CWT центрированного импульса

Чтобы начать понимать конус влияния, создайте центрированный импульсный сигнал длины 1024 выборки. Создайте банк фильтров CWT с помощью cwtfilterbank со значениями по умолчанию. Использование wt для возврата коэффициентов CWT и частот импульса. Для лучшей визуализации нормализуйте коэффициенты CWT так, чтобы максимальное абсолютное значение на каждой частоте (для каждой шкалы) равнялось 1.

x = zeros(1024,1);
x(512) = 1;
fb = cwtfilterbank;
[cfs,f] = wt(fb,x);
cfs = cfs./max(cfs,[],2);

Используйте функцию helper helperPlotScalogram на скалограмму. Код для helperPlotFunction находится в конце этого примера. Отметьте местоположение импульса линией.

ax = helperPlotScalogram(f,cfs);
hl = line(ax,[512 512],[min(f) max(f)],...
    [max(abs(cfs(:))) max(abs(cfs(:)))]);
title('Scalogram of Centered Impulse')

Сплошная черная линия показывает положение импульса во времени. Обратите внимание, что когда частота уменьшается, ширина коэффициентов CWT во времени, которые являются ненулевыми и центрированы на импульсе, увеличивается. И наоборот, когда частота увеличивается, ширина коэффициентов CWT, которые ненулевые, уменьшается и становится все более центрированной на импульсе. Низкие частоты соответствуют вейвлетам большей шкалы, в то время как более высокие частоты соответствуют вейвлетам меньшей шкалы. Эффект импульса сохраняется дольше во времени с более длинными вейвлетами. Другими словами, чем больше вейвлет, тем больше длительность влияния сигнала. Для вейвлета, центрированного в определенный момент времени, растяжение или усадка вейвлета приводит к тому, что вейвлет «видит» больше или меньше сигнала. Это упоминается как конус влияния вейвлета.

Краевые эффекты

Предыдущий раздел иллюстрирует конус влияния для импульса в центре наблюдения или интервала данных. Но что происходит, когда вейвлеты расположены вблизи начала или конца данных? При вейвлет-преобразовании мы не только расширяем вейвлет, но и переводим его во времени. Вейвлеты около начала или конца данных неизбежно «видят» данные за пределами интервала наблюдения. Различные методы используются, чтобы компенсировать тот факт, что вейвлет-коэффициенты около начала и конца данных затрагиваются вейвлетами, проходящими вне контура. The cwtfilterbank и cwt функции предлагают опцию обработки контуров путем симметричного отражения сигнала или периодического его расширения. Однако, независимо от того, какой метод используется, вы должны проявлять осторожность при интерпретации коэффициентов вейвлета вблизи контуров, потому что коэффициенты вейвлета зависят от значений, выходящих за пределы сигнала под фактор. Кроме того, степень коэффициентов вейвлета, на которые влияют данные за пределами интервала наблюдения, зависит от шкалы (частоты). Чем больше шкала, тем больше конус влияния.

Повторите пример импульса, но поместите два импульса, один в начале данных и один в конце. Также вернём конус влияния. Для лучшей визуализации нормализуйте коэффициенты CWT так, чтобы максимальное абсолютное значение на каждой частоте (для каждой шкалы) равнялось 1.

dirac = zeros(1024,1);
dirac([1 1024]) = 1;
[cfs,f,coi] = wt(fb,dirac);
cfs = cfs./max(cfs,[],2);
helperPlotScalogram(f,cfs)
title('Scalogram of Two-Impulse Signal')

Здесь ясно, что конус влияния на крайние контуры интервала наблюдений простирается в интервал до степени, которая зависит от шкалы вейвлета. Поэтому коэффициенты вейвлета, хорошо находящиеся в интервале наблюдения, могут быть затронуты данными, которые вейвлет видит на контурах сигнала или даже перед фактическими контурами сигнала, если вы расширяете сигнал каким-либо образом.

На предыдущем рисунке вы уже должны увидеть поразительное сходство между конусом влияния, возвращаемым cwtfilterbank или нанесенный на график cwt функция и области, где коэффициенты скалограммы для двухимпульсного сигнала ненулевые.

Хотя важно понимать эти краевые эффекты на интерпретацию вейвлета коэффициентов, нет математически точного правила для определения степени влияния конуса в каждой шкале. Nobach et al. [2] задайте степень конуса влияния в каждой шкале как точку, где вейвлет преобразования величины распадается до 2% от его пикового значения. Поскольку многие вейвлеты, используемые в непрерывном вейвлет-анализе, распадаются экспоненциально во времени, Торренс и Компо [3] используют постоянную времени $$1/e$$ разграничение границ конуса влияния в каждой шкале. Для вейвлетов Морса Лилли [1] использует концепцию «следа волны», которая является временным интервалом, который охватывает приблизительно 95% энергии вейвлета. Лилли определяет COI путем добавления 1/2 следа вейвлет к началу интервала наблюдения и вычитания 1/2 следа из конца интервала в каждой шкале.

The cwtfilterbank и cwt функции используют приближение к $$1/e$$ правило для разграничения COI. Приближение включает добавление одного стандартного отклонения во временной области в каждой шкале к началу интервала наблюдения и вычитание одного стандартного отклонения во временной области в каждой шкале из конца интервала. Прежде чем мы покажем это соответствие, добавьте вычисленный COI к предыдущему графику.

helperPlotScalogram(f,cfs,coi)
title('Scalogram with Cone of Influence')

Вы видите, что вычисленный COI является хорошим приближением к контурам значимых эффектов импульса в начале и конце сигнала.

Чтобы показать, как cwtfilterbank и cwt вычислите это правило явно, рассмотрим два примера, один для аналитического вейвлета Морле и один для вейвлета Морса по умолчанию. Начнем с аналитического вейвлета Морле, где наше правило стандартного отклонения в одной временной области согласуется в точности с выражением времени складывания, используемого Torrence и Compo [3].

fb = cwtfilterbank('Wavelet','amor');
[~,f,coi] = wt(fb,dirac);

Выражение COI в Torrence и Compo является $$\sqrt{2}s$$ где $$s$$ - шкала. Для аналитического вейвлета Морле в cwtfilterbank и cwt, это определяется:

cf = 6/(2*pi);
predtimes = sqrt(2)*cf./f;

Постройте график COI, возвращенный cwtfilterbank наряду с выражением, используемым в Torrence и Compo.

plot(1:1024,coi,'k--','linewidth',2)
hold on
grid on
plot(predtimes,f,'r*')
plot(1024-predtimes,f,'r*')
set(gca,'yscale','log')
axis tight
legend('COI','Predicted COI','Location','best')
xlabel('Samples')
ylabel('Hz')
title('Cone of Influence - Analytic Morlet Wavelet')

В последнем примере показано то же соответствие для вейвлет Морса по умолчанию в cwtfilterbank и cwt. Стандартное отклонение вейвлета Морса по умолчанию во временной области составляет 5,5008, а пиковая частота - 0,2995 циклов/выборка. Используйте центральные частоты вейвлет фильтров, а также правило стандартного отклонения во временной области, чтобы получить предсказанный COI и сравнить со значениями, возвращаемыми cwtfilterbank.

fb = cwtfilterbank;
[~,f,coi] = wt(fb,dirac);
sd = 5.5008;
cf = 0.2995;
predtimes = cf./f*sd;
figure
plot(1:1024,coi,'k--','linewidth',2)
hold on
grid on
plot(predtimes,f,'r*')
plot(1024-predtimes,f,'r*')
set(gca,'yscale','log')
axis tight
legend('COI','Predicted COI','Location','best')
xlabel('Samples')
ylabel('Hz')
title('Cone of Influence - Default Morse Wavelet')

Приложение

В этом примере используется следующая вспомогательная функция.

helperPlotScalogram

function varargout = helperPlotScalogram(f,cfs,coi)
nargoutchk(0,1);
ax = newplot;
surf(ax,1:1024,f,abs(cfs),'EdgeColor','none')
ax.YScale = 'log';
caxis([0.01 1])
colorbar
grid on
ax.YLim = [min(f) max(f)];
ax.XLim = [1 size(cfs,2)];
view(0,90)

xlabel('Time')
ylabel('Cycles/Sample')

if nargin == 3
    hl = line(ax,1:1024,coi,ones(1024,1));
    hl.Color = 'k';
    hl.LineWidth = 2;
end

if nargout > 0
    varargout{1} = ax;
end

end