Простые ОДУ, которые имеют компонент единого решения, могут быть заданы как анонимная функция в вызове решателя. Анонимная функция должна принять два входных параметров (t,y), даже если одни из входных параметров не используются в функции.

Решите ОДУ

Задайте временной интервал [0 5] и начальное условие y0 = 0.

tspan = [0 5];
y0 = 0;
[t,y] = ode45(@(t,y) 2*t, tspan, y0);

Постройте решение.

plot(t,y,'-o')

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

где $$\mu >0$$ скалярный параметр. Перепишите это уравнение как систему ОДУ первого порядка путем создания замены $$y_1^{\prime }=y_2$$. Получившаяся система ОДУ первого порядка

Файл функции vdp1.m представляет использование уравнения Ван дер Поля $$\mu =1$$. Переменные $$y_1$$ и $$y_2$$ записи y(1) и y(2) из двухэлементного векторного dydt.

function dydt = vdp1(t,y)
%VDP1  Evaluate the van der Pol ODEs for mu = 1
%
%   See also ODE113, ODE23, ODE45.

%   Jacek Kierzenka and Lawrence F. Shampine
%   Copyright 1984-2014 The MathWorks, Inc.

dydt = [y(2); (1-y(1)^2)*y(2)-y(1)];

Решите ОДУ с помощью ode45 функция на временном интервале [0 20] с начальными значениями [2 0]. Получившийся выход является вектор-столбцом моментов времени t и массив решения y. Каждая строка в y соответствует времени, возвращенному в соответствующей строке t. Первый столбец y соответствует $$y_1$$, и второй столбец соответствует $$y_2$$.

[t,y] = ode45(@vdp1,[0 20],[2; 0]);

Постройте решения для $$y_1$$ и $$y_2$$ против t.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-o')
title('Solution of van der Pol Equation (\mu = 1) with ODE45');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
legend('y_1','y_2')

ode45 работает только с функциями, которые используют два входных параметра, t и y. Однако можно передать дополнительные параметры путем определения их вне функции и передачи их в том, когда вы задаете указатель на функцию.

Решите ОДУ

При перезаписи уравнения, когда уступает система первого порядка

odefcn, локальная функция, включенная в конце этого примера, представляет эту систему уравнений как функцию, которая принимает четыре входных параметра: tYA, и B.

function dydt = odefcn(t,y,A,B)
  dydt = zeros(2,1);
  dydt(1) = y(2);
  dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);
end

Решить ОДУ используя решатель ode45. Задайте указатель на функцию так, чтобы он передал предопределенные значения для A и B к odefcn.

A = 1;
B = 2;
tspan = [0 5];
y0 = [0 0.01];
[t,y] = ode45(@(t,y) odefcn(t,y,A,B), tspan, y0);

Постройте график результатов.

plot(t,y(:,1),'-o',t,y(:,2),'-.')

function dydt = odefcn(t,y,A,B)
  dydt = zeros(2,1);
  dydt(1) = y(2);
  dydt(2) = (A/B)*t.*y(1);
end

Для простых систем ОДУ одним уравнением можно задать y0 как вектор, содержащий несколько начальных условий. Этот метод создает систему независимых уравнений посредством скалярного расширения, один для каждого начального значения и ode45 решает систему, чтобы привести к результатам для каждого начального значения.

Создайте анонимную функцию, чтобы представлять уравнение $\mathit{f}\left(\mathit{t},\mathit{y}\right)=-2\mathit{y}+2\cos \left(\mathit{t}\right)\sin \left(2\mathit{t}\right)$. Функция должна принять два входных параметров для t и y.

yprime = @(t,y) -2*y + 2*cos(t).*sin(2*t);

Создайте вектор из различных начальных условий в области значений $\left[-5,5\right]$.

y0 = -5:5; 

Решите уравнение для каждого начального условия по временному интервалу $\left[0,3\right]$ использование ode45.

tspan = [0 3];
[t,y] = ode45(yprime,tspan,y0);

Постройте график результатов.

plot(t,y)
grid on
xlabel('t')
ylabel('y')
title('Solutions of y'' = -2y + 2 cos(t) sin(2t), y(0) = -5,-4,...,4,5','interpreter','latex')

Этот метод полезен для решения простых ОДУ с несколькими начальными условиями. Однако метод также имеет некоторые компромиссы:

Уравнение Ван дер Поля является ОДУ второго порядка

Решите уравнение Ван дер Поля с $$\mu =1$$ использование ode45. Функциональный vdp1.m поставки с MATLAB® и кодируют уравнения. Задайте один выход, чтобы возвратить структуру, содержащую информацию о решении, таком как точки оценки и решатель.

tspan = [0 20];
y0 = [2 0];
sol = ode45(@vdp1,tspan,y0)

sol = struct with fields:
     solver: 'ode45'
    extdata: [1x1 struct]
          x: [0 1.0048e-04 6.0285e-04 0.0031 0.0157 0.0785 0.2844 0.5407 ... ]
          y: [2x60 double]
      stats: [1x1 struct]
      idata: [1x1 struct]

Используйте linspace сгенерировать 250 точек в интервале [0 20]. Оцените решение в этих точках с помощью deval.

x = linspace(0,20,250);
y = deval(sol,x);

Постройте первый компонент решения.

plot(x,y(1,:))

Расширьте решение $$t_f=35$$ использование odextend и добавьте результат в исходный график.

sol_new = odextend(sol,@vdp1,35);
x = linspace(20,35,350);
y = deval(sol_new,x);
hold on
plot(x,y(1,:),'r')