В этой теме описываются основные различия между непрерывным вейвлет (CWT) и дискретным вейвлет (DWT) - как децимированные, так и недекиматированные версии. cwt является дискретизированной версией CWT, так что она может быть реализована в вычислительном окружении. Это обсуждение фокусируется на 1-D случае, но применимо к более высоким размерностям.
cwt вейвлет-преобразование сравнивает сигнал со сдвинутыми и масштабированными (растянутыми или усаженными) копиями основного вейвлета. Если - вейвлет с центром t = 0 с поддержкой времени на [-T/2, T/2], затем центрирован при t = u с поддержкой времени [-sT/2 + u, sT/2 + u]. cwt функция использует L1 нормализацию так, чтобы все частотные амплитуды были нормированы к одному и тому же значению. Если 0 < s < 1, вейвлет сжимается (сжимается), и если s > 1, вейвлет растягивается. Математический термин для этого является расширением. Смотрите Непрерывное Преобразование Вейвлета и Основанный на Масштабе Анализ для примеров того, как эта операция извлекает функции в сигнале, сопоставляя его с расширенными и переведенными Вейвлетами.
Основное различие между CWT и дискретным вейвлет, таким как dwt и modwt, является ли параметр шкалы дискретизированным. CWT дискретизирует шкалу более мелко, чем дискретное вейвлет. В CWT вы обычно фиксируете некоторую основу, которая является дробной степенью двойки, например, где v - целое число, больше 1. Параметр v часто упоминается как количество «голосов на октаву». Различные шкалы получаются путем повышения этой базовой шкалы до положительных целочисленных степеней, например . Параметр преобразования в CWT дискретизирован до целочисленных значений, обозначенных здесь m. Получившиеся дискретизированные вейвлеты для CWT
Причина, по которой v упоминается как количество голосов на октаву, заключается в том, что увеличение шкалы на октаву (удвоение) требует v промежуточных шкал. Примите за пример и затем увеличьте числитель в экспоненте, пока вы не достигнете 4, следующей октавы. Вы двигаетесь от кому . Существует v промежуточных шага. Общими значениями для v являются 10,12,14,16 и 32. Чем больше значение v, тем точнее дискретизация параметра шкалы, s. Однако это также увеличивает количество требуемых расчетов, поскольку CWT должен быть вычислен для каждой шкалы. Значение различия между шкалами по шкале log2 1/v. Смотрите основанные на CWT Частотно-временные анализы и непрерывный Вейвлет анализ модулированных сигналов для примеров шкалы векторов с CWT.
В дискретном вейвлете преобразовании параметр шкалы всегда дискретизирован до целочисленных степеней 2, 2j, j = 1,2,3,..., так что количество голосов на октаву всегда равняется 1. Различие между шкалами по шкале log2 всегда 1 для дискретных преобразований вейвлета. Обратите внимание, что это намного более грубая выборка параметра шкалы, s, чем в случае с CWT. Кроме того, в децимированном (с понижающей дискретизацией) дискретном вейвлет (DWT), параметр преобразования всегда пропорционален шкале. Это означает, что в шкале, 2j, вы всегда переводите на 2jm, где m является неотрицательным целым числом. В неразрешенных дискретных вейвлет, подобных modwt и swtпараметр шкалы ограничен степенями двойки, но параметр преобразования является целым числом, подобным в CWT. Дискретизированный вейвлет для DWT принимает следующую форму
Дискретизированный вейвлет для неразрешенного дискретного вейвлет-преобразования, такого как MODWT, является
Подводя итоги:
CWT и дискретные вейвлет различаются тем, как они дискретизируют параметр шкалы. CWT обычно использует экспоненциальные шкалы с основой меньше 2, например 21/12 . Дискретное вейвлет всегда использует экспоненциальные шкалы с основой, равным 2. Шкалы в дискретном вейвлете преобразования являются степенями 2. Следует иметь в виду, что физическая интерпретация шкал как для CWT, так и для дискретных вейвлет требует включения интервала дискретизации сигнала, если он не равен единице. Например, предположим, что вы используете CWT, и вы установите свою основу на . Чтобы прикрепить физическую значимость к этой шкале, вы должны умножить на интервал дискретизации , таким образом, вектор шкалы, покрывающий приблизительно четыре октавы с учитываемым интервалом дискретизации, . Обратите внимание, что интервал дискретизации умножает шкалы, а не в экспоненте. Для дискретных вейвлет базовая шкала всегда равна 2.
Децимированные и недецимируемые дискретные вейвлет различаются тем, как они дискретизируют параметр преобразования. Децимированное дискретное вейвлет (DWT), всегда переводится на целое число, кратное шкале, 2jм. Неразрешенное дискретное вейвлет переводится целочисленными сдвигами.
Эти различия в том, как шкала и перемещение дискретизированы, приводят к преимуществам и недостаткам для двух классов вейвлет. Эти различия также определяют случаи использования, когда один вейвлет преобразования, вероятно, даст превосходные результаты. Некоторые важные последствия дискретизации шкалы и параметра перевода:
DWT обеспечивает разреженное представление для многих естественных сигналов. Другими словами, важные функции многих естественных сигналов захватываются подмножеством коэффициентов DWT, которое обычно намного меньше, чем исходный сигнал. Это «сжимает» сигнал. С DWT вы всегда заканчиваете с таким же количеством коэффициентов, как и исходный сигнал, но многие коэффициенты могут быть близки к нулю по значению. В результате можно часто выбрасывать эти коэффициенты и поддерживать качественное приближение сигнала. С помощью CWT вы переходите от N выборки для сигнала N-длины к M-на-N матрице коэффициентов с M, равной количеству шкал. CWT является высоко избыточным преобразованием. Существует значительное перекрытие между вейвлетами в каждом масштабе и между шкалами. Вычислительные ресурсы, необходимые для вычисления CWT и хранения коэффициентов, намного больше, чем DWT. НеРазрешённый дискретный вейвлет преобразования также избыточна, но коэффициент избыточности обычно значительно меньше, чем CWT, потому что параметр шкалы не дискретизирован так точно. Для неразрешенного дискретного вейвлет вы переходите от N выборки к L + 1 на N матрице коэффициентов, где L является уровнем преобразования.
Строгая дискретизация шкалы и перемещения в DWT гарантирует, что DWT является ортонормальным преобразованием (при использовании ортогонального вейвлета). Существует много преимуществ ортонормальных преобразований в анализе сигналов. Многие модели сигнала состоят из некоторого детерминированного сигнала плюс белого Гауссова шума. Ортонормальное преобразование принимает этот вид сигнала и выводит преобразование, приложенное к сигналу плюс белый шум. Другими словами, ортонормальное преобразование принимает белый Гауссов шум и выводит белый Гауссов шум. Шум некоррелирован на входе и выходе. Это важно во многих настройках статистической обработки сигналов. В случае DWT интересующий сигнал обычно захватывается несколькими коэффициентами DWT большой величины, в то время как шум приводит ко многим маленьким коэффициентам DWT, которые можно выбросить. Если вы изучили линейную алгебру, вы, несомненно, научились многим преимуществам использования ортонормированных базисов в анализе и представлении векторов. Вейвлеты в DWT похожи на ортонормальные векторы. Ни CWT, ни неразрешенное дискретное вейвлет не являются ортонормальными преобразованиями. Вейвлеты в CWT и неразрешенные дискретные вейвлет- преобразование технически называются кадрами, они являются линейно-зависимыми наборами.
DWT не является инвариантным для сдвига. Поскольку DWT уменьшается, сдвиг входного сигнала не проявляется как простой эквивалентный сдвиг коэффициентов DWT на всех уровнях. Простой сдвиг в сигнале может вызвать значительное изменение энергии сигнала в коэффициентах DWT по шкале. CWT и неразрешенные дискретные вейвлеты преобразования являются инвариантными для сдвига. Существуют некоторые изменения DWT, такие как двухдревовидный комплексный дискретный вейвлет преобразование, которое уменьшает отсутствие инвариантности сдвига в DWT, см. «Критически выбранные и переизбранные банки Вейвлета фильтрации» для некоторых концептуальных материалов по этой теме и «Двухдревовидные комплексные преобразования Вейвлета для примера».
Дискретные вейвлеты преобразований эквивалентны дискретным блокам фильтров. В частности, они являются древовидными дискретными блоками фильтров, где сигнал сначала фильтруется lowpass и highpass фильтром, чтобы получить lowpass и highpass поддиапазоны. Впоследствии поддиапазон lowpass итеративно фильтруется той же схемой, получая более узкие поддиапазоны octava-диапазона и поддиапазоны highpass. В DWT выходы фильтра уменьшаются на каждом последующем этапе. В недекоминированном дискретном вейвлет выходы не уменьшаются. Фильтры, которые определяют дискретные вейвлет, обычно имеют только небольшое количество коэффициентов, поэтому преобразование может быть реализовано очень эффективно. Для DWT и неразрешенного дискретного вейвлет-преобразования вы на самом деле не требуете выражения для вейвлета. Фильтров достаточно. Это не так с CWT. Наиболее распространенная реализация CWT требует, чтобы вейвлет был явно определен. Несмотря на то, что неразрешенное дискретное вейвлет не уменьшает сигнал, реализация банка фильтров все еще позволяет обеспечить хорошую вычислительную эффективность, но не так хорошо, как DWT.
Дискретные вейвлет обеспечивают совершенную реконструкцию сигнала после инверсии. Это означает, что вы можете взять дискретное вейвлет сигнала и затем использовать коэффициенты, чтобы синтезировать точное воспроизведение сигнала в пределах численной точности. Можно реализовать обратную CWT, но часто это тот случай, что реконструкция не идеальна. Восстановление сигнала от коэффициентов CWT является гораздо менее стабильной числовой операцией.
Более мелкая дискретизация шкал в CWT обычно приводит к анализу сигнала более высокой точности. Можно локализовать переходные процессы в сигнале или характеризовать колебательное поведение лучше с CWT, чем с дискретными вейвлет.
Для получения дополнительной информации о вейвлет и приложениях, см.
Основываясь на предыдущем разделе, вот некоторые основные рекомендации для принятия решения о том, использовать ли дискретное или непрерывное вейвлет.
Если ваше приложение должно получить самое разреженное представление сигнала для сжатия, шумоподавление или передачи сигнала, используйте DWT с wavedec.
Если вашему приложению требуется ортонормальное преобразование, используйте DWT с одним из ортогональных фильтров вейвлета. Ортогональные семейства в Wavelet Toolbox™ обозначаются как вейвлеты типа 1 в менеджере вейвлетов, wavemngr. Допустимые встроенные семейства ортогональных вейвлет 'haar', 'dbN', 'fkN', 'coifN', или 'symN' где N - количество моментов исчезновения для всех семейств, кроме 'fk'. Для 'fk', N - количество коэффициентов фильтра. Посмотрите waveinfo для получения дополнительной информации.
Если вашему приложению требуется сдвигово-инвариантное преобразование, но вы все еще нуждаетесь в совершенной реконструкции и некоторой мере вычислительной эффективности, попробуйте неразрешенное дискретное вейвлет, подобное modwt или двойное древовидное преобразование, подобное dualtree.
Если вашей основной целью является детальный частотно-временной (масштабный) анализ или точная локализация переходных процессов сигнала, используйте cwt. Для примера частотно-временного анализа с CWT, см. CWT-основанный частотно-временной анализ.
Для шумоподавления сигнала пороговым вейвлетам коэффициентами используйте wdenoise function или приложение Wavelet Signal Denoiser. wdenoise и Wavelet Signal Denoiser обеспечивают настройки по умолчанию, которые могут быть применены к вашим данным, а также простой интерфейс для различных методов шумоподавления. С помощью приложения можно визуализировать и денуализировать сигналы и сравнить результаты. Для примеров шумоподавления сигнала смотрите Denoise A Signal Using Default Values и Denoise A Signal with the Wavelet Signal Denoiser. Для шумоподавления изображений используйте wdenoise2. Для получения примера смотрите Шумоподавление Signals and Изображений.
Если ваше приложение требует, чтобы у вас было твердое понимание статистических свойств коэффициентов вейвлета, используйте дискретный вейвлет преобразование. Существует активная работа по пониманию статистических свойств CWT, но в настоящее время существует гораздо больше распределительных результатов для дискретных вейвлет. Успех DWT в шумоподавлении во многом объясняется нашим пониманием его статистических свойств. Для примера оценки и проверки гипотез с использованием неразрешенного дискретного вейвлет см. Wavelet Analysis of Financial Data.