Вычисление ортонормированного базиса

Вычислите ортонормированный базис области значений этой матрицы. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, вы получаете результаты с плавающей точкой.

A = [2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1];
B = orth(A)

B =
   -0.9859   -0.1195    0.1168
    0.0290   -0.8108   -0.5846
    0.1646   -0.5729    0.8029

Теперь преобразуйте эту матрицу в символьный объект и вычислите ортонормированный базис:

A = sym([2 -3 -1; 1 1 -1; 0 1 -1]);
B = orth(A)

B =
[ (2*5^(1/2))/5, -6^(1/2)/6, -(2^(1/2)*15^(1/2))/30]
[     5^(1/2)/5,  6^(1/2)/3,  (2^(1/2)*15^(1/2))/15]
[             0,  6^(1/2)/6,  -(2^(1/2)*15^(1/2))/6]

Вы можете использовать double чтобы преобразовать этот результат в числовую форму двойной точности. Получившаяся матрица отличается от матрицы, возвращаемой MATLAB^® orth функция, поскольку эти функции используют различные версии алгоритма ортогонализации Грама-Шмидта:

double(B)

ans =
    0.8944   -0.4082   -0.1826
    0.4472    0.8165    0.3651
         0    0.4082   -0.9129

Проверьте, что B'*B = I, где I - матрица тождеств:

B'*B

ans =
[ 1, 0, 0]
[ 0, 1, 0]
[ 0, 0, 1]

Теперь проверьте, что 2-норма каждого столбца B равен 1:

norm(B(:, 1))
norm(B(:, 2))
norm(B(:, 3))

ans =
1
 
ans =
1
 
ans =
1

Вычисление реального ортонормированного базиса

Вычислите ортонормированный базис этой матрицы, используя 'real' чтобы избежать сложных сопряженных:

syms a
A = [a 1; 1 a];
B = orth(A,'real')

B =
[ a/(a^2 + 1)^(1/2),    -(a^2 - 1)/((a^2 + 1)*((a^2 -...
 1)^2/(a^2 + 1)^2 + (a^2*(a^2 - 1)^2)/(a^2 + 1)^2)^(1/2))]
[ 1/(a^2 + 1)^(1/2), (a*(a^2 - 1))/((a^2 + 1)*((a^2 -...
 1)^2/(a^2 + 1)^2 + (a^2*(a^2 - 1)^2)/(a^2 + 1)^2)^(1/2))]

Вычисление ортогонального базиса путем пропуска нормализации

Вычислите ортогональный базис этой матрицы, используя 'skipnormalization'. Длины получившихся векторов (столбцы матрицы B) не должны быть 1

syms a
A = [a 1; 1 a];
B = orth(A,'skipnormalization')

B =
[ a,               -(a^2 - 1)/(a*conj(a) + 1)]
[ 1, -(conj(a) - a^2*conj(a))/(a*conj(a) + 1)]

Вычисление реального ортогонального базиса

Вычислите ортогональный базис этой матрицы, используя 'skipnormalization' и 'real':

syms a
A = [a 1; 1 a];
B = orth(A,'skipnormalization','real')

B =
[ a,    -(a^2 - 1)/(a^2 + 1)]
[ 1, (a*(a^2 - 1))/(a^2 + 1)]