Распределение Пуассона

Обзор

Распределение Пуассона является однопараметрическим семейством кривых, которое моделирует количество раз, когда происходит случайное событие. Это распределение подходит для приложений, которые включают подсчет количества раз, когда случайное событие происходит в заданном количестве времени, расстояния, области и так далее. Примеры приложений, которые включают распределения Пуассона, включают количество нажатий кнопки счетчика Гейгера в секунду, количество людей, заходящих в магазин за час, и количество пакетов, потерянных по сети в минуту.

Statistics and Machine Learning Toolbox™ предлагает несколько способов работы с распределением Poisson.

Создайте объект распределения вероятностей PoissonDistribution путем подгонки распределения вероятностей к выборочным данным или путем настройки значений параметров. Затем используйте функции объекта, чтобы вычислить распределение, сгенерировать случайные числа и так далее.
Работайте с распределением Пуассона в интерактивном режиме при помощи приложения Distribution Fitter. Можно экспортировать объект из приложения и использовать функции объекта.
Используйте специфичные для распределения функции (poisscdf, poisspdf, poissinv, poisstat, poissfit, poissrnd) с заданными параметрами распределения. Функции, специфичные для распределения, могут принимать параметры нескольких распределений Пуассона.
Используйте родовые функции распределения (cdf, icdf, pdf, random) с заданным именем распределения ('Poisson') и параметры.

Параметры

В распределении Пуассона используется следующий параметр.

Параметр	Описание	Поддержка
`lambda` (<reservedrangesplaceholder0>)	Средний	$λ \geq 0$

λ параметра также равна отклонению распределения Пуассона.

Сумма двух случайных переменных Пуассона с параметрами λ 1 и _λ 2 является случайной переменной Пуассона с параметром λ = λ 1 ₊ λ 2.

Функция плотности вероятностей

Функция плотности вероятностей (pdf) распределения Пуассона

$f (x | λ) = \frac{λ^{x}}{x!} e^{- λ}; x = 0, 1, 2, \dots, \infty .$

Результатом является вероятность точно x вхождений случайного события. Для дискретных распределений PDF также известен как функция масс вероятностей (pmf).

Для получения примера смотрите Compute Poisson Распределения pdf.

Кумулятивная функция распределения

Кумулятивная функция распределения (cdf) распределения Пуассона

$p = F (x | λ) = e^{- λ} \sum_{i = 0}^{f l o o r (x)} \frac{λ^{i}}{i!} .$

Результатом является вероятность наиболее x вхождений случайного события.

Для получения примера смотрите Compute Poisson Распределения cdf.

Примеры

Распределение вычислений Пуассона в PDF

Открыть Live Script

Вычислите PDF распределения Пуассона с параметром lambda = 4.

x = 0:15;
y = poisspdf(x,4);

Постройте график PDF с полосами ширины 1.

figure
bar(x,y,1)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type bar.

Вычисление распределения Пуассона cdf

Открыть Live Script

Вычислите cdf распределения Пуассона с помощью lambda = 4 параметров.

x = 0:15;
y = poisscdf(x,4);

Постройте график cdf.

figure
stairs(x,y)
xlabel('Observation')
ylabel('Cumulative Probability')

Figure contains an axes. The axes contains an object of type stair.

Сравнение Пуассона и нормального распределения PDFS

Открыть Live Script

Когда lambda является большим, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением со средним lambda и дисперсионные lambda.

Вычислите PDF распределения Пуассона с параметром lambda = 50.

lambda = 50;
x1 = 0:100;
y1 = poisspdf(x1,lambda);

Вычислите PDF соответствующего нормального распределения.

mu = lambda;
sigma = sqrt(lambda);
x2 = 0:0.1:100;
y2 = normpdf(x2,mu,sigma);

Постройте график PDFS на той же оси.

figure
bar(x1,y1,1)
hold on
plot(x2,y2,'LineWidth',2)
xlabel('Observation')
ylabel('Probability')
title('Poisson and Normal pdfs')
legend('Poisson Distribution','Normal Distribution','location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Poisson and Normal pdfs contains 2 objects of type bar, line. These objects represent Poisson Distribution, Normal Distribution.

PDF нормального распределения близко аппроксимирует PDF распределения Пуассона.

Связанные распределения

Биномиальное Распределение - биномиальное распределение является двухпараметрическим дискретным распределением, которое отсчитывает количество успехов в N независимых испытаниях с вероятностью успеха p. Распределение Пуассона является ограничивающим случаем биномиального распределения, где N приближается к бесконечности и p переходит к нулю, в то время как N p = λ. См. Сравнение биномиальных и пуассонских Распределений PDFS.
Экспоненциальное Распределение - экспоненциальное распределение является непрерывным распределением с одним параметром, которое имеет μ параметра (среднее значение). Модели распределения Пуассона отсчитывают количество раз, когда случайное событие происходит за заданное количество времени. В такой модели количество времени между вхождениями моделируется экспоненциальным распределением со средним $\frac{1}{λ}$ .
Нормальное Распределение - нормальное распределение является двухпараметрическим непрерывным распределением, которое имеет параметры μ (среднее) и σ (стандартное отклонение). Когда λ большая, распределение Пуассона может быть аппроксимировано нормальным распределением с μ = λ и σ² = λ. См. «Сравнение пуассона и нормального распределения PDFS».

Ссылки

[1] Abramowitz, Milton, and Irene A. Stegun, eds. Справочник по математическим функциям: с формулами, графиками и математическими таблицами. 9. Dover print.; [Нахдр. дер Аусг. фон 1972]. Книги Дувра по математике. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Dover Publ, 2013.

[2] Девройе, Люк Неоднородный Генерация случайных переменных. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Спрингер Нью-Йорк, 1986. https://doi.org/10.1007/978-1-4613-8643-8

[3] Эванс, Мерран, Николас Гастингс и Брайан Пикок. Статистические распределения. 2-й ред. Нью-Йорк: Дж. Уайли, 1993.

[4] Грузчик, Кэтрин. Быстрый и точный расчет биномиальных вероятностей. 9 июля 2000 года.

См. также

Документация