Первые четыре полиномов Гегенбауэра

Найдите первые четыре полинома Гегенбауэра для параметра a и переменные x.

syms a x
gegenbauerC([0, 1, 2, 3], a, x)

ans =
[ 1, 2*a*x, (2*a^2 + 2*a)*x^2 - a,...
((4*a^3)/3 + 4*a^2 + (8*a)/3)*x^3 + (- 2*a^2 - 2*a)*x]

Полиномы Гегенбауэра для числовых и символьных аргументов

В зависимости от его аргументов, gegenbauerC возвращает результаты с плавающей точкой или точные символьные результаты.

Найдите значение полинома Гегенбауэра пятой степени для параметра a = 1/3 в этих точках. Поскольку эти числа не являются символическими объектами, gegenbauerC возвращает результаты с плавающей точкой.

gegenbauerC(5, 1/3, [1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4])

ans =
    0.1520    0.1911    0.1914    0.0672   -0.1483   -0.2188

Найдите значение полинома Гегенбауэра пятой степени для тех же чисел, преобразованных в символические объекты. Для символьных чисел, gegenbauerC возвращает точные символьные результаты.

gegenbauerC(5, 1/3, sym([1/6, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4]))

ans =
[ 26929/177147, 4459/23328, 33908/177147, 49/729, -26264/177147, -7/32]

Оцените Полиномы Чебышева с помощью Чисел с плавающей запятой

Оценка полиномов Гегенбауэра с плавающей точкой по прямым вызовам gegenbauerC численно стабильен. Однако сначала вычисление полинома с помощью символьной переменной, а затем подстановка значений переменной точности в это выражение может быть численно нестабильным.

Найдите значение полинома Гегенбауэра 500-й степени для параметра 4 при 1/3 и vpa(1/3). Оценка с плавающей точкой численно стабильна.

gegenbauerC(500, 4, 1/3)
gegenbauerC(500, 4, vpa(1/3))

ans =
  -1.9161e+05
 
ans =
-191609.10250897532784888518393655

Теперь найдите символьный полином C500 = gegenbauerC(500, 4, x), и заменить x = vpa(1/3) в результат. Этот подход является численно нестабильным.

syms x
C500 = gegenbauerC(500, 4, x);
subs(C500, x, vpa(1/3))

ans =
-8.0178726380235741521208852037291e+35

Аппроксимируйте полиномиальные коэффициенты при помощи vpa, а затем заменить x = sym(1/3) в результат. Этот подход также является численно нестабильным.

subs(vpa(C500), x, sym(1/3))

ans =
-8.1125412405858470246887213923167e+36

Построение полиномов Гегенбауэра

Постройте график первых пяти полиномов Гегенбауэра для a = 3 параметра.

syms x y
fplot(gegenbauerC(0:4,3,x))
axis([-1 1 -10 10])
grid on

ylabel('G_n^3(x)')
title('Gegenbauer polynomials')
legend('G_0^3(x)', 'G_1^3(x)', 'G_2^3(x)', 'G_3^3(x)', 'G_4^3(x)',...
                                               'Location', 'Best')