Первые пять полиномы Чебышева первого рода

Найдите первые пять Полиномы Чебышева первого рода для переменной x.

syms x
chebyshevT([0, 1, 2, 3, 4], x)

ans =
[ 1, x, 2*x^2 - 1, 4*x^3 - 3*x, 8*x^4 - 8*x^2 + 1]

Полиномы Чебышева для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой или точные символьные результаты.

Найдите значение полинома Чебышева пятой степени первого рода в этих точках. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, chebyshevT возвращает результаты с плавающей точкой.

chebyshevT(5, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])

ans =
    0.7428    0.9531    0.9918    0.5000   -0.4856   -0.8906

Найдите значение полинома Чебышева пятой степени первого рода для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для символьных чисел, chebyshevT возвращает точные символьные результаты.

chebyshevT(5, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))

ans =
[ 361/486, 61/64, 241/243, 1/2, -118/243, -57/64]

Оцените Полиномы Чебышева с помощью Чисел с плавающей запятой

Оценка Полиномов Чебышева с плавающей точкой прямыми вызовами chebyshevT численно стабильен. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, а затем подстановка значений переменной точности в это выражение может быть численно нестабильным.

Найдите значение полинома Чебышева 500-й степени первого рода в 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно стабильна.

chebyshevT(500, 1/3)
chebyshevT(500, vpa(1/3))

ans =
    0.9631
 
ans =
0.963114126817085233778571286718

Теперь найдите символьный полином T500 = chebyshevT(500, x), и заменить x = vpa(1/3) в результат. Этот подход является численно нестабильным.

syms x
T500 = chebyshevT(500, x);
subs(T500, x, vpa(1/3))

ans =
-3293905791337500897482813472768.0

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, а затем заменить x = sym(1/3) в результат. Этот подход также является численно нестабильным.

subs(vpa(T500), x, sym(1/3))

ans =
1202292431349342132757038366720.0

График Полиномов Чебышева Первого Рода

Постройте графики первых пяти Полиномов Чебышева первого рода.

syms x y
fplot(chebyshevT(0:4,x))
axis([-1.5 1.5 -2 2])
grid on

ylabel('T_n(x)')
legend('T_0(x)','T_1(x)','T_2(x)','T_3(x)','T_4(x)','Location','Best')
title('Chebyshev polynomials of the first kind')