Exponenta Banner

chebyshevT

Полиномы Чебышева первого рода

Свернуть все на странице

Синтаксис

chebyshevT(n,x)

Описание

пример

chebyshevT(n,x) представляет nПолином Чебышева I степени первого вида в точке x.

Примеры

Первые пять полиномы Чебышева первого рода

Найдите первые пять Полиномы Чебышева первого рода для переменной x.

syms x
chebyshevT([0, 1, 2, 3, 4], x)
ans =
[ 1, x, 2*x^2 - 1, 4*x^3 - 3*x, 8*x^4 - 8*x^2 + 1]

Полиномы Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой или точные символьные результаты.

Найдите значение полинома Чебышева пятой степени первого рода в этих точках. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой.

chebyshevT(5, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])
ans =
    0.7428    0.9531    0.9918    0.5000   -0.4856   -0.8906

Найдите значение полинома Чебышева пятой степени первого рода для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для символьных чисел, chebyshevT возвращает точные символьные результаты.

chebyshevT(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))
ans =
[ 361/486, 61/64, 241/243, 1/2, -118/243, -57/64]

Оцените Полиномы Чебышева с помощью Чисел с плавающей запятой

Оценка Полиномов Чебышева с плавающей точкой прямыми вызовами chebyshevT численно стабильен. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, а затем подстановка значений переменной точности в это выражение может быть численно нестабильным.

Найдите значение полинома Чебышева 500-й степени первого рода в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно стабильна.

chebyshevT(500, 1/3)
chebyshevT(500, vpa(1/3))
ans =
    0.9631
 
ans =
0.963114126817085233778571286718

Теперь найдите символьный полином T500 = chebyshevT(500, x), и заменить x = vpa(1/3) в результат. Этот подход является численно нестабильным.

syms x
T500 = chebyshevT(500, x);
subs(T500, x, vpa(1/3))
ans =
-3293905791337500897482813472768.0

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, а затем заменить x = sym(1/3) в результат. Этот подход также является численно нестабильным.

subs(vpa(T500), x, sym(1/3))
ans =
1202292431349342132757038366720.0

График Полиномов Чебышева Первого Рода

Постройте графики первых пяти Полиномов Чебышева первого рода.

syms x y
fplot(chebyshevT(0:4,x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('T_n(x)')
legend('T_0(x)','T_1(x)','T_2(x)','T_3(x)','T_4(x)','Location','Best')
title('Chebyshev polynomials of the first kind')

Figure contains an axes. The axes with title Chebyshev polynomials of the first kind contains 5 objects of type functionline. These objects represent T_0(x), T_1(x), T_2(x), T_3(x), T_4(x).

Входные параметры

свернуть все

Степень полинома, заданная как неотрицательное целое число, символьная переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Точка оценки, заданная как число, символьное число, переменная, выражение или функция, или как вектор или матрица чисел, символьных чисел, переменных, выражений или функций.

Подробнее о

свернуть все

Полиномы Чебышева первого рода

  • Полиномы Чебышева первого рода определяются как T n (x) = cos (n * arccos (x)).

    Эти полиномы удовлетворяют формуле рекурсии

    T(0,x)=1, T(1,x)=x, T(n,x)=2 x T(n−1,x)−T(n−2,x)

  • Полиномы Чебышева первого рода ортогональны на интервале -1 ≤ x ≤ 1 относительно функции веса w(x)=11−x2.

    ∫−11T(n,x)T(m,x)1−x2 dx={0если n≠mπесли n=m=0π2 если n=m≠0.

  • Полиномы Чебышева первого рода являются особыми случаями якобитов полиномов

    T(n,x)=22n(n!)2(2n)!P(n,−12,−12,x)

    и полиномы Гегенбауэра

    T(n,x)={12lima→0n+aaG(n,a,x)если n≠0lima→0G(0,a,x)=1если n=0

Совет

  • chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой для числовых аргументов, которые не являются символьными объектами.

  • chebyshevT действует поэлементно на нескалярных входах.

  • По крайней мере, один входной параметр должен быть скаляром, или оба аргумента должны быть векторами или матрицами одного размера. Если один входной параметр является скаляром, а другой - вектором или матрицей, то chebyshevT расширяет скаляр в вектор или матрицу того же размера, что и другой аргумент со всеми элементами, равными этому скаляру.

Ссылки

[1] Hochstrasser, U. W. «Ортогональные полиномы». Руководство по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. (М. Абрамовиц и И. А. Штегун, эд.). Нью-Йорк: Дувр, 1972.

[2] Cohl, Howard S., and Connor MacKenzie. «Обобщения и специализации генерирующих функций для Полиномов Якоби, Гегенбауэра, Чебышёва и Лежандре с определенными интегралами». Журнал классического анализа, № 1 (2013): 17-33. https://doi.org/10.7153/jca-03-02.

См. также

| | | | |

Введенный в R2014b

Документация Symbolic Math Toolbox

Поддержка