Стабильное Распределение

Обзор

Стабильные распределения являются классом распределений вероятностей, подходящим для моделирования тяжелых хвостов и перекоса. Линейная комбинация двух независимых, одинаково распределенных стабильно распределенных случайных переменных имеет такое же распределение как и отдельные переменные. Другими словами, если X 1, _X 2,..., _X n являются независимыми и идентично распределенными стабильными случайными переменными, то для каждого n

$X_{1} + X_{2} + \dots + X_{n} \overset{d}{=} c_{n} X + d_{n}$

где константа c n > 0 и $d_{n} \in ℝ$ .

Устойчивое распределение является приложением Обобщенной теоремы о центральном пределе, которая утверждает, что предел нормализованных сумм независимых одинаково распределенных переменных является стабильным.

Для стабильного распределения существует несколько различных параметров. Реализация в Statistics and Machine Learning Toolbox™ использует параметризацию, описанную в [2]. В этом случае случайная переменная, X имеет стабильное распределение $S (α, β, γ, δ; 0)$ если его характеристическая функция задана:

$E (e^{i t X}) = {\begin{matrix} \exp (- γ^{α} {| t |}^{α} [1 + i β знак (t) \tan \frac{π α}{2} ({(γ | t |)}^{1 - α} - 1)] + i δ t) f o r α \neq 1, \\ \exp (- γ | t | [1 + i β sign (t) \frac{2}{π} \ln (γ | t |)] + i δ t) f o r α = 1 \end{matrix}$

Параметры

Стабильное распределение использует следующие параметры.

Параметр	Описание	Поддержка
`alpha`	Первый параметр формы	0 < α ≤ 2
`beta`	Второй параметр формы	-1 ≤ β ≤ 1
`gam`	Масштабный параметр	0 < γ < ∞
`delta`	Параметр местоположения	-∞ < δ < ∞

Первый параметр формы, α, описывает хвосты распределения. Программа вычисляет плотности стабильного распределения с помощью метода прямого интегрирования. Как объяснено в [1], числовые трудности существуют при точном вычислении pdf и cdf, когда параметр α близок к 1 или 0. Если α близка к 1 (конкретно, $0 < | α - 1 | < 0.02$ ), затем программа округляет α до 1. Если α близка к 0, то плотности могут быть неточными.

Второй параметр формы, β, описывает перекос распределения. Если β = 0, то распределение симметричное. Если β > 0, то распределение имеет перекос вправо. Если β < 0, то распределение имеет уклон влево. Когда α является маленькой, перекос β значителен. Когда α увеличивается, эффект β уменьшается.

Функция плотности вероятностей

Определение

Большинство представителей стабильного семейства распределения не имеют явной функции плотности вероятностей (pdf). Вместо этого PDF описывается в терминах функции характеристики [2].

Некоторые особые случаи стабильного распределения, такие как нормальные, распределения Коши и Леви, имеют функции плотности закрытой формы. Для получения дополнительной информации см. раздел «Связь с другими Распределениями».

Использовать pdf вычислить функцию плотности вероятностей для стабильного распределения. Программа вычисляет PDF с помощью метода прямого интегрирования. Как объяснено в [1], числовые трудности существуют при точном вычислении PDF, когда параметр α близок к 1 или 0. Если α близка к 1 (конкретно, $0 < | α - 1 | < 0.02$ ), затем программа округляет α до 1. Если α близка к 0, то плотности могут быть неточными.

Сравнение PDF-файлов стабильных распределений

Открыть Live Script

Следующий график сравнивает функции плотности вероятностей для стабильных распределений с различными alpha значения. В каждом случае beta = 0, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Рассчитать PDF для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций PDF на одном и том же рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf1,'b-');
hold on
plot(x,pdf2,'r-.');
plot(x,pdf3,'k--');
title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution PDF Plots')
legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Alpha Parameters in Stable Distribution PDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \alpha = 2, \alpha = 1, \alpha = 0.5.$

График иллюстрирует эффект alpha параметр на хвостах распределения.

Следующий график сравнивает функции плотности вероятностей для стабильных распределений с различными beta значения. В каждом случае alpha = 0.5, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Рассчитать PDF для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf1 = pdf(pd1,x);
pdf2 = pdf(pd2,x);
pdf3 = pdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций PDF на одном и том же рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf1,'b-');
hold on
plot(x,pdf2,'r-.');
plot(x,pdf3,'k--');
title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution PDF Plots')
legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Beta Parameters in Stable Distribution PDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \beta = 0, \beta = 0.5, \beta = 1.$

Генерация случайных чисел

Использовать random чтобы сгенерировать случайные числа из стабильного распределения. Программа генерирует случайные числа для стабильного распределения, используя метод, предложенный в [3]

Кумулятивная функция распределения

Определение

Большинство представителей стабильного семейства распределения не имеют явной совокупной функции распределения (cdf). Вместо этого cdf описывается в терминах функции характеристики [2].

Использовать cdf вычислить совокупную функцию распределения для стабильного распределения. Программа вычисляет cdf с помощью метода прямого интегрирования. Как объяснено в [1], существуют числовые трудности с точным вычислением cdf, когда параметр α близок к 1 или 0. Если α близка к 1 (конкретно, $0 < | α - 1 | < 0.02$ ), затем программа округляет α до 1. Если α близка к 0, то плотности могут быть неточными.

Сравнение CDF стабильных распределений

Открыть Live Script

Следующий график сравнивает совокупные функции распределения для стабильных распределений с различными alpha значения. В каждом случае beta = 0, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);

Вычислите cdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций cdf на одном рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,cdf1,'b-');
hold on
plot(x,cdf2,'r-.');
plot(x,cdf3,'k--');
title('Compare Alpha Parameters in Stable Distribution CDF Plots')
legend('\alpha = 2','\alpha = 1','\alpha = 0.5','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Alpha Parameters in Stable Distribution CDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \alpha = 2, \alpha = 1, \alpha = 0.5.$

График иллюстрирует эффект alpha параметр на форме cdf.

Следующий график сравнивает совокупные функции распределения для стабильных распределений с различными beta значения. Во всех случаях alpha = 0.5, gam = 1, и delta = 0.

pd1 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd2 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',0.5,'gam',1,'delta',0);
pd3 = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Вычислите cdf для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
cdf1 = cdf(pd1,x);
cdf2 = cdf(pd2,x);
cdf3 = cdf(pd3,x);

Постройте график всех трех функций PDF на одном и том же рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,cdf1,'b-');
hold on
plot(x,cdf2,'r-.');
plot(x,cdf3,'k--');
title('Compare Beta Parameters in Stable Distribution CDF Plots')
legend('\beta = 0','\beta = 0.5','\beta = 1','Location','northwest')
hold off

$Figure contains an axes. The axes with title Compare Beta Parameters in Stable Distribution CDF Plots contains 3 objects of type line. These objects represent \beta = 0, \beta = 0.5, \beta = 1.$

Описательная статистика

Среднее значение стабильного распределения не определено для значений α ≤ 1. Для α > 1 среднее значение стабильного распределения является

$mean = δ - β γ \tan (\frac{π α}{2}) .$

Использовать mean вычислить среднее значение стабильного распределения.

Дисперсия устойчивого распределения не определена для значений α < 2. Для α = 2 дисперсия устойчивого распределения

$var = 2 γ^{2} .$

Использовать var вычислить дисперсию устойчивого распределения.

Отношение к другим распределениям

Стабильное распределение имеет три особых случая: Нормальное распределение, распределение Коши и распределение Леви. Эти распределения примечательны, потому что они имеют функции плотности вероятностей в закрытой форме.

Нормальное Распределение

Нормальное, или Гауссово, распределение является частным случаем стабильного распределения. Стабильное распределение с α = 2 соответствует нормальному распределению. Другими словами,

$N (μ, σ^{2}) = S (2, 0, \frac{σ}{\sqrt{2}}, μ) .$

μ - среднее, а σ - стандартное отклонение нормального распределения.

Хотя значение β не влияет при α = 2, нормальное распределение обычно связано с β = 0.

Функция плотности вероятностей для нормального распределения

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp (- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}), - \infty < x < \infty .$

График плотности для нормального распределения симметричен и имеет колоколообразную кривую.

Распределение Коши

Распределение Коши является частным случаем стабильного распределения с α = 1 и β = 0. Другими словами,

$C a u c h y (δ, γ) = S (1, 0, γ, δ),$

где β - параметр шкалы, а, - параметр местоположения распределения Коши.

Функция плотности вероятностей для распределения Коши

$f (x) = \frac{1}{π} \frac{γ}{γ^{2} + {(x - δ)}^{2}}, - \infty < x < \infty .$

График плотности для распределения Коши симметричен и имеет колоколообразную кривую, но имеет более тяжёлые хвосты, чем плотность нормального распределения.

Распределение Леви

Распределение Леви является частным случаем стабильного распределения, где α = 0,5 и β = 1. Другими словами,

$L é v y (δ, γ) = S (0.5, 1, γ, γ + δ) .$

где β - параметр шкалы, а, - параметр местоположения распределения Леви.

Функция плотности вероятностей для распределения Леви

$f (x) = \sqrt{\frac{γ}{2 π}} \frac{1}{{(x - δ)}^{3 / 2}} \exp (- \frac{γ}{2 (x - δ)}), δ < x < \infty .$

График плотности для распределения Леви сильно искривлен и имеет тяжелые хвосты.

График сравнения для стабильных распределений

Открыть Live Script

Следующий график сравнивает функции плотности вероятностей для стандартных распределений normal, Couchy и Lévy.

Создайте объект распределения вероятностей для стандартных распределений normal, Couchy и Lévy.

pd_norm = makedist('Stable','alpha',2,'beta',0,'gam',1/sqrt(2),'delta',0);
pd_cauchy = makedist('Stable','alpha',1,'beta',0,'gam',1,'delta',0);
pd_levy = makedist('Stable','alpha',0.5,'beta',1,'gam',1,'delta',0);

Рассчитать PDF для каждого распределения.

x = -5:.1:5;
pdf_norm = pdf(pd_norm,x);
pdf_cauchy = pdf(pd_cauchy,x);
pdf_levy = pdf(pd_levy,x);

Постройте график всех трех функций PDF на одном и том же рисунке для визуального сравнения.

figure
plot(x,pdf_norm,'b-');
hold on
plot(x,pdf_cauchy,'r.');
plot(x,pdf_levy,'k--');
title('Compare Stable Distributions pdf Plots')
legend('Normal','Cauchy','Levy','Location','northwest')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Compare Stable Distributions pdf Plots contains 3 objects of type line. These objects represent Normal, Cauchy, Levy.

Ссылки

[1] Нолан, Джон П. «Численное вычисление стабильных плотностей и функций распределения». Коммуникации в статистике: стохастические модели. Том 13, № 4, 1997, стр. 759-774.

[2] Нолан, Джон П. Одномерные Стабильные Распределения: Модели для тяжелых хвостовых данных. Springer International Publishing, 2020. https://doi.org/10.1007/978-3-030-52915-4.

[3] Верон, А. и Р. Верон. Компьютерная симуляция α-стабильных переменных и процессов Леви. Лекции по физике. Том 457, 1995, стр. 379-392.

См. также

StableDistribution

Документация