ss2tf

Преобразуйте представление пространства состояний передаточной функции

Синтаксис

[b,a] =
ss2tf(A,B,C,D)

[b,a]
= ss2tf(A,B,C,D,ni)

Описание

пример

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D) преобразовывает представление пространства состояний системы в эквивалентную передаточную функцию. ss2tf возвращает передаточную функцию Преобразования Лапласа для непрерывно-разовых систем и передаточную функцию Z-преобразования для систем дискретного времени.

пример

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D,ni) возвращает передаточную функцию, которая заканчивается, когда ni th вход системы с несколькими входными параметрами взволнован модульным импульсом.

Примеры

свернуть все

Система массового Spring

Скрипт Open Live Script

Одномерное дискретное время колеблющаяся система состоит из модульной массы, $m$ , присоединенный к стене к пружине модуля эластичная константа. Датчик выбирает ускорение, $a$ , из массы в $F_{s} = 5$ Гц.

Сгенерируйте в 50 раз выборки. Задайте интервал выборки $Δ t = 1 / F_{s}$ .

Fs = 5;
dt = 1/Fs;
N = 50;
t = dt*(0:N-1);

Осциллятор может быть описан уравнениями пространства состояний

$\begin{matrix} x (k + 1) = A x (k) + B u (k), \\ y (k) = C x (k) + D u (k), \end{matrix}$

где $x = {(\begin{matrix} r & v \end{matrix})}^{T}$ вектор состояния, $r$ и $v$ соответственно положение и скорость массы и матрицы

$A = (\begin{matrix} потому что Δ t & \sin Δ t \\ - \sin Δ t & потому что Δ t \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 - потому что Δ t \\ \sin Δ t \end{matrix}), C = (\begin{matrix} - 1 & 0 \end{matrix}), D = (\begin{matrix} 1 \end{matrix}) .$

A = [cos(dt) sin(dt);-sin(dt) cos(dt)];
B = [1-cos(dt);sin(dt)];
C = [-1 0];
D = 1;

Система взволнована с модульным импульсом в положительном направлении. Используйте модель в пространстве состояний, чтобы вычислить эволюцию времени системы, начинающей со все-нулевого начального состояния.

u = [1 zeros(1,N-1)];

x = [0;0];
for k = 1:N
    y(k) = C*x + D*u(k);
    x = A*x + B*u(k);
end

Постройте ускорение массы как функция времени.

stem(t,y,'filled')
xlabel('t')

Вычислите зависящее от времени ускорение с помощью передаточной функции H (z), чтобы отфильтровать вход. Постройте результат.

[b,a] = ss2tf(A,B,C,D);
yt = filter(b,a,u);
stem(t,yt,'filled')
xlabel('t')

Передаточная функция системы имеет аналитическое выражение:

$H (z) = \frac{1 - z^{- 1} (1 + потому что Δ t) + z^{- 2} потому что Δ t}{1 - 2 z^{- 1} потому что Δ t + z^{- 2}} .$

Используйте выражение, чтобы отфильтровать вход. Постройте ответ.

bf = [1 -(1+cos(dt)) cos(dt)];
af = [1 -2*cos(dt) 1];
yf = filter(bf,af,u);
stem(t,yf,'filled')
xlabel('t')

Результатом является то же самое во всех трех случаях.

Осциллятор двух-тела

Скрипт Open Live Script

Идеальная одномерная колеблющаяся система состоит из двух модульных масс, $m_{1}$ и $m_{2}$ , ограниченный между двумя стенами. Каждая масса присоединена к самой близкой стене к пружине модуля эластичная константа. Другая такая пружина соединяет эти две массы. Выборка датчиков $a_{1}$ и $a_{2}$ , ускорения масс, в $F_{s} = 16$ Гц.

Задайте общее время измерения 16 с. Задайте интервал выборки $Δ t = 1 / F_{s}$ .

Fs = 16;
dt = 1/Fs;
N = 257;
t = dt*(0:N-1);

Система может быть описана моделью в пространстве состояний

$\begin{matrix} x (n + 1) = A x (n) + B u (n), \\ y (n) = C x (n) + D u (n), \end{matrix}$

где $x = {(\begin{matrix} r_{1} & v_{1} & r_{2} & v_{2} \end{matrix})}^{T}$ вектор состояния и $r_{i}$ и $v_{i}$ соответственно местоположение и скорость $i$ - масса th. Входной вектор $u = {(\begin{matrix} u_{1} & u_{2} \end{matrix})}^{T}$ и выходной вектор $y = {(\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix})}^{T}$ . Матрицы пространства состояний

$A = \exp (A_{c} Δ t), B = A_{c}^{- 1} (A - I) B_{c}, C = (\begin{matrix} - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & - 2 & 0 \end{matrix}), D = I,$

непрерывно-разовые матрицы пространства состояний

$A_{c} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 2 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & - 2 & 0 \end{matrix}), B_{c} = (\begin{matrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}),$

и $I$ обозначает единичную матрицу соответствующего размера.

Ac = [0 1 0 0;-2 0 1 0;0 0 0 1;1 0 -2 0];
A = expm(Ac*dt);
Bc = [0 0;1 0;0 0;0 1];
B = Ac\(A-eye(4))*Bc;
C = [-2 0 1 0;1 0 -2 0];
D = eye(2);

Первая масса, $m_{1}$ , получает модульный импульс в положительном направлении.

ux = [1 zeros(1,N-1)];
u0 = zeros(1,N);
u = [ux;u0];

Используйте модель, чтобы вычислить эволюцию времени системы, начинающей со все-нулевого начального состояния.

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

Постройте ускорения этих двух масс как функции времени.

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Преобразуйте систему в ее представление передаточной функции. Найдите ответ системы к положительному модульному импульсному возбуждению на первой массе.

[b1,a1] = ss2tf(A,B,C,D,1);
y1u1 = filter(b1(1,:),a1,ux);
y1u2 = filter(b1(2,:),a1,ux);

Постройте результат. Передаточная функция дает тот же ответ как модель в пространстве состояний.

stem(t,[y1u1;y1u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 1 Excited')
grid

Система сбрасывается к ее начальной настройке. Теперь другая масса, $m_{2}$ , получает модульный импульс в положительном направлении. Вычислите эволюцию времени системы.

u = [u0;ux];

x = [0;0;0;0];
for k = 1:N
    y(:,k) = C*x + D*u(:,k);
    x = A*x + B*u(:,k);
end

Постройте ускорения. Ответы отдельных масс переключаются.

stem(t,y','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Найдите ответ системы к положительному модульному импульсному возбуждению на второй массе.

[b2,a2] = ss2tf(A,B,C,D,2);
y2u1 = filter(b2(1,:),a2,ux);
y2u2 = filter(b2(2,:),a2,ux);

Постройте результат. Передаточная функция дает тот же ответ как модель в пространстве состояний.

stem(t,[y2u1;y2u2]','.')
xlabel('t')
legend('a_1','a_2')
title('Mass 2 Excited')
grid

Входные параметры

свернуть все

`A` Матрица состояния
матрица

Матрица состояния, заданная как матрица. Если система имеет входные параметры p и q выходные параметры и описана переменными состояния n, то A является n-by-n.