Exponenta Banner

ode113

Решение нежестких дифференциальных уравнений — метод переменного порядка точности

свернуть все на странице

Синтаксис

[t,y] = ode113(odefun,tspan,y0)
[t,y] = ode113(odefun,tspan,y0,options)
[t,y,te,ye,ie] = ode113(odefun,tspan,y0,options)
sol = ode113(___)

Описание

пример

[t,y] = ode113(odefun,tspan,y0), где tspan = [t0 tf], интегрирует систему дифференциальных уравнений y'=f(t,y) от t0 к tf с начальными условиями y0. Каждая строка в массиве решения y соответствует значению, возвращенному в вектор-столбце t.

Весь MATLAB® Решатели ОДУ могут решить системы уравнений формы y'=f(t,y), или проблемы, которые включают большую матрицу, M(t,y)y'=f(t,y). Решатели все использование подобные синтаксисы. ode23s решатель только может решить задачи с большой матрицей, если большая матрица является постоянной. ode15s и ode23t может решить задачи с большой матрицей, которая сингулярна, известна как дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ). Задайте большую матрицу с помощью Mass опция odeset.

пример

[t,y] = ode113(odefun,tspan,y0,options) также использует настройки интегрирования, заданные options, то, которое является аргументом, создало использование odeset функция. Например, используйте AbsTol и RelTol опции, чтобы задать допуски абсолютной и относительной погрешности или Mass опция, чтобы обеспечить большую матрицу.

[t,y,te,ye,ie] = ode113(odefun,tspan,y0,options) дополнительно находит, где функции (t, y), вызвал функции события, являются нулем. В выходе, te время события, ye решение во время события и ie индекс инициированного события.

Для каждой функции события задайте, должно ли интегрирование завершить работу в нуле и имеет ли направление нулевого пересечения значение. Сделайте это путем установки 'Events' свойство к функции, такой как myEventFcn или @myEventFcn, и создание соответствующей функции: Значение, isterminal, direction] = myEventFcnTY). Для получения дополнительной информации смотрите Местоположение События ОДУ.

sol = ode113(___) возвращает структуру, которую можно использовать с deval оценивать решение в любой точке на интервале [t0 tf]. Можно использовать любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах.

Примеры

свернуть все

Скрипт Open Live Script

Простые ОДУ, которые имеют компонент единого решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принять два входных параметров (t,y), даже если одни из входных параметров не используются в функции.

Решите ОДУ

y′=2t.

Задайте временной интервал [0 5] и начальное условие y0 = 0.

tspan = [0 5];
y0 = 0;
[t,y] = ode113(@(t,y) 2*t, tspan, y0);

Постройте решение.

plot(t,y,'-o')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type line.

Открыть скрипт

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

$$y''_1 - \mu \left( 1 - y_1^2\right) y'_1+y_1=0,$$

где$\mu > 0$ скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем создания замены$y'_1 = y_2$. Получившаяся система ОДУ первого порядка

$$
\begin{array}{cl}
y'_1 &= y_2\\
y'_2 &= \mu (1-y_1^2) y_2 - y_1.\end{array}
$$

Файл функции vdp1.m представляет использование уравнения Ван дер Поля$\mu = 1$. Переменные$y_1$ и$y_2$ являются записями y(1) и y(2) из двухэлементного векторного dydt.

function dydt = vdp1(t,y)
%VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
%
%   See also ODE113, ODE23, ODE45.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Решите ОДУ с помощью ode113 функция на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Получившийся выход является вектор-столбцом моментов времени t и массив решения y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует$y_1$, и второй столбец соответствует$y_2$.

[t,y] = ode113(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

Постройте решения для$y_1$ и$y_2$ против t.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE113');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2')

Открыть скрипт

ode113 только работает с функциями, которые используют два входных параметра, t и y. Однако можно передать в дополнительных параметрах путем определения их вне функции и передачи их в том, когда вы задаете указатель на функцию.

Решите ОДУ

$$y'' = \frac{A}{B} t y.$$

При перезаписи уравнения, когда уступает система первого порядка

$$\begin{array}{cl} y'_1 &= y_2\\ y'_2 &= \frac{A}{B} t y_1.
\end{array}$$

odefcn.m представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметра: tYA, и B.

function dydt = odefcn(t,y,A,B)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);

Решите ОДУ с помощью ode113. Задайте указатель на функцию, таким образом, что он передает в предопределенных значениях для A и B к odefcn.

A = 1;
B = 2;
tspan = [0 5];
y0 = [0 0.01];
[t,y] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);

Постройте график результатов.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')

Открыть скрипт

По сравнению с ode45, ode113, ode78, и ode89 решатели лучше в решении задач со строгими ошибочными допусками. Общая ситуация, где ode113 выделяется находится в орбитальных проблемах динамики, где кривая решения является гладкой и требует высокой точности.

Проблема 2D тела считает две взаимодействующих массы m1 и m2 перемещения по кругу в общей плоскости. В этом примере одна из масс значительно больше, чем другой. С тяжелым телом в начале координат уравнения движения

$$\begin{array}{cl} x'' &= -x/r^3\\ y'' &= -y/r^3,\end{array}$$

где

$$r = \sqrt{x^2+y^2}.$$

Чтобы решить задачу, сначала преобразуйте в систему четырех ОДУ первого порядка с помощью замен

$$\begin{array}{cl} y_1 &= x\\ y_2 &= x'\\ y_3 &= y\\ y_4 &=
y'.\end{array}$$

Замены создают систему первого порядка

$$\begin{array}{cl} y'_1 &= y_2\\ y'_2 &= -y_1/r^3\\ y'_3 &= y_4 \\ y'_4
&= -y_3/r^3.\end{array}$$

Функциональный twobodyode кодирует систему уравнений для проблемы 2D тела.

function dy = twobodyode(t,y)
% Two body problem with one mass much larger than the other.
r = sqrt(y(1)^2 + y(3)^2);
dy = [y(2); 
    -y(1)/r^3;
    y(4);
    -y(3)/r^3];

Сохраните twobodyode.m в вашей рабочей директории затем решите ОДУ с помощью ode113. Задайте строгие ошибочные допуски 1e-13 для RelTol и 1e-14 для AbsTol.

opts = odeset('Reltol',1e-13,'AbsTol',1e-14,'Stats','on');
tspan = [0 10*pi];
y0 = [2 0 0 0.5];

[t,y] = ode113(@twobodyode, tspan, y0, opts);
plot(t,y)
legend('x','x''','y','y''','Location','SouthEast')
title('Position and Velocity Components')

924 successful steps
4 failed attempts
1853 function evaluations


figure
plot(y(:,1),y(:,3),'-o',0,0,'ro')
axis equal
title('Orbit of Smaller Mass')

По сравнению с ode45, ode113 решатель может получить решение быстрее и с меньшим количеством вычислений функции.

Входные параметры

свернуть все

Функции, чтобы решить в виде указателя на функцию, который задает функции, которые будут интегрированы.

Функциональный dydt = odefun(t,y), для скалярного t и вектор-столбец y, должен возвратить вектор-столбец dydt из типа данных single или double это соответствует f(t,y)odefun должен принять оба входных параметра t и y, даже если один из аргументов не используется в функции.

Например, чтобы решить y'=5y−3, используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = 5*y-3;
end

Для системы уравнений, выхода odefun вектор. Каждым элементом в векторе является решение одного уравнения. Например, чтобы решить

y'1=y1+2y2y'2=3y1+2y2

используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(1)+2*y(2);
dydt(2) = 3*y(1)+2*y(2);
end

Для получения информации о том, как предоставить дополнительные параметры функции odefun, смотрите Функции Параметризации.

Пример: @myFcn

Типы данных: function_handle

Интервал интегрирования в виде вектора. Как минимум, tspan должен быть двухэлементный векторный [t0 tf] определение начальных и итоговых времен. Получить решения в конкретные моменты времени между t0 и tf, используйте более длинный вектор из формы [t0,t1,t2,...,tf]. Элементы в tspan должен все увеличиваться или все уменьшение.

Решатель налагает начальные условия, данные y0 в начальное время tspan(1), и затем объединяется от tspan(1) к tspan(end):

  • Если tspan имеет два элемента [t0 tf], затем решатель возвращает решение, оцененное в каждом внутреннем этапе интеграции в интервале.

  • Если tspan имеет больше чем два элемента [t0,t1,t2,...,tf], затем решатель возвращает решение, оцененное в данных точках. Однако решатель не продвигается точно в каждую точку, заданную в tspan. Вместо этого решатель использует свои собственные внутренние шаги, чтобы вычислить решение, и затем оценивает решение в требуемых точках в tspan. Решения, произведенные в заданных точках, имеют тот же порядок точности как решения, вычисленные на каждом внутреннем шаге.

    Определение нескольких промежуточных точек оказывает мало влияния на КПД расчета, но может влиять на управление памятью для больших систем.

Значения tspan используются решателем, чтобы вычислить подходящие значения для InitialStep и MaxStep:

  • Если tspan содержит несколько промежуточных точек [t0,t1,t2,...,tf], затем заданные точки дают индикацию относительно шкалы для проблемы, которая может влиять на значение InitialStep используемый решателем. Поэтому решение, полученное решателем, может отличаться в зависимости от того, задаете ли вы tspan как двухэлементный вектор или как вектор с промежуточными точками.

  • Начальные и окончательные значения в tspan используются, чтобы вычислить максимальный размер шага MaxStep. Поэтому изменяя начальные или окончательные значения в tspan может заставить решатель использовать различную последовательность шага, которая может изменить решение.

Пример: [1 10]

Пример: [1 3 5 7 9 10]

Типы данных: single | double

Начальные условия в виде вектора. y0 должна быть та же длина как векторный выход odefun, так, чтобы y0 содержит начальное условие для каждого уравнения, определенного в odefun.

Типы данных: single | double

Структура опции в виде массива структур. Используйте odeset функция, чтобы создать или изменить options структура. См. Сводные данные Опций ОДУ для списка опций, совместимых с каждым решателем.

Пример: options = odeset('RelTol',1e-5,'Stats','on','OutputFcn',@odeplot) задает допуск относительной погрешности 1e-5, включает отображение статистики решателя и задает выходную функцию @odeplot построить решение, когда это вычисляется.

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

Точки оценки, возвращенные как вектор-столбец.

  • Если tspan содержит два элемента [t0 tf], затем t содержит внутренние точки оценки, используемые для выполнения интегрирования.

  • Если tspan содержит больше чем два элемента, затем t совпадает с tspan.

Решения, возвращенные как массив. Каждая строка в y соответствует решению в значении, возвращенном в соответствующей строке t.

Время событий, возвращенных как вектор-столбец. Времена события в te соответствуйте решениям, возвращенным в ye, и ie задает, который имело место событие.

Решение во время событий, возвращенных как массив. Времена события в te соответствуйте решениям, возвращенным в ye, и ie задает, который имело место событие.

Индекс инициированной функции события, возвращенной как вектор-столбец. Времена события в te соответствуйте решениям, возвращенным в ye, и ie задает, который имело место событие.

Структура для оценки, возвращенной как массив структур. Используйте эту структуру с deval функция, чтобы оценить решение в любой точке в интервале [t0 tf]. sol массив структур всегда включает эти поля:

Поле структурыОписание

sol.x

Вектор строка с шагом, выбранным решателем.

sol.y

Решения. Каждый столбец sol.y(:,i) содержит решение во время sol.x(i).

sol.solver

Имя решателя.

Кроме того, если вы задаете Events опция odeset и события обнаруживаются, затем sol также включает эти поля:

Поле структурыОписание

sol.xe

Точки, когда события имели место. sol.xe(end) содержит точное место терминального события, если таковые имеются.

sol.ye

Решения, которые соответствуют событиям в sol.xe.

sol.ie

Индексы в вектор, возвращенный функцией, заданы в Events опция. Значения указывают, какое событие решатель обнаружил.

Алгоритмы

ode113 переменный шаг, переменный порядок (VSVO) Адамс-Бэшфорт-Маултон PECE решатель порядков 1 - 13. Самый высокий используемый порядок, кажется, 12, однако, формула порядка 13 используется, чтобы составить ошибочное мнение, и функция делает локальную экстраполяцию, чтобы усовершенствовать интегрирование в порядке 13.

ode113 может быть более эффективным, чем ode45 в строгих допусках или если функция ОДУ является особенно дорогой, чтобы оценить. ode113 многоступенчатый решатель — ему обычно нужны решения в нескольких предыдущих моментах времени, чтобы вычислить текущее решение [1], [2].

Ссылки

[1] Шемпин, L. F. и М. К. Гордон, компьютерное решение Обыкновенных дифференциальных уравнений: задача с начальными значениями, В. Х. Фримен, Сан-Франциско, 1975.

[2] Шемпин, L. F. и М. В. Рейчелт, “Пакет ODE MATLAB”, SIAM Journal на Научных вычислениях, Издании 18, 1997, стр 1–22.

Смотрите также

| | | | | | |

Темы

Представлено до R2006a

Документация MATLAB

Поддержка