гармоника

Гармоническая функция (гармонический номер)

Синтаксис

harmonic(x)

Описание

harmonic(x) возвращает гармоническую функцию x. Для целочисленных значений x harmonic(x) генерирует гармонические числа.

Примеры

Сгенерируйте гармонические числа

Сгенерируйте первые 10 гармонических чисел.

harmonic(sym(1:10))

ans =
[ 1, 3/2, 11/6, 25/12, 137/60, 49/20, 363/140, 761/280, 7129/2520, 7381/2520]

Гармоническая функция для числовых и символьных аргументов

Найдите гармоническую функцию для этих чисел. Поскольку это не символьные объекты, вы получаете результаты с плавающей точкой.

harmonic([2 i 13/3])

ans =
   1.5000 + 0.0000i   0.6719 + 1.0767i   2.1545 + 0.0000i

Найдите гармоническую функцию символически путем преобразования чисел в символьные объекты.

y = harmonic(sym([2 i 13/3]))

y =
[ 3/2, harmonic(1i), 8571/1820 - (pi*3^(1/2))/6 - (3*log(3))/2]

Если знаменатель x равняется 2, 3, 4, или 6, и |x | <500, то результат выражается с точки зрения pi и log.

Используйте vpa, чтобы аппроксимировать полученные результаты.

vpa(y)

ans =
[ 1.5, 0.67186598552400983787839057280431...
 + 1.07667404746858117413405079475i,...
 2.1545225442213858782694336751358]

Для |x |> 1000, harmonic возвращает вызов функции как есть Использование vpa, чтобы обеспечить harmonic, чтобы оценить вызов функции.

harmonic(sym(1001))
vpa(harmonic(sym(1001)))

ans =
harmonic(1001)
ans =
7.4864698615493459116575172053329

Гармоническая функция для специальных значений

Найдите гармоническую функцию для специальных значений.

harmonic([0 1 -1 Inf -Inf])

ans =
     0     1   Inf   Inf   NaN

Гармоническая функция для символьных функций

Найдите гармоническую функцию для символьного функционального f.

syms f(x)
f(x) = exp(x) + tan(x);
y = harmonic(f)

y(x) =
harmonic(exp(x) + tan(x))

Гармоническая функция для символьных векторов и матриц

Найдите гармоническую функцию для элементов векторного V и матричного M.

syms x
V = [x sin(x) 3*i];
M = [exp(i*x) 2; -6 Inf];
harmonic(V)
harmonic(M)

ans =
[ harmonic(x), harmonic(sin(x)), harmonic(3i)]
ans =
[ harmonic(exp(x*1i)), 3/2]
[                Inf, Inf]

Постройте гармоническую функцию

Постройте гармоническую функцию от x =-5 к x = 5.

syms x
fplot(harmonic(x),[-5 5])
grid on

Дифференцируйте и найдите предел гармонической функции

Функции diff и limit обрабатывают выражения, содержащие harmonic.

Найдите вторую производную harmonic(x^2+1).

syms x
diff(harmonic(x^2+1),x,2)

ans =
2*psi(1, x^2 + 2) + 4*x^2*psi(2, x^2 + 2)

Найдите предел harmonic(x), когда x склоняется к ∞ и (x+1)*harmonic(x), как x склоняется к-1.

syms x
limit(harmonic(x),Inf)
limit((x+1)*harmonic(x),-1)

ans =
Inf
ans =
-1

Расширение ряда Тейлора гармонической функции

Используйте taylor, чтобы расширить гармоническую функцию с точки зрения Ряда Тейлора.

syms x
taylor(harmonic(x))

ans =
(pi^6*x^5)/945 - zeta(5)*x^4 + (pi^4*x^3)/90...
 - zeta(3)*x^2 + (pi^2*x)/6

Расширьте гармоническую функцию

Используйте expand, чтобы расширить гармоническую функцию.

syms x
expand(harmonic(2*x+3))

ans =
harmonic(x + 1/2)/2 + log(2) + harmonic(x)/2 - 1/(2*(x + 1/2))...
 + 1/(2*x + 1) + 1/(2*x + 2) + 1/(2*x + 3)

Входные параметры

свернуть все

`x` Входной параметр
номер | вектор | матрица | многомерный массив | символьная переменная | символьное выражение | символьная функция | символьный вектор | символьная матрица | символьный массив N-D

Введите, заданный как номер, вектор, матрица, или как многомерный массив или символьная переменная, выражение, функция, вектор, матрица или многомерный массив.

Больше о

свернуть все

Гармоническая функция

Гармоническая функция для x задана как

$гармоника (x) = Σ_{k = 1}^{x} \frac{1}{k}$

Это также задано как

$гармоника (x) = Ψ (x + 1) + γ$

где Ψ (x) является полигамма функцией, и γ является постоянный Эйлер-Машерони.

Алгоритмы

Гармоническая функция задана для всех сложных аргументов z за исключением отрицательных целых чисел-1,-2... где особенность происходит.

Если x имеет знаменатель 1, 2, 3, 4, или 6, то явный результат вычислен и возвращен. Для других рациональных чисел harmonic использует функциональное уравнение $гармоника (x + 1) = гармоника (x) + \frac{1}{x}$ получить результат с аргументом x от интервала [0, 1].

expand расширяет harmonic с помощью уравнений $гармоника (x + 1) = гармоника (x) + \frac{1}{x}$ , $гармоника (- x) = гармоника (x) - \frac{1}{x} + π раскладушка (π x)$ , и формула умножения Гаусса для harmonic(kx), где k является целым числом.

harmonic реализует следующие явные формулы:

$гармоника (\frac{- 1}{2}) = - 2 \ln (2)$

$гармоника (- \frac{}{23}) = - \frac{}{32} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$гармоника (- \frac{}{13}) = - \frac{}{32} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$гармоника (\frac{- 3}{4}) = - 3 \ln (2) - \frac{π}{2}$

$гармоника (\frac{- 1}{4}) = - 3 \ln (2) + \frac{π}{2}$

$гармоника (\frac{- 5}{6}) = - 2 \ln (2) - \frac{}{32} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$гармоника (\frac{- 1}{6}) = - 2 \ln (2) - \frac{}{32} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$гармоника (0) = 0$

$гармоника (\frac{}{12}) = 2 - 2 \ln (2)$

$гармоника (\frac{}{13}) = 3 - \frac{}{32} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$гармоника (\frac{}{23}) = \frac{}{32} - \frac{}{32} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{6} π$

$гармоника (\frac{}{14}) = 4 - 3 \ln (2) - \frac{π}{2}$

$гармоника (\frac{}{34}) = \frac{}{43} - 3 \ln (2) + \frac{π}{2}$

$гармоника (\frac{}{16}) = 6 - 2 \ln (2) - \frac{}{32} \ln (3) - \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$гармоника (\frac{}{56}) = \frac{}{65} - 2 \ln (2) - \frac{}{32} \ln (3) + \frac{\sqrt{3}}{2} π$

$гармоника (1) = 1$

$гармоника (\infty) = \infty$

$гармоника (- \infty) = N a N$

Документация