Документация

От вейвлетов к вейвлет-пакетам

В процедуре ортогонального разложения вейвлетов общий шаг разделяет коэффициенты приближения на две части. После разделения мы получаем вектор приближения коэффициентов и вектор детальных коэффициентов, оба в более грубой шкале. Информация, потерянная между двумя последовательными приближениями, получена в коэффициентах детализации. Затем следующий шаг состоит из разделения нового вектора коэффициента приближения; последующие детали никогда не повторяются.

В соответствующей ситуации с вейвлетом пакетом каждый вектор коэффициента детализации также разлагается на две части с использованием того же подхода, что и при приближении векторном разделении. Это предлагает богатейший анализ: полное двоичное дерево получается как показано на следующем рисунке.

Идея этого разложения состоит в том, чтобы начать с масштабно-ориентированного разложения, а затем анализировать полученные сигналы на частотных поддиапазонах.

Вейвлет в действии: введение

Следующие простые примеры иллюстрируют определенные различия между вейвлет и вейвлет-пакетным анализом.

fs = 1000; % sampling rate
t = 0:1/fs:2; % 2 secs at 1kHz sample rate
y = sin(256*pi*t); % sine of period 128
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2;
y = sin(128*pi*t) + sin(256*pi*t); % sine of periods 64 and 128.
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

fs = 500;
t = 0:1/fs:4;
y = sin(32*pi*t).*(t<2) + sin(128*pi*t).*(t>=2);
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

fs = 1000;
t = 0:1/fs:2;
y = sin(256*pi*t.^2);
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

figure;
windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
[S,F,T] = spectrogram(y,window,noverlap,nfft,fs);
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

y = wnoise('quadchirp',10);
len = length(y);
t = linspace(0,5,len);
fs = 1/t(2);
level = 6;
wpt = wpdec(y,level,'sym8');
[Spec,Time,Freq] = wpspectrum(wpt,fs,'plot');

windowsize = 128;
window = hanning(windowsize);
nfft = windowsize;
noverlap = windowsize-1;
imagesc(T,F,log10(abs(S)))
set(gca,'YDir','Normal')
xlabel('Time (secs)')
ylabel('Freq (Hz)')
title('Short-time Fourier Transform spectrum')

Создание Вейвлета пакетов

Расчет для генерации вейвлет-пакетов прост при использовании ортогонального вейвлета. Начнем с двух фильтров длины 2 N, где h (n) и g (n), соответствуют вейвлет.

Теперь по индукции давайте зададим следующую последовательность функций:

около

где W 0 (x) =, (x) - функция масштабирования и W 1 (x) =, (x) является вейвлет.

Для примера для вейвлета Haar мы имеем

и

Уравнения становятся

и

<reservedrangesplaceholder1> 0 <reservedrangesplaceholder0> =, (x) - функция масштабирования Haar и W 1 (x) =, (x) - вейвлет Haar, оба поддерживаемые в [0, 1]. Затем мы можем получить W ₂ n путем добавления двух 1/2-масштабированных версий Wn с различными поддержкой [0,1/2] и [1/2,1] и получить _{W 2} n + 1 путем вычитания тех же _версий Wn.

Для n = 0 до 7 у нас есть W-функции, показанные на рисунке Haar Wavelet Packets.

Это можно получить с помощью следующей команды:

[wfun,xgrid] = wpfun('db1',7,5);

который возвращается в wfun приблизительные значения _Wn для n = 0 до 7, вычисленные на 1/2⁵ сетка опорной xgrid.

Начиная с более регулярных исходных вейвлетов и используя подобную конструкцию, мы получаем сглаженные версии этой системы W-функций, все с поддержкой в интервале [0, 2 N -1]. Рисунок db2 Wavelet Packets представляет систему W-функций для исходного db2 вейвлет.

Атомы пакета вейвлета

Начиная с функций $$(W_n(x),n\in N)$$ и следуя той же линии, ведущей к ортогональным вейвлетам, рассмотрим трехиндексированное семейство функций анализа (формы волны):

где <reservedrangesplaceholder4>  <reservedrangesplaceholder3> и (j, k)  <reservedrangesplaceholder0>².

Как и в вейвлет среды, k можно интерпретировать как параметр локализации во времени и j как параметр шкалы. Так какова же интерпретация n?

Основная идея вейвлет заключается в том, что для фиксированных значений j и k _Wj,n,k анализирует колебания сигнала примерно вокруг положения 2^j· k, в шкале 2^j и на различных частотах для различных допустимых значений последнего n параметра.

Фактически, внимательно исследуя вейвлет, отображенные в Haar Wavelet Packets и db2 Wavelet Packets, естественно упорядоченное _Wn для n = 0, 1,..., 7, не соответствует точно порядку, заданному количеством колебаний. Точнее, подсчет количества нулевых переходов (вверх-переходы и вниз-переходы) для db1 вейвлет, у нас есть следующее.

Так, чтобы восстановить свойство, что основная частота увеличивается монотонно с порядком, удобно задать частотный порядок, полученный из естественной рекурсивно.

Как видно из предыдущих рисунков, _{Wr (n}) (x) «колеблется» примерно n раз.

Чтобы анализировать сигнал (щебет примера 2 для образца), лучше построить график коэффициентов пакета вейвлетов, следующих за порядком частот от низких частот в нижней части до высоких частот в верхней части, чем естественно упорядоченные коэффициенты.

При построении графика коэффициентов с помощью приложения Wavelet Analyzer доступны различные опции, связанные с выбором порядка «Частота» или «Естественный».

Эти опции также доступны в командной строке при использовании wpviewcf функция.

Организация пакетов Wavelet

Набор функций W _j, n = (Wj,n,k(x),k∊Z) - пакет (j, n) вейвлет. Для положительных значений целых и n целых чисел j вейвлет организованы в деревьях. Дерево на рисунке Wavelet Packets Organized in a Tree; Шкала j Задаёт Глубину и Частота n Задает Положение в дереве Создается, чтобы получить максимальное разложение уровня, равное 3. Для каждого масштабного j возможные значения параметра n равны 0, 1,..., 2^j–1.

Обозначение W _j,n, где j обозначает параметр шкалы и n частотный параметр, согласуется с обычной меткой дерева положения глубины.

У нас есть $$W_{0,0}=(\varphi (x-k),k\in Z)$$, и $$W_{1,1}=(\psi (\frac{x}{2}-k),k\in Z)$$.

Оказывается, библиотека вейвлета пакетных основ содержит вейвлет базиса а также несколько другие основы. Давайте рассмотрим некоторые из этих основ. Точнее, позвольте V 0 обозначить пространство (охватываемое семейством _{W 0,0}), в котором лежит сигнал, подлежащий анализу; затем _(W d, 1; d ≥ 1) является ортогональным базисом V 0.

Для каждого строго положительного целого числа D (W _D, 0, _(W d, 1; 1 ≤ d ≤ D)) является ортогональным базисом V 0.

Мы также знаем, что семейство функций {(_{Wj + 1,2} n), _{(Wj + 1,2} n + 1)} является ортогональным базисом пространства, _{охватываемого} Wj,n, которое разделено на два _{подпространства:} Wj + 1,2 n охватывает первое _{подпространство, а} Wj + 1,2 n + 1 второе.

Это последнее свойство дает точную интерпретацию разделения в дереве организации вейвлет, потому что все разработанные узлы имеют форму, показанную на рисунке Wavelet Packet Tree: Split и Merge.

Из этого следует, что листья каждого связанного двоичного поддерева полного дерева соответствуют ортогональному базисный исходного пространства.

Для сигнала с конечной энергией, принадлежащего V 0, любой базис пакета вейвлет обеспечит точную реконструкцию и предложит конкретный способ кодирования сигнала, используя распределение информации в поддиапазонах шкалы частот.

Выбор оптимального разложения

Основываясь на организации библиотеки вейвлет-пакетов, естественно считать декомпозиции, выданные из данного ортогонального вейвлета.

Сигнал длины N = 2^L может быть расширен α различными способами, где α - количество двоичных подтревов полного двоичного дерева глубин L. В результате, $$\alpha \ge 2^{N/2}$$ (см. [Mal98] стр. 323).

Поскольку это число может быть очень большим, и поскольку явное перечисление в целом неуправляемо, интересно найти оптимальное разложение относительно удобного критерия, вычисляемого эффективным алгоритмом. Мы ищем минимум критерия.

Функции, проверяющие свойство типа аддитивности, хорошо подходят для эффективного поиска двоичных древовидных структур и фундаментального разделения. Классические основанные на энтропии критерии соответствуют этим условиям и описывают связанные с информацией свойства для точного представления данного сигнала. Энтропия является общей концепцией во многих областях, в основном в обработке сигналов. Давайте перечислим четыре различных критерия энтропии (см. [CoiW92]); многие другие доступны и могут быть легко интегрированы (тип help wentropy). В следующих выражениях s является сигналом и (_si) являются коэффициентами s в ортонормированном базисе.

Энтропийная E должна быть аддитивной функцией стоимости, такой что E (0) = 0 и

Эти функции энтропии доступны с помощью wentropy файл.

Некоторые интересные поддеревья

Использование вейвлет требует древовидных действий и маркировки. Реализация пользовательского интерфейса построена вокруг этого фактора. Для получения дополнительной информации о технических деталях см. страницы с описанием.

Полное двоичное дерево глубин D соответствующий вейвлет дереву разложения пакетов, разработанному на уровне D, обозначено WPT.

У нас есть следующие интересные поддеревья.

Мы выводим следующие определения оптимальных разложений, относительно E критерия энтропии.

Для любого нетерминального узла мы используем следующий основной шаг, чтобы найти оптимальное поддерево относительно заданного критерия энтропии E (где Eopt обозначает оптимальное значение энтропии).

с естественным начальным условием на ссылку дереве, Eopt (t) = <reservedrangesplaceholder1> <reservedrangesplaceholder0> для каждого терминального узла t.

load noisdopp

dwtmode('per');
T = wpdec(noisdopp,5,'sym4');
plot(T)

wpc = wpcoef(T,16);
% wpc is length 64

rwpc = wprcoef(T,16);
% rwpc is length 1024
plot(noisdopp,'k'); hold on;
plot(rwpc,'b','linewidth',2);
axis tight;

Topt = besttree(T);
% plot the best tree
plot(Topt)

rsig = wprcoef(Topt,7);
% rsig is length 1024
plot(noisdopp,'k'); hold on;
plot(rsig,'b','linewidth',2);
axis tight;

Node = depo2ind(2,[3 0]);

Вейвлет 2-D структура разложения

Точно так же, как в случае разложения вейвлет, предыдущая 1-D среда может быть расширена до анализа изображений. Незначительные прямые изменения приводят к четвертичным древовидным определениям. Пример показан на следующем рисунке для глубины 2.

Вейвлет для сжатия и шумоподавления

В вейвлет пакетной среде идеи сжатия и шумоподавления идентичны идеям, разработанным в вейвлет среде. Единственной новой возможностью является более полный анализ, который обеспечивает повышенную гибкость. Одно разложение с использованием вейвлет генерирует большое количество основ. Затем можно искать лучшее представление относительно цели проекта, используя besttree с функцией энтропии.