Вейвлет

Метод вейвлета пакета является обобщением разложения вейвлета, которое предлагает более богатый анализ сигнала.

Атомы вейвлета пакета являются формами волны, индексируемыми тремя естественно интерпретируемыми параметрами: положением, масштабом (как в вейвлет разложении) и частотой.

Для заданной функции ортогонального вейвлета мы генерируем библиотеку основ, называемую вейвлетом packet основ. Каждая из этих основ предлагает конкретный способ кодирования сигналов, сохранения глобальной энергии и восстановления точных функций. Вейвлет могут использоваться для многочисленных расширений заданного сигнала. Затем мы выбираем наиболее подходящее разложение данного сигнала относительно основанного на энтропии критерия.

Существуют простые и эффективные алгоритмы как для вейвлета разложения пакетов, так и для оптимального выбора разложения. Затем мы можем создать адаптивные алгоритмы фильтрации с прямыми приложениями в оптимальном кодировании сигнала и сжатии данных.

От вейвлетов к вейвлет-пакетам

В процедуре ортогонального разложения вейвлетов общий шаг разделяет коэффициенты приближения на две части. После разделения мы получаем вектор приближения коэффициентов и вектор детальных коэффициентов, оба в более грубой шкале. Информация, потерянная между двумя последовательными приближениями, получена в коэффициентах детализации. Затем следующий шаг состоит из разделения нового вектора коэффициента приближения; последующие детали никогда не повторяются.

В соответствующей ситуации с вейвлетом пакетом каждый вектор коэффициента детализации также разлагается на две части с использованием того же подхода, что и при приближении векторном разделении. Это предлагает богатейший анализ: полное двоичное дерево получается как показано на следующем рисунке.

Вейвлет разложения вейвлет-пакетов на уровне 3

Идея этого разложения состоит в том, чтобы начать с масштабно-ориентированного разложения, а затем анализировать полученные сигналы на частотных поддиапазонах.

Вейвлет в действии: введение

Следующие простые примеры иллюстрируют определенные различия между вейвлет и вейвлет-пакетным анализом.

Вейвлет вейвлет-пакета

Спектральный анализ широкополосных стационарных сигналов с помощью преобразования Фурье хорошо установлен. Для нестационарных сигналов существуют локальные методы Фурье, такие как краткосрочное преобразование Фурье (STFT). Краткое описание смотрите в Кратковременном Преобразовании Фурье.

Поскольку вейвлеты локализованы по времени и частоте, возможно использовать основанные на вейвлетах аналоги STFT для частотно-временного анализа нестационарных сигналов. Для примера возможно создать скалограмму (wscalogram) на основе непрерывного вейвлет (CWT). Однако потенциальным недостатком использования CWT является то, что он является в вычислительном отношении дорогим.

Дискретное вейвлет (DWT) позволяет частотно-временное разложение входного сигнала, но степень разрешения частоты в DWT обычно рассматривается как слишком грубая для практического частотно-временного анализа.

В качестве компромисса между методами, основанными на DWT- и CWT, вейвлет обеспечивают вычислительно эффективную альтернативу с достаточным разрешением частоты. Вы можете использовать wpspectrum для выполнения частотно-временного анализа вашего сигнала с помощью вейвлет.

Следующие примеры иллюстрируют использование вейвлета пакетов для выполнения локального спектрального анализа. Следующие примеры также используют spectrogram (Signal Processing Toolbox) из программного обеспечения Signal Processing Toolbox™ в качестве бенчмарка для сравнения со спектром вейвлет-пакета. Если у вас нет программного обеспечения Signal Processing Toolbox, можно просто запустить вейвлет примеры спектра пакетов.

Вейвлет пакетный спектр синусоиды.

fs = 1000; % sampling rate
t = 0:1/fs:2; % 2 secs at 1kHz sample rate
y = sin(256*pi*t); % sine of period 128
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

Если у вас есть программное обеспечение Signal Processing Toolbox, можно вычислить краткосрочное преобразование Фурье.

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

Сумма двух синусоид с частотами 64 и 128 герц.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2;
y = sin(128*pi*t) + sin(256*pi*t); % sine of periods 64 and 128.
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

Если у вас есть программное обеспечение Signal Processing Toolbox, можно вычислить краткосрочное преобразование Фурье.

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

Сигнал с резким изменением частоты от 16 до 64 герц на две секунды.

fs = 500;
t = 0:1/fs:4;
y = sin(32*pi*t).*(t<2) + sin(128*pi*t).*(t>=2);
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

Если у вас есть программное обеспечение Signal Processing Toolbox, можно вычислить краткосрочное преобразование Фурье.

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

Вейвлет пакетный спектр линейного щебета.

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2;
y = sin(256*pi*t.^2);
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

Если у вас есть программное обеспечение Signal Processing Toolbox, можно вычислить краткосрочное преобразование Фурье.

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

Вейвлет квадратичного щебета.

y = wnoise('quadchirp',10);
len = length(y);
t = linspace(0,5,len);
fs = 1/t(2);
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

Если у вас есть программное обеспечение Signal Processing Toolbox, можно вычислить краткосрочное преобразование Фурье.

windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

Создание Вейвлета пакетов

Расчет для генерации вейвлет-пакетов прост при использовании ортогонального вейвлета. Начнем с двух фильтров длины 2 N, где h (n) и g (n), соответствуют вейвлет.

Теперь по индукции давайте зададим следующую последовательность функций:

(W n (x), n = 0, 1, 2 ,...)

около

W2n(x)=2k=02N1h(k)Wn(2xk)

W2n+1(x)=2k=02N1g(k)Wn(2xk)

где W 0 (x) =, (x) - функция масштабирования и W 1 (x) =, (x) является вейвлет.

Для примера для вейвлета Haar мы имеем

N=1,h(0)=h(1)=12

и

g(0)=g(1)=12

Уравнения становятся

W2n(x)=Wn(2x)+Wn(2x1)

и

W2n+1(x)=Wn(2x)Wn(2x1)

<reservedrangesplaceholder1> 0 <reservedrangesplaceholder0> =, (x) - функция масштабирования Haar и W 1 (x) =, (x) - вейвлет Haar, оба поддерживаемые в [0, 1]. Затем мы можем получить W 2 n путем добавления двух 1/2-масштабированных версий Wn с различными поддержкой [0,1/2] и [1/2,1] и получить W 2 n + 1 путем вычитания тех же версий Wn.

Для n = 0 до 7 у нас есть W-функции, показанные на рисунке Haar Wavelet Packets.

Пакеты Вейвлет

Это можно получить с помощью следующей команды:

[wfun,xgrid] = wpfun('db1',7,5);

который возвращается в wfun приблизительные значения Wn для n = 0 до 7, вычисленные на 1/25 сетка опорной xgrid.

Начиная с более регулярных исходных вейвлетов и используя подобную конструкцию, мы получаем сглаженные версии этой системы W-функций, все с поддержкой в интервале [0, 2 N -1]. Рисунок db2 Wavelet Packets представляет систему W-функций для исходного db2 вейвлет.

db2 Вейвлет

Атомы пакета вейвлета

Начиная с функций (Wn(x),nN) и следуя той же линии, ведущей к ортогональным вейвлетам, рассмотрим трехиндексированное семейство функций анализа (формы волны):

(Wj,n,k(x)=2j/2Wn(2jxk)

где <reservedrangesplaceholder4>  <reservedrangesplaceholder3> и (j, k)  <reservedrangesplaceholder0>2.

Как и в вейвлет среды, k можно интерпретировать как параметр локализации во времени и j как параметр шкалы. Так какова же интерпретация n?

Основная идея вейвлет заключается в том, что для фиксированных значений j и k Wj,n,k анализирует колебания сигнала примерно вокруг положения 2j· k, в шкале 2j и на различных частотах для различных допустимых значений последнего n параметра.

Фактически, внимательно исследуя вейвлет, отображенные в Haar Wavelet Packets и db2 Wavelet Packets, естественно упорядоченное Wn для n = 0, 1,..., 7, не соответствует точно порядку, заданному количеством колебаний. Точнее, подсчет количества нулевых переходов (вверх-переходы и вниз-переходы) для db1 вейвлет, у нас есть следующее.

Функции естественного порядка n

0

1

2

3

4

5

6

7

Количество пересечений нуля для db 1 Wn

2

3

5

4

9

8

6

7

Так, чтобы восстановить свойство, что основная частота увеличивается монотонно с порядком, удобно задать частотный порядок, полученный из естественной рекурсивно.

Функции естественного порядка n

0

1

2

3

4

5

6

7

Частотный порядок r (n)

0

1

3

2

6

7

5

4

Как видно из предыдущих рисунков, Wr (n) (x) «колеблется» примерно n раз.

Чтобы анализировать сигнал (щебет примера 2 для образца), лучше построить график коэффициентов пакета вейвлетов, следующих за порядком частот от низких частот в нижней части до высоких частот в верхней части, чем естественно упорядоченные коэффициенты.

При построении графика коэффициентов с помощью приложения Wavelet Analyzer доступны различные опции, связанные с выбором порядка «Частота» или «Естественный».

Эти опции также доступны в командной строке при использовании wpviewcf функция.

Организация пакетов Wavelet

Набор функций W j, n = (Wj,n,k(x),k∊Z) - пакет (j, n) вейвлет. Для положительных значений целых и n целых чисел j вейвлет организованы в деревьях. Дерево на рисунке Wavelet Packets Organized in a Tree; Шкала j Задаёт Глубину и Частота n Задает Положение в дереве Создается, чтобы получить максимальное разложение уровня, равное 3. Для каждого масштабного j возможные значения параметра n равны 0, 1,..., 2j–1.

Вейвлет, организованные в дереве; Шкала j Определение глубины и частоты n определяет положение в дереве

Обозначение W j,n, где j обозначает параметр шкалы и n частотный параметр, согласуется с обычной меткой дерева положения глубины.

У нас есть W0,0=(ϕ(xk),kZ), и W1,1=(ψ(x2k),kZ).

Оказывается, библиотека вейвлета пакетных основ содержит вейвлет базиса а также несколько другие основы. Давайте рассмотрим некоторые из этих основ. Точнее, позвольте V 0 обозначить пространство (охватываемое семейством W 0,0), в котором лежит сигнал, подлежащий анализу; затем (W d, 1; d ≥ 1) является ортогональным базисом V 0.

Для каждого строго положительного целого числа D (W D, 0, (W d, 1; 1d ≤ D)) является ортогональным базисом V 0.

Мы также знаем, что семейство функций {(Wj + 1,2 n), (Wj + 1,2 n + 1)} является ортогональным базисом пространства, охватываемого Wj,n, которое разделено на два подпространства: Wj + 1,2 n охватывает первое подпространство, а Wj + 1,2 n + 1 второе.

Это последнее свойство дает точную интерпретацию разделения в дереве организации вейвлет, потому что все разработанные узлы имеют форму, показанную на рисунке Wavelet Packet Tree: Split и Merge.

Вейвлет вейвлет-пакетов: разделение и слияние

Из этого следует, что листья каждого связанного двоичного поддерева полного дерева соответствуют ортогональному базисный исходного пространства.

Для сигнала с конечной энергией, принадлежащего V 0, любой базис пакета вейвлет обеспечит точную реконструкцию и предложит конкретный способ кодирования сигнала, используя распределение информации в поддиапазонах шкалы частот.

Выбор оптимального разложения

Основываясь на организации библиотеки вейвлет-пакетов, естественно считать декомпозиции, выданные из данного ортогонального вейвлета.

Сигнал длины N = 2L может быть расширен α различными способами, где α - количество двоичных подтревов полного двоичного дерева глубин L. В результате, α2N/2 (см. [Mal98] стр. 323).

Поскольку это число может быть очень большим, и поскольку явное перечисление в целом неуправляемо, интересно найти оптимальное разложение относительно удобного критерия, вычисляемого эффективным алгоритмом. Мы ищем минимум критерия.

Функции, проверяющие свойство типа аддитивности, хорошо подходят для эффективного поиска двоичных древовидных структур и фундаментального разделения. Классические основанные на энтропии критерии соответствуют этим условиям и описывают связанные с информацией свойства для точного представления данного сигнала. Энтропия является общей концепцией во многих областях, в основном в обработке сигналов. Давайте перечислим четыре различных критерия энтропии (см. [CoiW92]); многие другие доступны и могут быть легко интегрированы (тип help wentropy). В следующих выражениях s является сигналом и (si) являются коэффициентами s в ортонормированном базисе.

Энтропийная E должна быть аддитивной функцией стоимости, такой что E (0) = 0 и

E(s)=iE(si)

  • Энтропия (ненормализованная) Шеннона

    E1(si)=si2log(si2)

    так

    E1(s)=isi2log(si2)

    с условием 0log (0) = 0.

  • Концентрация в лp норма с 1 ℜ ≤ p

    E2(si)=|si|p

    так

    E2(s)=i|si|p=|s|pp

  • Логарифм «энергетической» энтропии

    E3(si)=log(si2)

    так

    E3(s)=ilog(si2)

    с журналом соглашения (0) = 0.

  • Пороговая энтропия

    E4(si)=1 если |si|>ε и 0 в другом месте, так E 4 (s) = # {i, что |si|>ε} - количество моментов времени, когда сигнал больше порога

Эти функции энтропии доступны с помощью wentropy файл.

Пример 1: Вычисление различных энтропий

  1. Сгенерируйте сигнал энергии, равный 1.

    s = ones(1,16)*0.25;
    
  2. Вычислите энтропию Шеннона s.

    e1 = wentropy(s,'shannon')
        e1 = 2.7726
    
  3. Вычислите l1.5 энтропия s, эквивалентная norm(s,1.5)1.5.

    e2 = wentropy(s,'norm',1.5)
        e2 = 2
    
  4. Вычислите энтропию «логарифмической энергии» s.

    e3 = wentropy(s,'log energy')
        e3 = -44.3614
    
  5. Вычислите пороговую энтропию s с помощью порогового значения 0,24.

    e4 = wentropy(s,'threshold', 0.24)
        e4 = 16
    

Пример 2: Минимальное-энтропийное разложение

Этот простой пример иллюстрирует использование энтропии, чтобы определить, представляет ли интерес новое расщепление для получения минимального энтропийного разложения.

  1. Начнем с постоянного исходного сигнала. Двух частей информации достаточно для определения и восстановления сигнала (то есть длины и постоянного значения).

    w00 = ones(1,16)*0.25;
    
  2. Вычислите энтропию исходного сигнала.

    e00 = wentropy(w00,'shannon')
        e00 = 2.7726
    
  3. Затем разделите w00 использование воловьего вейвлета.

    [w10,w11] = dwt(w00,'db1');
    
  4. Вычислите энтропию приближения на уровне 1.

    e10 = wentropy(w10,'shannon')
        e10 = 2.0794
    

    Детали уровня 1, w11, равен нулю; энтропия e11 равен нулю. Из-за свойства аддитивности энтропия разложения определяется e10+e11=2.0794. Это необходимо сравнить с начальной энтропией e00=2.7726. У нас есть e10 + e11 < e00, так что расщепление интересно.

  5. Теперь разделите w10 (не w11 потому что разделение вектора null не имеет интереса, поскольку энтропия равна нулю).

    [w20,w21] = dwt(w10,'db1');
    
  6. У нас есть w20=0.5*ones(1,4) и w21 равен нулю. Энтропия уровня приближения 2

    e20 = wentropy(w20,'shannon')
        e20 = 1.3863
    

    Снова у нас есть e20 + 0 < e10таким образом, расщепление приводит к уменьшению энтропии.

  7. Тогда

    [w30,w31] = dwt(w20,'db1');
    e30 = wentropy(w30,'shannon')
        e30 = 0.6931
    
    [w40,w41] = dwt(w30,'db1')
        w40 = 1.0000
        w41 = 0
    
    e40 = wentropy(w40,'shannon')
        e40 = 0
    

    В последней операции разделения мы обнаруживаем, что для восстановления исходного сигнала необходима только одна часть информации. Вейвлет на уровне 4 является лучшим базисом согласно энтропии Шеннона (с нуль оптимальной энтропии с e40+e41+e31+e21+e11 = 0).

  8. Выполните вейвлет пакетов разложение сигнального s, заданного в примере 1.

    t = wpdec(s,4,'haar','shannon');
    

    Дерево вейвлета пакетов в Значения Entropy показывает узлы, маркированные исходными номерами энтропии.

    Значения энтропии

  9. Вычислите лучшее дерево.

    bt = besttree(t);
    

    Лучшее дерево показано на следующем рисунке. В этом случае лучшее дерево соответствует вейвлет. Узлы маркированы оптимальной энтропией.

    Оптимальные значения энтропии

Некоторые интересные поддеревья

Использование вейвлет требует древовидных действий и маркировки. Реализация пользовательского интерфейса построена вокруг этого фактора. Для получения дополнительной информации о технических деталях см. страницы с описанием.

Полное двоичное дерево глубин D соответствующий вейвлет дереву разложения пакетов, разработанному на уровне D, обозначено WPT.

У нас есть следующие интересные поддеревья.

Дерево разложения

Поддерево, такое, что набор листьев является базисом

Вейвлет разложения вейвлет-пакетов

Полное двоичное дерево: WPT глубины D

Оптимальное дерево разложения вейвлет-пакетов

Двоичный поддерево WPT

Вейвлет дерева наилучшего уровня

Полный двоичный поддерево WPT

Дерево разложения вейвлетов

Левый односторонний двоичный поддерево WPT глубины D

Вейвлет лучшее базисное дерево

Левый односторонний двоичный поддерево WPT

Мы выводим следующие определения оптимальных разложений, относительно E критерия энтропии.

Разложения

Оптимальное разложение

Декомпозиция наилучшего уровня

Вейвлет вейвлет-пакетов

Поиск среди 2D деревья

Поиск среди D деревьев

Вейвлет

Поиск среди D деревьев

Поиск среди D деревьев

Для любого нетерминального узла мы используем следующий основной шаг, чтобы найти оптимальное поддерево относительно заданного критерия энтропии E (где Eopt обозначает оптимальное значение энтропии).

Энтропийные Условия

Действие с древовидной и энтропийной маркировкой

E(node)c дочерний узел  узлаEopt(c)


Если (node≠root), объедините и установите Eopt (node) = E (node)

E(node)>c дочерний узел  узлаEopt(c)

Разделение и установка Eopt(node)=c дочерний узел  узлаEopt(c)

с естественным начальным условием на ссылку дереве, Eopt (t) = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> для каждого терминального узла t.

Восстановление приближения сигнала из узла

Вы можете использовать функцию wprcoef чтобы восстановить приближение вашего сигнала от любого узла в дереве вейвлет. Это верно независимо от того, работаете ли вы с полным вейвлетом деревом пакетов или поддеревом, определяемым критерием оптимальности. Использовать wpcoef если вы хотите извлечь вейвлет пакетные коэффициенты из узла, не восстанавливая приближения к сигналу.

Загрузите шумный сигнал Доплера.

load noisdopp

Вычислите разложение вейвлета пакета до уровня 5 с помощью sym4 вейвлет. Используйте режим периодизации.

dwtmode('per');
T = wpdec(noisdopp,5,'sym4');
plot(T)

Постройте график дерева двоичных вейвлетов пакетов и щелкните по (4,1) дуплету (узел 16).

Извлеките вейвлет пакетные коэффициенты из узла 16.

wpc = wpcoef(T,16);
% wpc is length 64

Получите приближение к сигналу от узла 16.

rwpc = wprcoef(T,16);
% rwpc is length 1024
plot(noisdopp,'k'); hold on;
plot(rwpc,'b','linewidth',2);
axis tight;

Определите оптимальное дерево двоичных вейвлет.

Topt = besttree(T);
% plot the best tree
plot(Topt)

Восстановите приближение к сигналу от (3,0) дублета (узел 7).

rsig = wprcoef(Topt,7);
% rsig is length 1024
plot(noisdopp,'k'); hold on;
plot(rsig,'b','linewidth',2);
axis tight;

Если вы знаете, какой дуплет в двоичном дереве вейвлет вы хотите извлечь, можно определить узел, относящийся к этому дуплету с depo2ind.

Для примера, чтобы определить узел, относящийся к дублету (3,0), введите:

Node = depo2ind(2,[3 0]);

Вейвлет 2-D структура разложения

Точно так же, как в случае разложения вейвлет, предыдущая 1-D среда может быть расширена до анализа изображений. Незначительные прямые изменения приводят к четвертичным древовидным определениям. Пример показан на следующем рисунке для глубины 2.

Четвертичное дерево глубины 2

Вейвлет для сжатия и шумоподавления

В вейвлет пакетной среде идеи сжатия и шумоподавления идентичны идеям, разработанным в вейвлет среде. Единственной новой возможностью является более полный анализ, который обеспечивает повышенную гибкость. Одно разложение с использованием вейвлет генерирует большое количество основ. Затем можно искать лучшее представление относительно цели проекта, используя besttree с функцией энтропии.

Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте