bicgstabl
Бисопряженные градиенты стабилизированный (l) метод
Синтаксис
x = bicgstabl(A,b)
x = bicgstabl(afun,b)
x = bicgstabl(A,b,tol)
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit)
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit,M)
x
= bicgstabl(A,b,tol,maxit,M1,M2)
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0)
[x,flag] = bicgstabl(A,b,...)
[x,flag,relres] = bicgstabl(A,b,...)
[x,flag,relres,iter] = bicgstabl(A,b,...)
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstabl(A,b,...)
Описание
x = bicgstabl(A,b) попытки решить систему линейных уравнений A*x=b для x. n-by-n матрица коэффициентов, A должен быть квадратным и правый вектор-столбец стороны b, должен иметь длину n.
x = bicgstabl(afun,b) принимает указатель на функцию afun вместо матричного A. afun(x) принимает векторный вход x и возвращает матричное векторное произведение A*x. Во всех следующих синтаксисах можно заменить A afun.
x = bicgstabl(A,b,tol) задает допуск метода. Если tol [] затем, bicgstabl использует значение по умолчанию, 1e-6.
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit) задает максимальное количество итераций. Если maxit [] затем, bicgstabl использует значение по умолчанию, min(N,20).
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit,M) и x
= bicgstabl(A,b,tol,maxit,M1,M2) используйте предварительный формирователь M or M=M1*M2 и эффективно решите систему A*inv(M)*x = b для x. Если M [] затем, предварительный формирователь не применяется. M может быть указателем на функцию, возвращающим M\x.
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit,M1,M2,x0) задает исходное предположение. Если x0 [] затем, bicgstabl использует значение по умолчанию, весь нулевой вектор.
[x,flag] = bicgstabl(A,b,...) также возвращает сходимость flag:
Флаг | Сходимость |
|---|---|
0 | bicgstabl сходился к желаемому допуску tol в итерациях maxit. |
1 | bicgstabl выполнил итерации времен maxit, но не сходился. |
2 | Предварительный формирователь M был плохо обусловлен. |
3 |
|
4 | Один из скаляров, вычисленных во время |
[x,flag,relres] = bicgstabl(A,b,...) также возвращает относительный остаточный norm(b-A*x)/norm(b). Если flag является 0, relres <= tol.
[x,flag,relres,iter] = bicgstabl(A,b,...) также возвращает номер итерации, в котором x был вычислен, где 0 <= iter <= maxit. iter может быть k/4, где k является некоторым целым числом, указывая на сходимость в данной итерации четверти.
[x,flag,relres,iter,resvec] = bicgstabl(A,b,...) также возвращает вектор норм невязки в каждой итерации четверти, включая norm(b-A*x0).
Примеры
Используя bicgstabl с Вводами или с Функцией
Можно передать входные параметры непосредственно bicgstabl:
n = 21;
A = gallery('wilk',n);
b = sum(A,2);
tol = 1e-12;
maxit = 15;
M = diag([10:-1:1 1 1:10]);
x = bicgstabl(A,b,tol,maxit,M);Можно также использовать функцию матричного векторного произведения:
function y = afun(x,n) y = [0; x(1:n-1)] + [((n-1)/2:-1:0)'; (1:(n-1)/2)'].*x+[x(2:n); 0];
и предварительный формирователь backsolve функция:
function y = mfun(r,n) y = r ./ [((n-1)/2:-1:1)'; 1; (1:(n-1)/2)'];
как вводит к bicgstabl:
x1 = bicgstabl(@(x)afun(x,n),b,tol,maxit,@(x)mfun(x,n));
Используя bicgstabl с Предварительным формирователем
Этот пример демонстрирует использование предварительного формирователя.
Загрузите west0479, действительное 479 479 несимметричная разреженная матрица.
load west0479;
A = west0479;Задайте b так, чтобы истинное решение было вектором из всех единиц.
b = full(sum(A,2));
Установите допуск и максимальное количество итераций.
tol = 1e-12; maxit = 20;
Используйте bicgstabl, чтобы найти решение в требуемом допуске и количестве итераций.
[x0,fl0,rr0,it0,rv0] = bicgstabl(A,b,tol,maxit);
fl0 равняется 1, потому что bicgstabl не сходится к требуемому допуску 1e-12 в требуемых 20 итерациях. На самом деле поведение bicgstabl так плохо, что исходное предположение (x0 = zeros(size(A,2),1)) является лучшим решением и возвращено, как обозначено it0 = 0. MATLAB® хранит остаточную историю в rv0.
Постройте поведение bicgstabl.
semilogy(0:0.25:maxit,rv0/norm(b),'-o'); xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
График показывает, что решение не сходится. Можно использовать предварительный формирователь, чтобы улучшить результат.
Создайте предварительный формирователь с ilu, поскольку A несимметричен.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-5));
Error using ilu There is a pivot equal to zero. Consider decreasing the drop tolerance or consider using the 'udiag' option.
MATLAB не может создать неполный LU, когда это привело бы к сингулярному фактору, который бесполезен как предварительный формирователь.
Можно попробовать еще раз с уменьшаемым допуском отбрасывания, как обозначено сообщением об ошибке.
[L,U] = ilu(A,struct('type','ilutp','droptol',1e-6)); [x1,fl1,rr1,it1,rv1] = bicgstabl(A,b,tol,maxit,L,U);
fl1 0, потому что bicgstabl управляет относительной невязкой к 1.0257e-015 (значение rr1). Относительная невязка является меньше, чем предписанный допуск 1e-12 в шестой итерации (значение it1), когда предобусловленный неполной LU-факторизацией с допуском отбрасывания 1e-6. Выводом rv1(1) является norm(b), и выводом rv1(9) является norm(b-A*x2), поскольку bicgstabl использует итерации четверти.
Можно следовать, прогресс bicgstabl путем графического вывода относительных невязок в каждой итерации, начинающей с первоначальной оценки (выполните итерации номера 0).
semilogy(0:0.25:it1,rv1/norm(b),'-o'); h = gca; h.XTick = 0:0.25:it1; xlabel('Iteration number'); ylabel('Relative residual');
