Документация

Прямые методы

Непосредственные методы непосредственно используют определение распределения.

Для примера рассмотрим биномиальные случайные числа. Биномиальное случайное число - это количество глав в $$N$$ tosses монеты с вероятностью $$p$$ головок на любой одиночный подброс. Если вы генерируете $$N$$ равномерные случайные числа на интервале (0,1) и подсчитайте число меньше, чем $$p$$, тогда счетчик является биномиальным случайным числом с параметрами $$N$$ и $$p$$.

Эта функция является простой реализацией биномиального RNG с использованием прямого подхода:

function X = directbinornd(N,p,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        u = rand(N,1);
        X(i) = sum(u < p);
    end
end

Для примера:

rng('default') % For reproducibility
X = directbinornd(100,0.3,1e4,1);
histogram(X,101)

The binornd функция использует модифицированный прямой метод, основанный на определении биномиальной случайной переменной как суммы случайных переменных Бернулли.

Можно легко преобразовать предыдущий метод в генератор случайных чисел для распределения Пуассона с параметром $$\lambda$$. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения как $$N$$ приближается к бесконечности, $$p$$ приближается к нулю, и $$Np$$ удерживается фиксированным $$\lambda$$. Чтобы сгенерировать случайные числа Пуассона, создайте версию предыдущего генератора, которая вводит $$\lambda$$ а не $$N$$ и $$p$$, и внутренних наборов $$N$$ к некоторому большому числу и $$p$$ кому $$\lambda /N$$.

The poissrnd функция фактически использует два прямых метода:

Методы инверсии

Методы инверсии основаны на наблюдении, что непрерывные совокупные функции распределения (cdfs) равномерно варьируются по интервалу (0,1). Если $$u$$ является равномерным случайным числом на (0,1), затем использование $$X=F^{-1}(U)$$ генерирует случайное число $$X$$ из непрерывного распределения с заданным cdf $$F$$.

Например, следующий код генерирует случайные числа из определенного Экспоненциального Распределения с помощью обратного cdf и генератора равномерных случайных чисел MATLAB ® rand:

rng('default') % For reproducibility
mu = 1;
X = expinv(rand(1e4,1),mu);

Сравните распределение сгенерированных случайных чисел с PDF указанной экспоненциальной.

numbins = 50;
h = histogram(X,numbins,'Normalization','pdf');
hold on
x = linspace(h.BinEdges(1),h.BinEdges(end));
y = exppdf(x,mu);
plot(x,y,'LineWidth',2)
hold off

Методы инверсии также работают для дискретных распределений. Чтобы сгенерировать случайное число $$X$$ из дискретного распределения с вектором масс вероятностей $$P(X=x_i)=p_i$$ где $$x_0<x_1<x_2<...$$, сгенерируйте равномерное случайное число $$u$$ на (0,1) а затем установите $$X=x_i$$ если $$F(x_{i-1})<u<F(x_i)$$.

Например, следующая функция реализует метод инверсии для дискретного распределения с вектором массы вероятности $$p$$:

function X = discreteinvrnd(p,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        u = rand;
        I = find(u < cumsum(p));
        X(i) = min(I);
    end
end

Используйте функцию, чтобы сгенерировать случайные числа из любого дискретного распределения.

p = [0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 0.1]; % Probability mass function (pmf) values
X = discreteinvrnd(p,1e4,1);

Также можно использовать discretize функция для генерации дискретных случайных чисел.

X = discretize(rand(1e4,1),[0 cusmsum(p)]);

Постройте гистограмму сгенерированных случайных чисел и подтвердите, что распределение следует заданным значениям pmf.

histogram(categorical(X),'Normalization','probability')

Методы приемки-отклонения

Функциональная форма некоторых распределений затрудняет или отнимает много времени, чтобы сгенерировать случайные числа с помощью прямых или инверсионных методов. Альтернативой в этих случаях являются методы принятия-отказа.

Методы принятия-отклонения начинаются с равномерных случайных чисел, но требуют дополнительного генератора случайных чисел. Если ваша цель - сгенерировать случайное число из непрерывного распределения с pdf $$f$$Методы принятия-отклонения сначала генерируют случайное число из непрерывного распределения с pdf $$g$$ удовлетворение $$f(x)\le cg(x)$$ для некоторых $$c$$ и все $$x$$.

Непрерывная приемка-отклонение RNG выполняется следующим образом:

Для эффективности «дешевый» метод необходим для генерации случайных чисел из $$g$$, и скаляр $$c$$ должен быть маленьким. Ожидаемое количество итераций для создания одного случайного числа $$c$$.

Следующая функция реализует метод принятия-отклонения для генерации случайных чисел из pdf $$f$$ данный $$f$$, $$g$$, RNG grnd для $$g$$, и константа $$c$$:

function X = accrejrnd(f,g,grnd,c,m,n)
    X = zeros(m,n); % Preallocate memory
    for i = 1:m*n
        accept = false;
        while accept == false
            u = rand();
            v = grnd();
            if c*u <= f(v)/g(v)
               X(i) = v;
               accept = true;
            end
        end
    end
end

Для примера - функция $$f(x)=x{e}^{-x^2/2}$$ удовлетворяет условиям для PDF на $$[0,\infty )$$ (неотрицательная и интегрируется с 1). Экспоненциальный PDF со средним значением 1, $$f(x)=e^{-x}$$, доминирует $$g$$ для $$c$$ больше, чем около 2,2. Таким образом, можно использовать rand и exprnd чтобы сгенерировать случайные числа из $$f$$:

f = @(x)x.*exp(-(x.^2)/2);
g = @(x)exp(-x);
grnd = @()exprnd(1);
rng('default') % For reproducibility
X = accrejrnd(f,g,grnd,2.2,1e4,1);

PDF $$f$$ на самом деле является Распределением Релея с параметром формы 1. Этот пример сравнивает распределение случайных чисел, сгенерированных методом принятия-отклонения, с распределениями, сгенерированными raylrnd:

Y = raylrnd(1,1e4,1); 
histogram(X)
hold on
histogram(Y)
legend('A-R RNG','Rayleigh RNG')

The raylrnd функция использует метод преобразования, выражая случайную переменную Релея в терминах случайной переменной хи-квадрат, которую вы вычисляете используя randn.

Методы принятия-отклонения также работают для дискретных распределений. В этом случае цель состоит в том, чтобы сгенерировать случайные числа из распределения с массой вероятностей $$P_p(X=i)=p_i$$, принимая, что у вас есть метод для генерации случайных чисел из распределения с массой вероятностей $$P_q(X=i)=q_i$$. RNG работает следующим образом: