Получите MODWT сигнала электрокардиограммы (ECG) с помощью sym4 по умолчанию вейвлет до максимального уровня. Данные взяты из Percival & Walden (2000), стр. 25 (данные первоначально предоставлены Уильямом Константином и Пером Рейнхоллом, Университет Вашингтона).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg);
whos wtecg

  Name        Size               Bytes  Class     Attributes

  wtecg      12x2048            196608  double              

Первые одиннадцать строк wtecg являются вейвлет для шкал $$2^1$$ кому $$2^{11}$$. Итоговая строка содержит коэффициенты масштабирования в шкале $$2^{11}$$. Постройте график коэффициентов детализации (вейвлет) для шкалы $$2^3$$.

plot(wtecg(3,:))
title('Level 3 Wavelet Coefficients')

Получите данные MODWT индекса южного колебания с db2 вейвлет до максимального уровня.

load soi;
wsoi = modwt(soi,'db2');

Получите данные MODWT по обменному курсу Deutsche Mark - U.S. Dollar с помощью масштабирующих и вейвлет Fejer-Korovkin length 8.

load DM_USD;
[Lo,Hi] = wfilters('fk8');
wdm = modwt(DM_USD,Lo,Hi);

Получите MODWT сигнала ECG до масштаба $$2^4$$, что соответствует четвертому уровню. Используйте sym4 по умолчанию вейвлет. Данные взяты из Percival & Walden (2000), стр. 25 (данные первоначально предоставлены Уильямом Константином и Пером Рейнхоллом, Университет Вашингтона).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg,4);
whos wecg wtecg

  Name          Size              Bytes  Class     Attributes

  wecg       2048x1               16384  double              
  wtecg         5x2048            81920  double              

Размер строки wtecg является L + 1, где, в этом случае, уровень (L) равен 4. Размер столбца соответствует количеству входа отсчетов.

Получите MODWT сигнала ECG с помощью обработки контуров отражения. Используйте sym4 по умолчанию вейвлет и получить преобразование до уровня 4. Данные взяты из Percival & Walden (2000), стр. 25 (данные первоначально предоставлены Уильямом Константином и Пером Рейнхоллом, Университет Вашингтона).

load wecg;
wtecg = modwt(wecg,4,'reflection');
whos wecg wtecg

  Name          Size               Bytes  Class     Attributes

  wecg       2048x1                16384  double              
  wtecg         5x4096            163840  double              

wtecg имеет 4096 столбцов, что в два раза больше длины входного сигнала, wecg.

Загрузите 23-канальные данные EEG Espiga3 [3]. Каналы расположены столбчато. Данные отбираются с частотой дискретизации 200 Гц.

load Espiga3

Вычислите максимальное перекрытие дискретного вейвлет до максимального уровня.

wt = modwt(Espiga3);

Получите квадратные энергии сигнала и сравните их с квадратными энергиями, полученными из суммирования коэффициентов вейвлета по всем уровням. Используйте логарифмическую квадратную энергию из-за непропорционально большой энергии в одном компоненте.

sigN2 = vecnorm(Espiga3).^2;
wtN2 = sum(squeeze(vecnorm(wt,2,2).^2));
bar(1:23,log(sigN2))
hold on
scatter(1:23,log(wtN2),'filled','SizeData',100)
alpha(0.75)
legend('Signal Energy','Energy in Wavelet Coefficients', ...
        'Location','NorthWest')
xlabel('Channel')
ylabel('ln(squared energy)')

Этот пример демонстрирует различия между функциями MODWT и MODWTMRA. MODWT разбивает энергию сигнала на коэффициенты детализации и коэффициенты масштабирования. MODWTMRA проецирует сигнал на вейвлет подпространства и масштабирующий подпространство.

Выберите sym6 вейвлет. Загрузите и постройте график сигнала электрокардиограммы (ЭКГ). Частота дискретизации для сигнала ЭКГ составляет 180 герц. Данные взяты из Percival and Walden (2000), p.125 (данные первоначально предоставлены Уильямом Константином и Пером Рейнхоллом, Университет Вашингтона).

load wecg
t = (0:numel(wecg)-1)/180;
wv = 'sym6';
plot(t,wecg)
grid on
title(['Signal Length = ',num2str(numel(wecg))])
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')

Возьмите MODWT сигнала.

wtecg = modwt(wecg,wv);

Входные данные являются выборками функции $$f(x)$$ оценивается в $$N$$-many time points. Функция может быть выражена как линейная комбинация функции масштабирования $$\varphi (x)$$ и вейвлет $$\psi (x)$$в меняющихся шкалах и переводах: $$f(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{2}^{-J_0/2}\varphi (2^{-J_0}x-k)+\sum _{j=1}^{J_0}{f}_j(x)$$ где $$f_j(x)=\sum _{k=0}^{N-1}{d}_{j,k}{2}^{-j/2}\psi (2^{-j}x-k)$$ и $$J_0$$ - количество уровней разложения вейвлета. Первая сумма является грубой шкалой сигнала, и $$f_j(x)$$ являются деталями в последовательных шкалах. MODWT возвращает $$N$$-мерные коэффициенты $$\{c_k\}$$и $$(J_0\times N)$$-many detail коэффициенты $$\{d_{j,k}\}$$ расширения. Каждая строка в wtecg содержит коэффициенты в другой шкале.

При приеме MODWT сигнала длины $$N$$, есть $$\text{floor}({\log }_2(N))$$-many уровни разложения (по умолчанию). Коэффициенты детализации формируются на каждом уровне. Коэффициенты масштабирования возвращаются только для конечного уровня. В этом примере, с $$N=2048$$, $$J_0=\text{пол}(\log 2(2048))=11$$ и количество строк в wtecg является $$J_0+1=11+1=12$$.

MODWT разбивает энергию на различные шкалы и коэффициенты масштабирования: $${||X||}^2=\sum _{j=1}^{J_0}{||W_j||}^2+{||V_{J_0}||}^2$$ где $$X$$ - входные данные, $$W_j$$ являются коэффициентами детализации в шкале $$j$$, и $$V_{J_0}$$ являются коэффициентами масштабирования конечного уровня.

Вычислите энергию в каждой шкале и оцените их сумму.

energy_by_scales = sum(wtecg.^2,2);
Levels = {'D1';'D2';'D3';'D4';'D5';'D6';'D7';'D8';'D9';'D10';'D11';'A11'};
energy_table = table(Levels,energy_by_scales);
disp(energy_table)

    Levels     energy_by_scales
    _______    ________________

    {'D1' }         14.063     
    {'D2' }         20.612     
    {'D3' }         37.716     
    {'D4' }         25.123     
    {'D5' }         17.437     
    {'D6' }         8.9852     
    {'D7' }         1.2906     
    {'D8' }         4.7278     
    {'D9' }         12.205     
    {'D10'}         76.428     
    {'D11'}         76.268     
    {'A11'}         3.4192     

energy_total = varfun(@sum,energy_table(:,2))

energy_total=table
    sum_energy_by_scales
    ____________________

           298.28       

Подтвердите, что MODWT сохраняет энергию, вычисляя энергию сигнала и сравнивая его с суммой энергий по всем шкалам.

energy_ecg = sum(wecg.^2);
max(abs(energy_total.sum_energy_by_scales-energy_ecg))

ans = 7.4402e-10

Возьмите MODWTMRA сигнала.

mraecg = modwtmra(wtecg,wv);

MODWTMRA возвращает проекции функции $$f(x)$$ на различные подпространства вейвлета и конечное пространство масштабирования. То есть MODWTMRA возвращается $$\sum _{k=0}^{N-1}{c}_k{2}^{-J_0/2}\varphi (2^{-J_0}x-k)$$и $$J_0$$- многие $$\{f_j(x)\}$$оценивается в $$N$$-many time points. Каждая строка в mraecg является проекцией $$f(x)$$ в другой подпространство. Это означает, что исходный сигнал может быть восстановлен путем добавления всех проекций. Это не соответствует действительности в случае MODWT. Добавление коэффициентов в wtecg не восстанавливает исходный сигнал.

Выберите временной точкой, добавьте проекции $$f(x)$$ оценивают в этот момент времени и сравнивают с исходным сигналом.

time_point = 1000;
abs(sum(mraecg(:,time_point))-wecg(time_point))

ans = 3.0846e-13

Подтвердите, что, в отличие от MODWT, MODWTMRA не является энергосберегающим преобразованием.

energy_ecg = sum(wecg.^2);
energy_mra_scales = sum(mraecg.^2,2);
energy_mra = sum(energy_mra_scales);
max(abs(energy_mra-energy_ecg))

ans = 115.7053

MODWTMRA является нулевой фазовой фильтрацией сигнала. Функции будут выровнены по времени. Продемонстрировать это путем построения графика исходного сигнала и одной из его проекций. Чтобы лучше проиллюстрировать выравнивание, увеличьте изображение.

plot(t,wecg,'b')
hold on
plot(t,mraecg(4,:),'-')
hold off
grid on
xlim([4 8])
legend('Signal','Projection','Location','northwest')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')

Сделайте аналогичный график, используя коэффициенты MODWT в той же шкале. Обратите внимание, что функции не будут выровнены по времени. MODWT не является нулевой фазой фильтрации входов.

plot(t,wecg,'b')
hold on
plot(t,wtecg(4,:),'-')
hold off
grid on
xlim([4 8])
legend('Signal','Coefficients','Location','northwest')
xlabel('Time (s)')
ylabel('Amplitude')