Многомерное распределение t
Определение
Функция плотности вероятностей d-мерной многомерной t- распределения Студента задается
где x - 1xd вектор, Σ - симметричная, положительная определенная матрица г на г, и ν положительная скалярная величина. В то время как возможно задать многомерный Student's t для сингулярного, плотность не может быть записана как выше. Для сингулярного случая поддерживается только генерация случайных чисел. Обратите внимание, что хотя большинство учебников определяют многомерные Student's t с x, ориентированными как вектор-столбец, для целей программного обеспечения анализа данных x удобнее ориентироваться как вектор-строка, и программное обеспечение Statistics and Machine Learning Toolbox™ использует эту ориентацию.
Фон
Многомерная t- распределения Студента является обобщением одномерной t-составляющей Студента к двум или более переменным. Это распределение для случайных векторов коррелированных переменных, каждый элемент которых имеет одномерное t-распределение Стьюдента. Точно так же, как одномерное t- распределения Студента может быть построено путем деления стандартной одномерной нормальной случайной переменной на квадратный корень одномерной хи-квадратной случайной переменной, многомерное t- распределения Студента может быть построено путем деления многомерного нормального случайного вектора, имеющего нуль среднюю и модуль отклонений одномерную хи-квадратную случайную переменную
Многомерная t- распределения Ученика параметризована с помощью корреляционной матрицы и положительной скалярной величины степеней свободы параметра , аналогично параметру степеней свободы одномерного распределения Стьюдента. Off-диагональные элементы И содержат корреляции между переменными. Обратите внимание, что когда И являются тождества матрицей, переменные некоррелированы; однако они не являются независимыми.
Многомерное t-распределение Студента часто используется в качестве замены многомерного нормального распределения в ситуациях, когда известно, что маргинальные распределения отдельных переменных имеют более толстые хвосты, чем нормальные.
Пример
Построение графиков PDF и CDF многомерного t-распределения
Постройте PDF двухмерного распределения Student's t. Вы также можете использовать это распределение для большего количества размерностей, хотя визуализация не проста.
Rho = [1 .6; .6 1]; nu = 5; x1 = -3:.2:3; x2 = -3:.2:3; [X1,X2] = meshgrid(x1,x2); F = mvtpdf([X1(:) X2(:)],Rho,nu); F = reshape(F,length(x2),length(x1)); surf(x1,x2,F); caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]); axis([-3 3 -3 3 0 .2]) xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('Probability Density');
Постройте график cdf двухмерного распределения Student's t.
F = mvtcdf([X1(:) X2(:)],Rho,nu); F = reshape(F,length(x2),length(x1)); surf(x1,x2,F); caxis([min(F(:))-.5*range(F(:)),max(F(:))]); axis([-3 3 -3 3 0 1]) xlabel('x1'); ylabel('x2'); zlabel('Cumulative Probability');
Поскольку двухмерное распределение Стьюдента задано на плоскости, можно также вычислить совокупные вероятности по прямоугольным областям. Для примера этот контурный график иллюстрирует следующий расчет вероятности, содержащейся в модуле квадрате, показанном на рисунке.
contour(x1,x2,F,[.0001 .001 .01 .05:.1:.95 .99 .999 .9999]); xlabel('x'); ylabel('y'); line([0 0 1 1 0],[1 0 0 1 1],'linestyle','--','color','k');
Вычислите значение вероятности, содержащейся в модуле квадрате.
F = mvtcdf([0 0],[1 1],Rho,nu)
F = 0.1401
Вычисление многомерной совокупной вероятности требует значительно большей работы, чем вычисление одномерной вероятности. По умолчанию в mvtcdf функция вычисляет значения меньше полной точности машины и возвращает оценку ошибки в качестве опционального второго выхода.
[F,err] = mvtcdf([0 0],[1 1],Rho,nu)
F = 0.1401
err = 1.0000e-08