Сгенерируйте 1 000 нормальных случайных чисел от нормального распределения со средним значением 3 и стандартное отклонение 5.

rng('default') % For reproducibility
x = normrnd(3,5,[1000,1]);

Найдите оценки параметра и 99% доверительных интервалов.

[muHat,sigmaHat,muCI,sigmaCI] = normfit(x,0.01)

muHat = 2.8368

sigmaHat = 4.9948

muCI = 2×1

    2.4292
    3.2445

sigmaCI = 2×1

    4.7218
    5.2989

muHat является демонстрационным средним значением, и sigmaHat является квадратным корнем из несмещенного средства оценки отклонения. muCI и sigmaCI содержат 99% доверительных интервалов параметров среднего и стандартного отклонения, соответственно. Первая строка является нижней границей, и вторая строка является верхней границей.

Найдите MLEs набора данных с цензурированием при помощи normfit. Используйте statset, чтобы задать опции итеративного алгоритма что использование normfit, чтобы вычислить MLEs для подвергнутых цензуре данных, и затем найти MLEs снова.

Загрузите выборочные данные.

load lightbulb

Первый столбец данных содержит время жизни (в часах) двух типов ламп. Второй столбец содержит бинарную переменную, указывающую, флуоресцентна ли лампа или накалена. 1 указывает, что лампа флуоресцентна, и 0 указывает, что лампа является лампой накаливания. Третий столбец содержит информацию о цензуре, где 0 указывает, что лампа наблюдается, пока отказ, и 1 не указывает, что элемент (лампа) подвергается цензуре.

Найдите индексы для флуоресцентных ламп.

idx = find(lightbulb(:,2) == 0);

Примите, что время жизни следует за нормальным распределением, и найдите MLEs параметров нормального распределения. Второй входной параметр normfit задает доверительный уровень. Передайте в [], чтобы использовать его значение по умолчанию 0.05. Третий входной параметр указывает информацию цензуры.

censoring = lightbulb(idx,3) == 1;
[muHat1,sigmaHat1] = normfit(lightbulb(idx,1),[],censoring)

muHat1 = 9.4966e+03

sigmaHat1 = 3.0640e+03

Отобразите параметры алгоритма по умолчанию что использование normfit, чтобы оценить параметры нормального распределения.

statset('normfit')

ans = struct with fields:
          Display: 'off'
      MaxFunEvals: 200
          MaxIter: 100
           TolBnd: 1.0000e-06
           TolFun: 1.0000e-08
       TolTypeFun: []
             TolX: 1.0000e-08
         TolTypeX: []
          GradObj: []
         Jacobian: []
        DerivStep: []
      FunValCheck: []
           Robust: []
     RobustWgtFun: []
           WgtFun: []
             Tune: []
      UseParallel: []
    UseSubstreams: []
          Streams: {}
        OutputFcn: []

Сохраните опции с помощью другого имени. Изменитесь, как результаты отображены (Display) и допуск завершения к целевой функции (TolFun).

options = statset('normfit');
options.Display = 'final';
options.TolFun = 1e-10;

Также можно задать параметры алгоритма при помощи аргументов пары "имя-значение" функционального statset.

options = statset('Display','final','TolFun',1e-10);

Найдите MLEs с новыми параметрами алгоритма.

[muHat2,sigmaHat2] = normfit(lightbulb(idx,1),[],censoring,[],options)

Successful convergence: Norm of gradient less than OPTIONS.TolFun

muHat2 = 9.4966e+03

sigmaHat2 = 3.0640e+03

normfit отображает отчет относительно итоговой итерации.

Функциональный normfit находит демонстрационное среднее значение и квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения без цензурирования. Демонстрационное среднее значение равно MLE среднего параметра, но квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения не равен MLE параметра стандартного отклонения.

Найдите параметры нормального распределения при помощи normfit, преобразуйте их в MLEs, и затем сравните отрицательные логарифмические вероятности оценок при помощи normlike.

Сгенерируйте 100 нормальных случайных чисел от стандартного нормального распределения.

rng('default') % For reproducibility
n = 100;
x = normrnd(0,1,[n,1]);

Найдите демонстрационное среднее значение и квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения.

[muHat,sigmaHat] = normfit(x)

muHat = 0.1231

sigmaHat = 1.1624

Преобразуйте квадратный корень из несмещенного средства оценки отклонения в MLE параметра стандартного отклонения.

sigmaHat_MLE = sqrt((n-1)/n)*sigmaHat

sigmaHat_MLE = 1.1566

Различие между sigmaHat и sigmaHat_MLE незначительно для большого n.

Также можно найти MLEs при помощи функционального mle.

phat = mle(x)

phat = 1×2

    0.1231    1.1566

phat(1) и phat(2) являются MLEs среднего значения и параметра стандартного отклонения, соответственно.

Подтвердите, что логарифмическая вероятность MLEs (muHat и sigmaHat_MLE) больше, чем логарифмическая вероятность несмещенных средств оценки (muHat и sigmaHat) при помощи функции normlike.

logL = -normlike([muHat,sigmaHat],x)

logL = -156.4424

logL_MLE = -normlike([muHat,sigmaHat_MLE],x)

logL_MLE = -156.4399