Устойчивая Эффективность мера для Mu-Synthesis

Количество robust H∞ performance определяет, как смоделированная неопределенность влияет на эффективность цикла обратной связи. Эффективность здесь измеряется с помощью H нормы ∞ (пикового усиления) интересующей передаточной функции, такой как от нарушения порядка до сигналов ошибки. (См. H-Infinity Performance.)

Для системы T (<reservedrangesplaceholder6>), прочная эффективность <reservedrangesplaceholder5>  μ является самым маленьким значением γ таким образом, что пиковая выгода T остается ниже γ по причине неопределенности до 1 / γ в нормализованных модулях. Для примера:

μ = 0,5 означает, что ||<reservedrangesplaceholder2> (s) ||∞ остается ниже 0,5 для неопределенности до удвоения неопределенности, указанной в T. Наихудший коэффициент усиления для заданной неопределенности обычно меньше.
μ = 2 означает, что ||<reservedrangesplaceholder2> (s) ||∞ остается ниже 2 для неопределенности до половины неопределенности, указанной в T. Для этого значения усиление в худшем случае для полной заданной неопределенности может быть намного больше. Он может быть даже бесконечным, что означает, что система не остается стабильной во всей области значений заданной неопределенности.

Количественная μ является пиковым значением по частоте structured singular value μ (ω) для неопределенности, указанной в T. Эта величина является обобщением сингулярного значения для неопределенных систем. Это зависит от структуры неопределенности в системе. На практике μ трудно вычислить точно, поэтому программное обеспечение вместо этого вычисляет нижнюю и верхнюю границы, $\underline{μ}$ и $\bar{μ}$ . Верхняя граница $\bar{μ}$ имеет несколько применений в разработке и анализе системы управления. Вы можете:

Использовать musyn чтобы спроектировать контроллер для неопределенного объекта, который минимизирует $\bar{μ}$ системы с обратной связью. В дополнение к полученному контроллеру, musyn возвращает соответствующее значение $\bar{μ}$ в CLperf выходной аргумент.
Использовать musynperf оценить устойчивую эффективность неопределенной системы. Эта функция возвращает более низкие и верхние границы μ, значения неопределенности, которые дают пиковое μ, и другую информацию об устойчивой эффективности с обратной связью.

Неопределенная модель

Чтобы понять расчет прочной эффективности <reservedrangesplaceholder5> , считайте неопределенную систему T (<reservedrangesplaceholder3>), _{смоделированной} как фиксированный фрагмент <reservedrangesplaceholder2> 0 и неопределенный фрагмент Δ <reservedrangesplaceholder1> / γ.

.R. _unc собирает неопределенные элементы {_Δ1,..., .R. N}

$Δ_{u n c} = (\begin{matrix} Δ_{1} \\ ⋱ \\ Δ_{N} \end{matrix}) .$

Каждое j И является произвольной действительной, комплексной или динамической неопределенностью, которая нормирована таким образом, что _{||Δ<reservedrangesplaceholder1>||∞} ≤ 1. Коэффициент γ корректирует уровень неопределенности.

Устойчивая эффективность как запас устойчивости

Предположим, что для системы, смоделированной как на схеме (а),

||<reservedrangesplaceholder2>||∞ ≤ γ для всех ||Δ<reservedrangesplaceholder0>||∞ ≤ 1.

Теоремой маленькой выгоды (см. [1]), это прочное условие эффективности эквивалентно заявлению, что система диаграммы (b), LFT (_{Δ <reservedrangesplaceholder3>} / γ, T), _{стабильно} _для всех для всего ||Δ <reservedrangesplaceholder0> || ∞ ≤ 1.

.R. _perf называется performance block. Расширьтесь T как в диаграмме (a) и _{группе Δ <reservedrangesplaceholder1>} _с неопределенным Δ <reservedrangesplaceholder0> блоков, чтобы определить новый блок Δ,

$Δ ≜ (\begin{matrix} Δ_{p e r f} & 0 \\ 0 & Δ_{u n c} \end{matrix}) .$

Результатом является система на следующей схеме.

Таким образом, устойчивое условие эффективности системы схемы (a) эквивалентно условию устойчивости на схеме (c), или

${‖ T ‖}_{\infty} \leq γ для всех {‖ Δ_{u n c} ‖}_{\infty} \leq 1 \Leftrightarrow {‖ L F T (Δ / γ), T_{0} ‖}_{\infty} стабильный для всех {‖ Δ ‖}_{\infty} \leq 1.$

Устойчивый μ эффективности является наименьшим γ, для которого это условие устойчивости. Эквивалентно, 1/ μ является самым большим уровнем неопределенности 1/ γ, для которого система диаграммы (с) устойчива. Другими словами, 1/ μ является устойчивым запасом устойчивости цикла обратной связи схемы (c) для дополненной неопределенности (Для получения дополнительной информации об устойчивых запасах устойчивости смотрите Анализ робастности и наихудшего случая.)

Верхняя граница μ

Чтобы получить оценку верхней границы μ, программное обеспечение вводит scalings. Если система в схеме (c) стабильна для всех _||Δ||∞ ≤ 1, то система следующей схемы также стабильна, для любого инвертируемого D.

Если D коммутируется, то система схемы (d) такая же, как и система в следующей схеме.

Матрицы D, что структурно коммутируйте с, называются D масштабированиями. Они могут быть частотно-зависимыми, что обозначается D (ω).

Определить $\bar{μ}$ как:

$\bar{μ} ≜ \inf_{D (ω)} {‖ D (ω) T_{0} (j ω) D {(ω)}^{- 1} ‖}_{\infty} .$

Для оптимального D * (ω) и любого γ ≥ $\bar{μ}$ ,

${‖ D^{*} (ω) T_{0} (j ω) D^{*} {(ω)}^{- 1} ‖}_{\infty} \leq γ .$

Поэтому по теореме о малом усилении система схемы (e) стабильна для всех _||Δ||∞ ≤ 1. Из этого следует, что 1 / <reservedrangesplaceholder5> ≤ 1 / μ, или <reservedrangesplaceholder3> ≤ <reservedrangesplaceholder2> , потому что 1 / μ - прочный запас устойчивости. Следовательно, μ ≤ $\bar{μ}$ , так что $\bar{μ}$ является верхней границей для надежного μ эффективности. Эта верхняя граница $\bar{μ}$ - количество, вычисленное musynperf и оптимизировано musyn.

D и G Масштабирований

Когда все неопределенные элементы _{É j} являются комплексными или динамикой LTI, программное обеспечение аппроксимирует $\bar{μ}$ путем выбора частотной сетки {ω 1,.._., ωN}. В каждой частотной точке программное обеспечение решает оптимальную задачу масштабирования

${\bar{μ}}_{i} = \inf_{D_{i}} ‖ D_{i} T_{0} (j ω_{i}) D_{i}^{- 1} ‖ .$

Затем он устанавливает $\bar{μ}$ к наибольшему результату по всем частотам в сетке,

$\bar{μ} = \max_{i} {\bar{μ}}_{i} .$

Когда некоторые _{Β j} являются реальными, возможно получить менее консервативную верхнюю границу с помощью дополнительных масштабирований, называемых G масштабами. В этом случае, $\bar{μ}$ является наименьшим ${\bar{μ}}_{i}$ по частоте такой, что

${(\begin{matrix} T_{0} (j ω_{i}) \\ I \end{matrix})}^{H} (\begin{matrix} D_{r} (ω_{i}) & - j G_{c r}^{H} (ω_{i}) \\ j G_{c r} (ω_{i}) & - {\bar{μ}}_{i}^{2} D_{c} (ω_{i}) \end{matrix}) (\begin{matrix} T_{0} (j ω_{i}) \\ I \end{matrix}) \leq 0$

для некоторых _Dr (_ωi), _Dc ₍ωi) и _Gcr (ωi). Эти частотно-зависимые матрицы являются D и G масштабированиями.

Mu-Synthesis

musyn команда синтезирует устойчивые контроллеры с помощью итерационного процесса, который оптимизирует устойчивую эффективность $\bar{μ}$ . Чтобы узнать, как использовать musyn, см. Робастное Проектирование контроллера Использование Mu-Synthesis. Для получения дополнительной информации о musyn алгоритм, см. Процесс итерации D-K.

Ссылки

[1] Skogestad, S. and I. Postlethwaite, Multivariable Feedback Control: Analysis and Design, 2d ed. West Sussex, England: John Wiley & Sons, 2005, pp. 156, 306.

См. также

musyn | musynperf

Документация