Одномерным t y временных рядов является integrated, если это может быть сделано стационарным с помощью дифференцирования. Количество дифференцирований, требуемое достигнуть стационарности, называется order of integration. Временные ряды порядка d обозначаются I (d). Стационарные ряды обозначаются I (0).
n - размерные временные ряды y, t является cointegrated, если некоторая линейная комбинация β 1y1t + … + β n y nt переменных компонента является стационарным. Комбинация называется cointegrating relation и коэффициентами, β = (β 1, …, β n) ′ формирует cointegrating vector. Коинтеграция обычно сопоставляется с системами переменных I (1), поскольку любые переменные I (0) тривиально cointegrated с другими переменными с помощью вектора с коэффициентом 1 на I (0) компонент и коэффициент 0 на других компонентах. Идея коинтеграции может быть обобщена к системам переменных высшего порядка, если линейная комбинация уменьшает их общий порядок интегрирования.
Коинтеграцию отличают от традиционного экономического равновесия, в котором равновесие сил производит стабильные долгосрочные уровни в переменных. Переменные Cointegrated обычно нестабильны на своих уровнях, но показывают среднее возвращение “распространения” (обобщенный cointegrating отношением), которые обеспечивают переменные, чтобы переместить общие стохастические тренды. Коинтеграцию также отличают от краткосрочных синхроний положительной ковариации, которая только измеряет тенденцию двинуться вместе на каждом временном шаге. Модификация модели VAR, чтобы включать cointegrated переменные балансирует краткосрочную динамику системы с долгосрочными тенденциями.
Тенденция cointegrated переменных вернуться к общим стохастическим трендам выражается с точки зрения error-correction. Если y, t является n - размерные временные ряды и β, является cointegrating вектором, то комбинация β ′yt−1 измеряет “ошибку” в данных (отклонение от стационарного среднего значения) во время t −1. Уровень, на котором ряд, “правильный” от нарушения равновесия, представлен векторным α adjustment speeds, которые включены в модель VAR во время t через мультипликативный error-correction term αβ ′yt−1.
В целом может быть несколько cointegrating отношений среди переменных в y t, в этом случае векторы, α и β становятся матрицами A и B с каждым столбцом B, представляющего определенное отношение. Срок исправления ошибок становится AB ′yt−1 = C y t −1. Добавление срока исправления ошибок к модели VAR в различиях производит vector error-correction (VEC) model:
Если переменные в y, t является весь I (1), условия включающие различия, являются стационарными, оставляя только срок исправления ошибок, чтобы ввести долгосрочные стохастические тренды. Ранг the impact matrix C определяет долгосрочную динамику. Если C имеет полный ранг, система y, t является стационарным на уровнях. Если C имеет ранг 0, срок исправления ошибок исчезает, и система является стационарной в различиях. Эти два экстремальных значения соответствуют стандартному выбору в одномерном моделировании. В многомерном случае, однако, существует промежуточный выбор, соответствуя reduced ranks между 0 и n. Если C ограничивается уменьшаемым рангом r, то факторы C в (групповой) n-by-r матрицы A и B с C = AB ′, и существует r независимые cointegrating отношения среди переменных в y t.
Путем сбора различий модель VEC(q) может быть преобразована в модель VAR (p) на уровнях с p = q +1:
Преобразование между VEC (q) и VAR (p) представления n - размерная система выполняется функциями vec2var и var2vec с помощью формул:
Из-за эквивалентности этих двух представлений модель VEC с коэффициентом исправления ошибок уменьшаемого ранга часто называется cointegrated VAR model. В частности, cointegrated модели VAR может быть моделирован и предсказывает использующие стандартные методы VAR.
cointegrated модель VAR часто увеличивается с внешними условиями D x:
Переменные в x могут включать сезонные или интервенционистские макеты или условия, представляющие детерминированные тренды на уровнях данных. Поскольку модель выражается в различиях ∆yt, постоянные условия в x представляют детерминированные линейные тренды на уровнях y, t и линейные члены представляют детерминированные квадратичные тренды. Напротив, постоянные и линейные члены в cointegrated ряду имеют обычную интерпретацию как прерывания и линейные тренды, несмотря на то, что ограничено стационарной переменной, сформированной cointegrating отношением. Йохансен [67] рассматривает пять случаев для AB´yt−1 + D x, которые покрывают большинство наблюдаемых поведений в макроэкономических системах:
| Значение | Форма C y t −1 + D X |
|---|---|
'H2' | AB ´yt−1. Нет никаких прерываний или трендов в cointegrated ряду и нет никаких детерминированных трендов на уровнях данных. |
'H1*' | A (B 'yt−1+c0). Существуют прерывания в cointegrated ряду и нет никаких детерминированных трендов на уровнях данных. |
'H1' | A (B 'yt−1+c0) +c1. Существуют прерывания в cointegrated ряду и существуют детерминированные линейные тренды на уровнях данных. Это - значение по умолчанию. |
'H*' | A (B 'yt−1+c0+d0t) +c1. Существуют прерывания и линейные тренды в cointegrated ряду и существуют детерминированные линейные тренды на уровнях данных. |
'H' | A (B 'yt−1+c0+d0t) +c1+d1t. Существуют прерывания и линейные тренды в cointegrated ряду и существуют детерминированные квадратичные тренды на уровнях данных. |
В Econometrics Toolbox™ детерминированные условия за пределами cointegrated ряда, c 1 и d 1, идентифицированы путем проектирования коэффициентов постоянной и линейной регрессии, соответственно, на ортогональное дополнение A.
Интегрирование и коинтеграция обе существующих возможности для преобразования переменных к стационарности. Интегрированные переменные, идентифицированные модульным корнем и тестами стационарности, могут быть differenced к стационарности. Переменные Cointegrated, идентифицированные тестами коинтеграции, могут быть объединены, чтобы сформировать новые, стационарные переменные. На практике нужно определить, приводят ли такие преобразования к более надежным моделям с переменными, которые сохраняют экономическую интерпретацию.
Обобщение из одномерного случая может вводить в заблуждение. В стандартном подходе Поля-Jenkins [15] к одномерному моделированию ARMA стационарность является существенным предположением. Без него базовая теория распределения и методы оценки становятся недопустимыми. В соответствующем многомерном случае, где модель VAR неограниченна и нет никакой коинтеграции, выбор является менее прямым. Если цель анализа VAR состоит в том, чтобы определить отношения среди исходных переменных, дифференцирование теряет информацию. В этом контексте Симс, Сток и Уотсон [107] отговаривают от дифференцирования, даже в присутствии модульных корней. Если, однако, цель состоит в том, чтобы моделировать базовый генерирующий данные процесс, интегрированные данные об уровнях могут вызвать много проблем. Образцовые тесты спецификации теряют степень из-за увеличения количества предполагаемых параметров. Другие тесты, такие как те для причинной связи Грейнджера, больше не имеют стандартные дистрибутивы и становятся недопустимыми. Наконец, прогнозы по долгосрочным горизонтам страдают от несостоятельных оценок, должных посылать импульсы ответы, которые не затухают. Enders [36] обсуждает стратегии моделирования.
В присутствии коинтеграции простое дифференцирование является моделью misspecification, поскольку долгосрочная информация появляется на уровнях. К счастью, cointegrated модель VAR предоставляет промежуточные возможности, между различиями и уровнями, путем смешивания их вместе с cointegrating отношениями. Поскольку все условия cointegrated модели VAR являются стационарными, проблемы с модульными корнями устраняются.
Моделирование коинтеграции часто предлагается, независимо, экономической теорией. Примеры переменных, которые обычно описываются с cointegrated моделью VAR, включают:
Денежный запас, процентные ставки, поступает, и цены (общие модели спроса на деньги)
Инвестиции, поступившие, и потребление (общие модели производительности)
Потребление и долгосрочное доходное ожидание (Гипотеза Постоянного дохода)
Обменные курсы и цены на внешних и внутренних рынках (Паритет покупательной силы валют)
Пятно и прямые курсы обмена валюты и процентные ставки (Охваченная Четность Процентной ставки)
Процентные ставки различных сроков платежа (Гипотеза Ожиданий Структуры Термина)
Процентные ставки и инфляция (уравнение Фишера)
Поскольку эти теории описывают долгосрочное равновесие среди переменных, точная оценка cointegrated моделей может потребовать больших сумм низкочастотных (ежегодный, ежеквартально, ежемесячно) макроэкономические данные. В результате эти модели должны рассмотреть возможность структурных изменений в базовом генерирующем данные процессе в демонстрационный период.
Финансовые данные, в отличие от этого, часто доступны в высоких частотах (часы, минуты, микросекунды). Возвращающиеся среднее значение распространения cointegrated финансового ряда могут быть смоделированы и исследованы на арбитражные возможности. Например, Закон Одной Цены предлагает коинтеграцию среди следующих групп переменных:
Цены активов с идентичными потоками наличности
Цены активов и дивидендов
Пятно, будущее и форвардные цены
Разница между курсами продавца и покупателя