Эмпирическое преобразование вейвлета
Эмпирический вейвлет преобразование (EWT) является методом, который создает мультиразрешение анализ (MRA) сигнала с помощью адаптивной схемы вейвлета подразделения. EWT начинается с сегментации спектра сигнала. EWT обеспечивает идеальную реконструкцию входного сигнала. Коэффициенты EWT разбивают энергию входного сигнала на отдельные полосы пропускания.
EWT был разработан Жилем [1]. Жиль и Исцеление [3] предложили и используют основанный на гистограммах подход для сегментации спектра.
MRA является разложением сигнала на компоненты в различных шкалах или эквивалентно в различных полосах таким образом, что исходный сигнал восстанавливается путем суммирования компонентов в каждую точку времени (см. Практическое введение в мультиразрешение). Существует много методов MRA. Максимальное перекрытие дискретного вейвлет (MODWT) и связанная с ним формулировка MRA используют базис или систему координат, разработанный независимо от сигнала (см modwt и modwtmra). Алгоритм эмпирического разложения моды (EMD) является адаптивным к данным методом, который разлагает нелинейный или нестационарный процесс в свои собственные режимы колебаний. EMD итерация входного сигнала для извлечения естественных режимов AM-FM, также известных как функции внутреннего режима, содержащиеся в данных (см emd).
Алгоритм EWT
Можно использовать ewt функция для получения MRA сигнала. Структура алгоритма EWT следующая.
Мы получаем многозначную спектральную оценку степени сигнала с помощью пяти синусоидальных сужений. Это гладкая, низкая оценка дисперсии спектра степени (см. Смещение и изменчивость в Periodogram (Signal Processing Toolbox)). Мы нормализуем оценку, чтобы она лежала в области значений [0,1]. По умолчанию мы идентифицируем весь peaks, строго превышающие 70% пикового значения. Если существует доминирующий пик и много меньших таковых, можно использовать опцию 'LogSpectrum'.
Эмпирические полосы пропускания вейвлета построены по умолчанию, так что их переходные полосы пересекаются со средней геометрической частотой смежного peaks. Вейвлеты Майера сконструированы как описано в [1] вместе с способом, которым мы определяем параметр. Вейвлеты перекрываются таким образом, что образуют плотную систему координат Парсеваля.
Для определения контуров между смежными полосами пропускания у вас есть опция использовать первые локальные минимумы между смежным peaks. Если локальный минимум не идентифицирован, мы возвращаемся к среднему геометрическому значению (по умолчанию).
У вас также есть опция переопределить автоматическое пороговое значение peaks с помощью MaxNumPeaks. Самый большой peaks до
MaxNumPeaksиспользуются. Приблизительная полоса пропускания оценки многозначности является (K + 1/2 )/( N + 1), где K является количеством сужений, и N является длиной данных (которая может включать заполнение). Поскольку peaks должны быть минимально разделены приблизительной пропускной способностью, чтобы квалифицироваться как пик, возможно, что меньшеMaxNumPeaksPeaks, включая отсутствие peaks, идентифицируются.
Поскольку вейвлеты образуют плотную систему координат Парсеваля, группа фильтров является самодвойственной: группа фильтров анализа равна группе синтезирующих фильтров. EWT использует вейвлеты, чтобы фильтровать сигнал в частотный диапазон, а затем инвертирует преобразование, чтобы получить коэффициенты анализа. EWT использует соответствующие синтезирующие вейвлеты, чтобы восстановить компоненты MRA.
Сегментация спектра
Если у вас есть Signal Processing Toolbox™, вы можете увидеть, как использование мультитаперов может привести к сглаженной оценке степени спектра.
Создайте третий тестовый сигнал, определенный в [1], и добавьте белый шум. Установите генератор случайных чисел в настройки по умолчанию, чтобы получить повторяемые результаты. Вычесть его среднее значение и построить график результата.
rng default fs = 500; t = 0:1/fs:1-1/fs; f1 = 1./(6/5+cos(2*pi*t)); f2 = 1./(3/2+sin(2*pi*t)); f3 = cos(32*pi*t+cos(64*pi*t)); sig = f1+f2.*f3; sig = sig+randn(1,length(sig))/2; sig = sig-mean(sig); plot(t,sig) xlabel('Time (sec)') ylabel('Amplitude') title('Test Signal')
Используйте periodogram функция для построения графика периодограммы сигнала. Затем используйте pmtm функция для построения графика сглаженной оценки многозначности.
[Pxx,F] = periodogram(sig,[],[],500); Pxxmt = pmtm(sig,5,[],500,'Tapers','sine','power'); subplot(2,1,1) plot(F,Pxx) title('Periodogram') subplot(2,1,2) plot(F,Pxxmt) title('Smoothed Estimate') xlabel('Frequency (Hz)')
Вычисление EWT
У вас есть несколько способов контролировать, как ewt функция получает MRA сигнала. Этот раздел демонстрирует несколько опции.
Используйте ewt функция с настройками по умолчанию для получения MRA сигнала и информации о банке фильтров.
[mra,~,~,info] = ewt(sig); size(mra)
ans = 1×2
500 2
Задайте Peaks
По умолчанию ewt находит два компонента MRA. Осмотрите полосы пропускания банка фильтров. Поскольку полосы пропускания возвращаются в нормированных частотах, умножьте их на частоту дискретизации.
info.FilterBank.Passbands*fs
ans = 2×2
65 250
0 65
Обратите внимание, что есть узел сегментов на 22 Гц. Первый сегмент имеет два пика. Задайте MaxNumPeaks равным 3, так что ewt определяет полосы пропускания фильтра, используя три самых больших peaks.
[mra,cfs,~,info] = ewt(sig,'MaxNumPeaks',3);
info.FilterBank.Passbands*fsans = 3×2
62.0000 250.0000
28.0000 62.0000
0 28.0000
Проверьте, что суммирование компонентов MRA приводит к идеальной реконструкции сигнала, и проверьте, что коэффициенты анализа EWT сохраняют энергию.
max(abs(sig'-sum(mra,2)))
ans = 1.7764e-15
sum(sum(abs(cfs).^2))
ans = 1.2985e+03
norm(sig,2)^2
ans = 1.2985e+03
Вместо того, чтобы задавать максимальное количество peaks, можно задать процентный порог, используемый для определения, какой peaks сохраняются в многозначном спектре степени. Локальные максимумы в многоуровневой спектральной оценке степени сигнала нормированы, чтобы находиться в области значений [0,1] с максимальным пиком, равным 1. Задайте PeakThresholdPercent к 2.
[~,~,~,info] = ewt(sig,'PeakThresholdPercent',2);
info.FilterBank.Passbands*fsans = 5×2
141.0000 250.0000
74.0000 141.0000
57.0000 74.0000
28.0000 57.0000
0 28.0000
Задайте метод сегментации
По умолчанию ewt использует среднее геометрическое для смежного peaks, чтобы определить полосы пропускания фильтра. The ewt Функция предоставляет вам опцию вместо этого использовать первый локальный минимум между peaks. Задайте SegmentMethod на 'localmin', так что ewt использует первый локальный минимум и задает не более трех пиков. Подтвердите, что использование первого локального минимума приводит к другой сегментации.
[~,~,~,info] = ewt(sig,'MaxNumPeaks',3,'SegmentMethod','localmin'); info.FilterBank.Passbands*fs
ans = 3×2
54.0000 250.0000
28.0000 54.0000
0 28.0000
Задайте частотное разрешение
Можно также задать полосу пропускания частотного разрешения многозначной спектральной оценки степени. Полоса пропускания частотного разрешения определяет, сколько синусоидальных сужений используется в оценке многозначного спектра степени. Задайте разрешение частоты 0,2 и максимум три пика. Обратите внимание, что, хотя MaxNumPeaks установлено на 3, три пика не найдены с использованием заданного разрешения частоты.
[mra,~,~,info] = ewt(sig,'MaxNumPeaks',3,'FrequencyResolution',0.2); info.FilterBank.Passbands*fs
ans = 2×2
83.0000 250.0000
0 83.0000
Ссылки
[1] Жиль, Жером. Эмпирический Вейвлет преобразование. Транзакции IEEE по обработке сигналов 61, № 16 (август 2013): 3999-4010. https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2265222.
[2] Жиль, Жером, Джанг Траном и Стэнли Ошер. "2D эмпирические преобразования. Вейвлеты, Ridgelets, and Curvelets Revisited ". SIAM Journal on Imaging Sciences 7, № 1 (январь 2014): 157-86. https://doi.org/10.1137/130923774.
[3] Жиль, Жером и Кэтрин Хил. «Параметрический подход масштаба-пространства к поиску значимых режимов в гистограммах - применение к сегментации изображений и спектра». Международный журнал вейвлетов, мультиразрешения и обработки информации 12, № 06 (ноябрь 2014): 1450044. https://doi.org/10.1142/S0219691314500441.