Найдите Полиномы Якоби для числовых и символьных входов

Найдите полином Якоби степени 2 для числовых входов.

jacobiP(2,0.5,-3,6)

ans =
    7.3438

Найдите полином Якоби для символьных входов.

syms n a b x
jacobiP(n,a,b,x)

ans =
jacobiP(n, a, b, x)

Если степень полинома Якоби не задана, jacobiP не может найти полином и возвращает вызов функции.

Задайте степень полинома Якоби как 1 чтобы вернуть форму полинома.

J = jacobiP(1,a,b,x)

J =
a/2 - b/2 + x*(a/2 + b/2 + 1)

Чтобы найти числовое значение полинома Якоби, вызовите jacobiP с числовыми значениями непосредственно. Не подставляйте в символьный полином, потому что результат может быть неточным из-за округления. Протестируйте это при помощи subs чтобы заменить в символьный полином и сравнить результат с числовым вызовом.

J = jacobiP(300, -1/2, -1/2, x);
subs(J,x,vpa(1/2))
jacobiP(300, -1/2, -1/2, vpa(1/2))

ans =
101573673381249394050.64541318209
ans =
0.032559931334979678350422392588404

Когда subs используется для замены в символьный полином, числовой результат подвержен округлению. Прямой численный вызов на jacobiP является точным.

Найдите полином Якоби с векторными и матричными входами

Найдите полиномы Якоби с степенями 1 и 2 путем установки n = [1 2] для a = 3 и b = 1.

syms x
jacobiP([1 2],3,1,x)

ans =
[ 3*x + 1, 7*x^2 + (7*x)/2 - 1/2]

jacobiP действует на n поэлементно для возврата вектора с двумя записями.

Если несколько входов заданы в виде вектора, матрицы или многомерного массива, эти входы должны быть совпадающими по размеру. Найдите полиномы Якоби для a = [1 2;3 1], b = [2 2;1 3], n = 1 и x.

a = [1 2;3 1];
b = [2 2;1 3];
J = jacobiP(1,a,b,x)

J =
[ (5*x)/2 - 1/2,     3*x]
[       3*x + 1, 3*x - 1]

jacobiP действует поэлементно на a и b чтобы вернуть матрицу того же размера, что и a и b.

Визуализируйте нули Якоби Полиномов

Постройте полиномы Якоби степени 1, 2, и 3 для a = 3, b = 3, и -1<x<1. Чтобы лучше просмотреть график, задайте пределы по осям при помощи axis.

syms x
fplot(jacobiP(1:3,3,3,x))
axis([-1 1 -2 2])
grid on

ylabel('P_n^{(\alpha,\beta)}(x)')
title('Zeros of Jacobi polynomials of degree=1,2,3 with a=3 and b=3');
legend('1','2','3','Location','best')

Докажите ортогональность полиномов Якоби относительно функции веса

Полиномы P Якоби (n, a, b, x) ортогональны относительно функции веса $${\left(1-x\right)}^a{\left(1-x\right)}^b$$ по интервалу [-1,1].

Докажите P (3, a, b, x), и P (5, a, b, x) ортогональные относительно функции веса$${\left(1-x\right)}^a{\left(1-x\right)}^b$$ путем интегрирования их продукта через интервал [-1,1], где a = 3.5 и b = 7.2.

syms x
a = 3.5;
b = 7.2;
P3 = jacobiP(3, a, b, x);
P5 = jacobiP(5, a, b, x);
w = (1-x)^a*(1+x)^b;
int(P3*P5*w, x, -1, 1)

ans =
0