к результатам шага K можно получить несколькими способами.

Дефолт musyn На отображении показана масштабированная норма H ∞ для каждой итерации в K Step столбец.
musyn возвращает новый контроллер в K от info выходной аргумент и соответствующий масштабированный H ∞ норму для каждой итерации в gamma поле.

Смешанная реальная и сложная неопределенность

Когда у системы есть как реальная, так и комплексная неопределенность, и вы устанавливаете 'MixedMU' опция musynOptions на 'on', musyn использует дополнительное G - измеряющий, чтобы улучшить расчет $\bar{μ}$ . Алгоритм в этом случае называется mixed-μ synthesis.

Для смешанной неопределенности, musyn вычисляет ${\bar{μ}}_{i}$ и масштабирования _Dr (_ωi), _Dc ₍ωi) и _Gcr (ωi), такие что

${(\begin{matrix} T_{0} (j ω_{i}) \\ I \end{matrix})}^{H} (\begin{matrix} D_{r} (ω_{i}) & - j G_{c r}^{H} (ω_{i}) \\ j G_{c r} (ω_{i}) & - {\bar{μ}}_{i}^{2} D_{c} (ω_{i}) \end{matrix}) (\begin{matrix} T_{0} (j ω_{i}) \\ I \end{matrix}) \leq 0$

на каждой частоте в сетке.

musyn подходит для D и G данных масштабирования путем построения рациональной функции

$F (s) = Ψ (s) (\begin{matrix} d_{r} (s) & 0 \\ 0 & d_{c} (s) \end{matrix})$

таким, что

_dr (<reservedrangesplaceholder3>), dc (<reservedrangesplaceholder1>), и Ψ (<reservedrangesplaceholder0>) стабильны со стабильной инверсией.
_dr (s) и _dc (s) аппроксимируют квадратные корни диагональных элементов Dr (ωi) _и _Dc (ωi).
F приблизительно удовлетворяет
$\begin{matrix} (\begin{matrix} D_{r} (ω_{i}) & - j G_{c r}^{H} (ω_{i}) \\ j G_{c r} (ω_{i}) & - μ^{2} D_{c} (ω_{i}) \end{matrix}) \approx F {(j ω_{i})}^{H} J F (j ω_{i}), \\ J = (\begin{matrix} I_{r} & 0 \\ 0 & - I {}_{c} \end{matrix}) . \end{matrix}$

Наконец, масштабированная производительность H ∞ определяется как

$μ_{F} ≜ {‖ \bar{T} (s) ‖}_{\infty},$

где $\bar{T} (s)$ - преобразованная система,

$\bar{T} (s) ≜ \bar{μ} {\bar{T}}_{1} {\bar{T}}_{2}^{- 1}, (\begin{matrix} {\bar{T}}_{1} (s) \\ {\bar{T}}_{2} (s) \end{matrix}) ≜ Ψ (s) (\begin{matrix} d_{r} (s) T_{0} (s) \\ d_{c} (s) \end{matrix}) .$

Для точной подгонки D и G, $‖ \bar{T} (j ω_{i}) ‖ = {\bar{μ}}_{i}$ . Поэтому в целом, $μ_{F} \geq \bar{μ} .$

Потому что преобразованная система $\bar{T} (s)$ все еще линейная фракционная функция контроллера K, K шаг для смешанного - μ доходы случая, вычисляя контроллер <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> , который минимизирует ${‖ \bar{T} ‖}_{\infty}$ .

При использовании musyn, вы можете получить доступ к D и G масштабированиям несколькими способами.

musyn возвращает D и G данные масштабирования в DG поле info выходной аргумент.
musyn возвращает функции аппроксимации в dr, dc, и PSI поля info выходной аргумент.
Чтобы визуализировать частотную зависимость масштабирующих данных и функций аппроксимации, установите 'Display' опция musynOptions на 'full'.

См. также

musyn | musynOptions | musynperf

Документация