Векторная авторегрессия (VAR) модели

Типы многомерных моделей временных рядов

Основные многомерные модели временных рядов на основе линейных авторегрессивных моделей скользящего среднего значения:

Имя модели	Сокращение	Уравнение
Векторная авторегрессия	VAR (p)	$y_{t} = c + \sum_{i = 1}^{p} Φ_{i} y_{t - i} + ε_{t}$
Векторное скользящее среднее значение	VMA (q)	$y_{t} = c + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} ε_{t - j} + ε_{t}$
Векторное скользящее среднее значение авторегрессии	ВАРМА (p, q)	$y_{t} = c + \sum_{i = 1}^{p} Φ_{i} y_{t - i} + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} ε_{t - j} + ε_{t}$
Векторное Скользящее среднее значение Авторегрессии с линейным трендом времени	ВАРМА (p, q)	$y_{t} = c + δ t + \sum_{i = 1}^{p} Φ_{i} y_{t - i} + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} ε_{t - j} + ε_{t}$
Векторное Скользящее среднее значение Авторегрессии с внешними входными параметрами	VARMAX (p, q)	$y_{t} = c + β x_{t} + \sum_{i = 1}^{p} Φ_{i} y_{t - i} + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} ε_{t - j} + ε_{t}$
Структурное векторное скользящее среднее значение авторегрессии	SVARMA (p, q)	$Φ_{0} y_{t} = c + \sum_{i = 1}^{p} Φ_{i} y_{t - i} + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} ε_{t - j} + Θ_{0} ε_{t}$

Следующие переменные появляются в уравнениях:

y _t является вектором переменных временных рядов response во время t. y _t имеет элементы n.
c является постоянным вектором смещений с элементами n.
_Φi является n-by-n матрицы для каждого i. _Φi является авторегрессивными матрицами. Существует p авторегрессивные матрицы, и некоторые могут полностью состоять из нулей.
_εt является вектором последовательно некоррелированых инноваций, векторами длины n. _εt является многомерными нормальными случайными векторами с ковариационной матрицей Σ.
_Θj является n-by-n матрицы для каждого j. _Θj является матрицами скользящего среднего значения. Существуют матрицы скользящего среднего значения q, и некоторые могут полностью состоять из нулей.
δ является постоянным вектором линейных коэффициентов тренда времени с элементами n.
_xt является r-by-1 вектор, представляющий внешние условия в каждый раз t. r является количеством внешнего ряда. Внешние условия являются данными (или другие несмоделированные входные параметры) в дополнение к серии _yt времени отклика. Каждый внешний ряд появляется во всех уравнениях ответа.
β является n-by-r постоянная матрица коэффициентов регрессии размера r. Так продукт _βxt является вектором размера n.

Обычно временные ряды y _t и _xt заметны. Другими словами, если у вас есть данные, они представляют один или оба из этих рядов. Вы не всегда знаете смещение c, коэффициент тренда δ, коэффициент β, авторегрессивные матрицы _Φi и матрицы скользящего среднего значения _Θj. Вы обычно хотите соответствовать этим параметрам к своим данным. Смотрите estimate для способов оценить неизвестные параметры. Инновационный _εt не заметен, по крайней мере, в данных, хотя они могут быть заметными в симуляциях.

Econometrics Toolbox™ поддерживает создание и анализ модели VAR (p) с помощью varm и сопоставленных методов.

Изолируйте представление оператора

Существует эквивалентное представление линейных авторегрессивных уравнений с точки зрения операторов задержки. Оператор задержки L кладет обратно индекс времени одним: L y _t = y _{t –1}. Оператор ^Lm кладет обратно индекс времени m: ^Lm y _t = y _{t –m}.

В форме оператора задержки, уравнении для SVARMAX (p, q) модель становится

$(Φ_{0} - \sum_{i = 1}^{p} Φ_{i} L^{i}) y_{t} = c + β x_{t} + (Θ_{0} + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} L^{j}) ε_{t} .$

Это уравнение может быть записано как

$Φ (L) y_{t} = c + β x_{t} + Θ (L) ε_{t},$

где

$Θ (L) = Θ_{0} - \sum_{i = 1}^{p} Θ_{i} L^{i}$

$Θ (L) = Θ_{0} + \sum_{j = 1}^{q} Θ_{j} L^{j} .$

Стабильные и обратимые модели

Моделью VAR является stable если

$\det (I_{n} - Φ_{1} z - Φ_{2} z^{2} - ... - Φ_{p} z^{p}) \neq 0 для | z | \leq 1,$

Это условие подразумевает, что со всеми равными нулю инновациями процесс VAR сходится к c со временем. См. главу 2 Lütkepohl [80] для обсуждения.

Моделью VMA является invertible если

$\det (I_{n} + Θ_{1} z + Θ_{2} z^{2} + ... + Θ_{q} z^{q}) \neq 0 для | z | \leq 1.$

Это условие подразумевает, что чистое представление VAR процесса стабильно. См. главу 11 Lütkepohl [80] для обсуждения обратимых моделей VMA.

Модель ВАРМЫ стабильна, если ее полином VAR стабилен. Точно так же модель VARMA является обратимой, если ее полином VMA является обратимым.

Нет никакого четко определенного понятия устойчивости или обратимости для моделей с внешними входными параметрами (например, моделей VARMAX). Внешний вход может дестабилизировать модель.

Создавание моделей VAR

Чтобы понять модель временных рядов кратного или несколько данных временных рядов, вы обычно выполняете следующие шаги:

Импортируйте и предварительно обработайте данные.
Задайте модель.
1. Создание Моделей VAR, чтобы настроить модель с помощью varm:
  - Объекты модели с Известными Параметрами, чтобы задать модель с известными параметрами
  - Объекты модели без Значений параметров, чтобы задать модель когда это необходимо MATLAB^®, чтобы оценить параметры
  - Объекты модели с Выбранными Значениями параметров, чтобы задать модель, где вы знаете некоторые параметры и хотите, чтобы MATLAB оценил другие
2. Определение Соответствующего Количества Задержек, чтобы определить соответствующее количество задержек для модели
Соответствуйте модели к данным. См. Подходящие Модели к Данным, чтобы использовать estimate, чтобы оценить неизвестные параметры в ваших моделях.
Анализируйте и предскажите использование подобранной модели. Это может включить:
1. Исследование Устойчивости Подобранной модели, чтобы определить, стабильна ли модель.
2. Модель VAR, Предсказывающая, чтобы предсказать непосредственно из моделей или предсказать использование симуляции Монте-Карло.
3. Вычисление Импульсных Ответов, чтобы вычислить импульсные ответы, которые дают прогнозы на основе принятого изменения во входе к временным рядам.
4. Сравните результаты прогнозов своей модели к данным, требуемым, предсказав. Для примера смотрите Тематическое исследование Модели VAR.

Ваше приложение не должно включать все шаги в этом рабочем процессе. Например, вы не можете иметь никаких данных, но хотеть моделировать параметризованную модель. В этом случае вы выполнили бы только шаги 2 и 4 типичного рабочего процесса.

Вы можете выполнить итерации через некоторые из этих шагов.

Документация