ode23

Решение нежестких дифференциальных уравнений — метод низкого порядка точности

Синтаксис

[t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0)

[t,y] =
ode23(odefun,tspan,y0,options)

[t,y,te,ye,ie]
= ode23(odefun,tspan,y0,options)

sol = ode23(___)

Описание

пример

[t,y] = ode23(odefun,tspan,y0), где tspan = [t0 tf], интегрирует систему дифференциальных уравнений $y' = f (t, y)$ от t0 к tf с начальными условиями y0. Каждая строка в массиве решения y соответствует значению, возвращенному в вектор-столбце t.

Весь MATLAB^® Решатели ОДУ могут решить системы уравнений формы $y' = f (t, y)$ , или проблемы, которые включают большую матрицу, $M (t, y) y' = f (t, y)$ . Решатели все использование подобные синтаксисы. ode23s решатель только может решить задачи с большой матрицей, если большая матрица является постоянной. ode15s и ode23t может решить задачи с большой матрицей, которая сингулярна, известна как дифференциально-алгебраические уравнения (ДАУ). Задайте большую матрицу с помощью Mass опция odeset.

пример

[t,y] = ode23(odefun,tspan,y0,options) также использует настройки интегрирования, заданные options, то, которое является аргументом, создало использование odeset функция. Например, используйте AbsTol и RelTol опции, чтобы задать допуски абсолютной и относительной погрешности или Mass опция, чтобы обеспечить большую матрицу.

[t,y,te,ye,ie] = ode23(odefun,tspan,y0,options) дополнительно находит, где функции (t, y), вызвал функции события, являются нулем. В выходе, te время события, ye решение во время события и ie индекс инициированного события.

Для каждой функции события задайте, должно ли интегрирование завершить работу в нуле и имеет ли направление нулевого пересечения значение. Сделайте это путем установки 'Events' свойство к функции, такой как myEventFcn или @myEventFcn, и создание соответствующей функции: Значение, isterminal, direction] = myEventFcnTY). Для получения дополнительной информации смотрите Местоположение События ОДУ.

sol = ode23(___) возвращает структуру, которую можно использовать с deval оценивать решение в любой точке на интервале [t0 tf]. Можно использовать любую из комбинаций входных аргументов в предыдущих синтаксисах.

Примеры

свернуть все

ОДУ с компонентом единого решения

Скрипт Open Live Script

Простые ОДУ, которые имеют компонент единого решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принять два входных параметров (t,y), даже если одни из входных параметров не используются в функции.

Решите ОДУ

$y^{'} = 2 t .$

Задайте временной интервал [0 5] и начальное условие y0 = 0.

tspan = [0 5];
y0 = 0;
[t,y] = ode23(@(t,y) 2*t, tspan, y0);

Постройте решение.

plot(t,y,'-o')

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type line.

Решение нестандартных уравнений

Открыть скрипт

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

$y''_1 - \mu \left( 1 - y_1^2\right) y'_1+y_1=0,$

где $\mu > 0$ скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем создания замены $y'_1 = y_2$ . Получившаяся система ОДУ первого порядка

$
\begin{array}{cl}
y'_1 &= y_2\\
y'_2 &= \mu (1-y_1^2) y_2 - y_1.\end{array}
$

Файл функции vdp1.m представляет использование уравнения Ван дер Поля $\mu = 1$ . Переменные $y_1$ и $y_2$ являются записями y(1) и y(2) из двухэлементного векторного dydt.

function dydt = vdp1(t,y)
%VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
%
%   See also ODE113, ODE23, ODE45.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Решите ОДУ с помощью ode23 функция на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Получившийся выход является вектор-столбцом моментов времени t и массив решения y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует $y_1$ , и второй столбец соответствует $y_2$ .

[t,y] = ode23(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

Постройте решения для $y_1$ и $y_2$ против t.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE23');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2')

Передача дополнительных параметров к функции ОДУ

Открыть скрипт

ode23 только работает с функциями, которые используют два входных параметра, t и y. Однако можно передать в дополнительных параметрах путем определения их вне функции и передачи их в том, когда вы задаете указатель на функцию.

Решите ОДУ

$y'' = \frac{A}{B} t y.$

При перезаписи уравнения, когда уступает система первого порядка

$\begin{array}{cl} y'_1 &= y_2\\ y'_2 &= \frac{A}{B} t y_1.
\end{array}$

odefcn.m представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметра: tYA, и B.

function dydt = odefcn(t,y,A,B)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(2);
dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);

Решите ОДУ с помощью ode23. Задайте указатель на функцию, таким образом, что он передает в предопределенных значениях для A и B к odefcn.

A = 1;
B = 2;
tspan = [0 5];
y0 = [0 0.01];
[t,y] = ode23(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);

Постройте график результатов.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')

ОДУ с порогом грубой ошибки

Скрипт Open Live Script

По сравнению с ode45, ode23 решатель лучше в решении задач с допусками грубой ошибки.

Сравните эффективность ode45 и ode23 путем решения умеренно жесткого ОДУ

$y^{'} = - λ y$

для $λ = 1000$ . Это ОДУ является тестовым уравнением, которое становится все больше жестким как $λ$ увеличения. Используйте odeset включать отображение статистики решателя.

opts = odeset('Stats','on');
tspan = [0 2];
y0 = 1;
lambda = 1e3;
subplot(1,2,1)
tic, ode45(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts), toc

615 successful steps
35 failed attempts
3901 function evaluations
Elapsed time is 1.923100 seconds.

title('ode45')
subplot(1,2,2)
tic, ode23(@(t,y) -lambda*y, tspan, y0, opts), toc

822 successful steps
2 failed attempts
2473 function evaluations
Elapsed time is 0.997932 seconds.

title('ode23')

Figure contains 2 axes objects. Axes object 1 with title ode45 contains 2 objects of type line. Axes object 2 with title ode23 contains 2 objects of type line.

Для этой умеренно жесткой проблемы, ode23 выполняется немного быстрее, чем ode45 и также имеет меньше не пройдено шагов. Размеры шага взяты ode45 и ode23 поскольку эта проблема ограничивается требованиями устойчивости уравнения, а не точностью. Начиная с шагов, сделанных ode23 являются более дешевыми, чем с ode45, ode23 решатель выполняется более быстрый даже при том, что он делает больше шагов.

Входные параметры

свернуть все

`odefun` — Функции, чтобы решить
указатель на функцию

Функции, чтобы решить в виде указателя на функцию, который задает функции, которые будут интегрированы.

Функциональный dydt = odefun(t,y), для скалярного t и вектор-столбец y, должен возвратить вектор-столбец dydt из типа данных single или double это соответствует $f (t, y)$ odefun должен принять оба входных параметра t и y, даже если один из аргументов не используется в функции.

Например, чтобы решить $y' = 5 y - 3$ , используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = 5*y-3;
end

Для системы уравнений, выхода odefun вектор. Каждым элементом в векторе является решение одного уравнения. Например, чтобы решить

$\begin{array}{l} y'_{1} = y_{1} + 2 y_{2} \\ y'_{2} = 3 y_{1} + 2 y_{2} \end{array}$

используйте функцию:

function dydt = odefun(t,y)
dydt = zeros(2,1);
dydt(1) = y(1)+2*y(2);
dydt(2) = 3*y(1)+2*y(2);
end

Для получения информации о том, как предоставить дополнительные параметры функции odefun, смотрите Функции Параметризации.

Пример: @myFcn

Типы данных: function_handle

`tspan` — Интервал интегрирования
вектор

Интервал интегрирования в виде вектора. Как минимум, tspan должен быть двухэлементный векторный [t0 tf] определение начальных и итоговых времен. Получить решения в конкретные моменты времени между t0 и tf, используйте более длинный вектор из формы [t0,t1,t2,...,tf]. Элементы в tspan должен все увеличиваться или все уменьшение.

Решатель налагает начальные условия, данные y0 в начальное время tspan(1), и затем объединяется от tspan(1) к tspan(end):

Если tspan имеет два элемента [t0 tf], затем решатель возвращает решение, оцененное в каждом внутреннем этапе интеграции в интервале.
Если tspan имеет больше чем два элемента [t0,t1,t2,...,tf], затем решатель возвращает решение, оцененное в данных точках. Однако решатель не продвигается точно в каждую точку, заданную в tspan. Вместо этого решатель использует свои собственные внутренние шаги, чтобы вычислить решение, и затем оценивает решение в требуемых точках в tspan. Решения, произведенные в заданных точках, имеют тот же порядок точности как решения, вычисленные на каждом внутреннем шаге.
Определение нескольких промежуточных точек оказывает мало влияния на КПД расчета, но может влиять на управление памятью для больших систем.

Значения tspan используются решателем, чтобы вычислить подходящие значения для InitialStep и MaxStep:

Если tspan содержит несколько промежуточных точек [t0,t1,t2,...,tf], затем заданные точки дают индикацию относительно шкалы для проблемы, которая может влиять на значение InitialStep используемый решателем. Поэтому решение, полученное решателем, может отличаться в зависимости от того, задаете ли вы tspan как двухэлементный вектор или как вектор с промежуточными точками.
Начальные и окончательные значения в tspan используются, чтобы вычислить максимальный размер шага MaxStep. Поэтому изменяя начальные или окончательные значения в tspan может заставить решатель использовать различную последовательность шага, которая может изменить решение.

Пример: [1 10]

Пример: [1 3 5 7 9 10]

Типы данных: single | double

`y0` — Начальные условия
вектор

Начальные условия в виде вектора. y0 должна быть та же длина как векторный выход odefun, так, чтобы y0 содержит начальное условие для каждого уравнения, определенного в odefun.

Типы данных: single | double

`options` — Структура опции
массив структур

Структура опции в виде массива структур. Используйте odeset функция, чтобы создать или изменить options структура. См. Сводные данные Опций ОДУ для списка опций, совместимых с каждым решателем.

Пример: options = odeset('RelTol',1e-5,'Stats','on','OutputFcn',@odeplot) задает допуск относительной погрешности 1e-5, включает отображение статистики решателя и задает выходную функцию @odeplot построить решение, когда это вычисляется.

Типы данных: struct

Выходные аргументы

свернуть все

`t` — Точки оценки
вектор-столбец

Точки оценки, возвращенные как вектор-столбец.

Если tspan содержит два элемента [t0 tf], затем t содержит внутренние точки оценки, используемые для выполнения интегрирования.
Если tspan содержит больше чем два элемента, затем t совпадает с tspan.

`y` — Решения
массив

Решения, возвращенные как массив. Каждая строка в y соответствует решению в значении, возвращенном в соответствующей строке t.

`te` — Время событий
вектор-столбец

Время событий, возвращенных как вектор-столбец. Времена события в te соответствуйте решениям, возвращенным в ye, и ie задает, который имело место событие.

`ye` — Решение во время событий
массив

Решение во время событий, возвращенных как массив. Времена события в te соответствуйте решениям, возвращенным в ye, и ie задает, который имело место событие.

`ie` — Индекс инициированной функции события
вектор-столбец

Индекс инициированной функции события, возвращенной как вектор-столбец. Времена события в te соответствуйте решениям, возвращенным в ye, и ie задает, который имело место событие.

`sol` — Структура для оценки
массив структур

Структура для оценки, возвращенной как массив структур. Используйте эту структуру с deval функция, чтобы оценить решение в любой точке в интервале [t0 tf]. sol массив структур всегда включает эти поля:

Поле структуры	Описание
`sol.x`	Вектор строка с шагом, выбранным решателем.
`sol.y`	Решения. Каждый столбец `sol.y(:,i)` содержит решение во время `sol.x(i)`.
`sol.solver`	Имя решателя.

Кроме того, если вы задаете Events опция odeset и события обнаруживаются, затем sol также включает эти поля:

Поле структуры	Описание
`sol.xe`	Точки, когда события имели место. `sol.xe(end)` содержит точное место терминального события, если таковые имеются.
`sol.ye`	Решения, которые соответствуют событиям в `sol.xe`.
`sol.ie`	Индексы в вектор, возвращенный функцией, заданы в `Events` опция. Значения указывают, какое событие решатель обнаружил.

Алгоритмы

ode23 реализация явного Рунге-Кутта (2,3) пара Богацков и Шемпина. Это может быть более эффективно, чем ode45 в грубых допусках и в присутствии умеренной жесткости. ode23 одношаговый решатель [1], [2].

Ссылки

[1] Богацки, P. и Л. Ф. Шемпин, “3 (2) пара формул Рунге-Кутта”, Прикладная Математика. Буквы, Издание 2, 1989, стр 321–325.

[2] Шемпин, L. F. и М. В. Рейчелт, “Пакет ODE MATLAB”, SIAM Journal на Научных вычислениях, Издании 18, 1997, стр 1–22.

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Указания и ограничения по применению:

Все odeset аргументы опции должны быть постоянными.
Генерация кода не поддерживает постоянную большую матрицу в структуре опций. Обеспечьте большую матрицу как функцию.
Необходимо предоставить, по крайней мере, этим двум выходным аргументам T и Y.
Входные типы должны быть гомогенными — все удваиваются или весь сингл.
Измеряющая переменную поддержка должна быть включена. Генерация кода требует динамического выделения памяти когда tspan имеет два элемента, или вы используете функции события.

Темы

Представлено до R2006a

Документация

ode23

Синтаксис

Описание

Примеры

ОДУ с компонентом единого решения

Решение нестандартных уравнений

Передача дополнительных параметров к функции ОДУ

ОДУ с порогом грубой ошибки

Входные параметры

`odefun` — Функции, чтобы решить
указатель на функцию

`tspan` — Интервал интегрирования
вектор

`y0` — Начальные условия
вектор

`options` — Структура опции
массив структур

Выходные аргументы

`t` — Точки оценки
вектор-столбец

`y` — Решения
массив

`te` — Время событий
вектор-столбец

`ye` — Решение во время событий
массив

`ie` — Индекс инициированной функции события
вектор-столбец

`sol` — Структура для оценки
массив структур

Алгоритмы

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

Документация

ode23

Синтаксис

Описание

Примеры

ОДУ с компонентом единого решения

Решение нестандартных уравнений

Передача дополнительных параметров к функции ОДУ

ОДУ с порогом грубой ошибки

Входные параметры

odefun — Функции, чтобы решить указатель на функцию

tspan — Интервал интегрирования вектор

y0 — Начальные условия вектор

options — Структура опции массив структур

Выходные аргументы

t — Точки оценки вектор-столбец

y — Решения массив

te — Время событий вектор-столбец

ye — Решение во время событий массив

ie — Индекс инициированной функции события вектор-столбец

sol — Структура для оценки массив структур

Алгоритмы

Ссылки

Расширенные возможности

Генерация кода C/C++ Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.

Смотрите также

Темы

Документация MATLAB

Поддержка

`odefun` — Функции, чтобы решить
указатель на функцию

`tspan` — Интервал интегрирования
вектор

`y0` — Начальные условия
вектор

`options` — Структура опции
массив структур

`t` — Точки оценки
вектор-столбец

`y` — Решения
массив

`te` — Время событий
вектор-столбец

`ye` — Решение во время событий
массив

`ie` — Индекс инициированной функции события
вектор-столбец

`sol` — Структура для оценки
массив структур

Генерация кода C/C++
Генерация кода C и C++ с помощью MATLAB® Coder™.