Найдите производную функции sin(x^2).

syms f(x)
f(x) = sin(x^2);
Df = diff(f,x)

Df(x) = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x^2\right)$$

Найдите значение производной в x = 2. Преобразуйте значение в число двойной точности.

Df2 = Df(2)

Df2 = $$4\hspace{0.17em}\cos \left(4\right)$$

double(Df2)

ans = -2.6146

Найдите первую производную от этого выражения.

syms x t
Df = diff(sin(x*t^2))

Df = $$t^2\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

Поскольку вы не задали переменную дифференцирования, diff использует переменную по умолчанию, заданную как symvar. Для этого выражения переменная по умолчанию x.

var = symvar(sin(x*t^2),1)

var = $$x$$

Теперь найдите производную этого выражения относительно переменной t.

Df = diff(sin(x*t^2),t)

Df = $$2\hspace{0.17em}t\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(t^2\hspace{0.17em}x\right)$$

Найдите 4-ю, 5-ю и 6-ю производные $$t^6$$.

syms t
D4 = diff(t^6,4)

D4 = $$360\hspace{0.17em}{t}^2$$

D5 = diff(t^6,5)

D5 = $$720\hspace{0.17em}t$$

D6 = diff(t^6,6)

D6 = $$720$$

Найдите вторую производную этого выражения относительно переменной y.

syms x y
Df = diff(x*cos(x*y), y, 2)

Df = $$-x^3\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

Вычислите вторую производную выражения x*y. Если вы не задаете переменную дифференцирования, diff использует переменную, определяемую как symvar. Для этого выражения symvar(x*y,1) возвращает x. Поэтому diff вычисляет вторую производную x*y относительно x.

syms x y
Df = diff(x*y,2)

Df = $$0$$

Если вы используете вложенные diff вызовы и не задавать переменную дифференцирования, diff определяет переменную дифференцирования для каждого вызова. Для примера дифференцируйте выражение x*y вызовом diff функция дважды.

Df = diff(diff(x*y))

Df = $$1$$

В первом вызове diff дифференцирует x*y относительно x, и возвращает y. Во втором вызове diff дифференцирует y относительно y, и возвращает 1.

Таким образом, diff(x*y,2) эквивалентно diff(x*y,x,x), и diff(diff(x*y)) эквивалентно diff(x*y,x,y).

Дифференцируйте это выражение относительно переменных x и y.

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,y)

Df = $$2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-x^2\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

Можно также вычислить смешанные производные более высокого порядка путем предоставления всех переменных дифференцирования.

syms x y
Df = diff(x*sin(x*y),x,x,x,y)

Df = $$x^2\hspace{0.17em}{y}^3\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}{y}^2\hspace{0.17em}\cos \left(x\hspace{0.17em}y\right)-6\hspace{0.17em}y\hspace{0.17em}\sin \left(x\hspace{0.17em}y\right)$$

Найдите производную функции $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ по отношению к $$f(x)$$.

syms f(x) y
y = f(x)^2*diff(f(x),x);
Dy = diff(y,f(x))

Dy = 
$$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

Найдите 2-ю производную функции $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ по отношению к $$f(x)$$.

Dy2 = diff(y,f(x),2)

Dy2 = 
$$2\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial x}\mathrm{ }f\left(x\right)$$

Найдите смешанную производную функции $$y=f(x{)}^2\frac{df}{dx}$$ по отношению к $$f(x)$$ и $$\frac{df}{dx}$$.

Dy3 = diff(y,f(x),diff(f(x)))

Dy3 = $$2\hspace{0.17em}f\left(x\right)$$

Найдите уравнение Эйлера-Лагранжа, которое описывает движение системы масса-пружина. Задайте кинетическую и потенциальную энергию системы.

syms x(t) m k
T = m/2*diff(x(t),t)^2;
V = k/2*x(t)^2;

Определите Лагранжа.

L = T - V

L = 
$$\frac{m\hspace{0.17em}{\left(\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)\right)}^2}{2}-\frac{k\hspace{0.17em}{x\left(t\right)}^2}{2}$$

Уравнение Эйлера-Лагранжа задается как

Оцените термин $$\partial L/\partial \underset{}{\overset{\dot{}}{x}}$$.

D1 = diff(L,diff(x(t),t))

D1 = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{\partial }{\partial t}\mathrm{ }x\left(t\right)$$

Оцените второй срок $$\partial L/\partial x$$.

D2 = diff(L,x)

D2(t) = $$-k\hspace{0.17em}x\left(t\right)$$

Найдите уравнение Эйлера-Лагранжа движения системы масса-пружина.

diff(D1,t) - D2 == 0

ans(t) = 
$$m\hspace{0.17em}\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}\mathrm{ }x\left(t\right)+k\hspace{0.17em}x\left(t\right)=0$$

Начиная с R2021a

Чтобы вычислить производные относительно векторов, можно использовать переменные символьной матрицы. Для примера найдите производные $$\partial \alpha /\partial x$$ и $$\partial \alpha /\partial y$$ для выражения $$\alpha =y^{T}Ax$$, где $$y$$ является вектором 3 на 1, $$A$$ является матрицей 3 на 4, и $$x$$ является вектором 4 на 1.

Создайте три символьные матричные переменные x, y, и A, соответствующих размеров и использовать их для определения alpha.

syms x [4 1] matrix
syms y [3 1] matrix
syms A [3 4] matrix
alpha = y.'*A*x

alpha = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}x$$

Найдите производную alpha относительно векторов $$x$$ и $$y$$.

Dx = diff(alpha,x)

Dx = $$y^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A$$

Dy = diff(alpha,y)

Dy = $$x^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}{A}^{\mathrm{T}}$$

Начиная с R2021a

Чтобы вычислить дифференциальный коэффициент относительно матрицы, можно использовать переменные символьной матрицы. Например, найдите дифференциал $$\partial Y/\partial A$$ для выражения $$Y=X^{T}AX$$, где $$X$$ является вектором 3 на 1, и $$A$$ является матрицей 3 на 3. Вот, $$Y$$ является скаляром, который является функцией вектора $$X$$ и матрицу $$A$$.

Создайте две переменные символьной матрицы, чтобы представлять $$X$$ и $$A$$. Определить $$Y$$.

syms X [3 1] matrix
syms A [3 3] matrix
Y = X.'*A*X

Y = $$X^{\mathrm{T}}\hspace{0.17em}A\hspace{0.17em}X$$

Найдите дифференциал $$Y$$ относительно матрицы $$A$$.

D = diff(Y,A)

D = $$X^{\mathrm{T}}\otimes X$$

Результатом является Тензора Кронекера продукт между $$X^T$$ и $$X$$, которая является матрицей 3 на 3.

size(D)

ans = 1×2

     3     3