`rec`

Область уравнений повторения

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразовывают Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

rec(eq, y(n), <cond>)

Описание

rec(eq, y(n)) создает объект типа rec, представляющий уравнение повторения для последовательности y(n).

Уравнение, которое eq должен включить только, переключает y(n + i) с целочисленными значениями i; по крайней мере одно такое выражение должно присутствовать в eq. Арифметический expressioneq эквивалентен уравнению eq = 0.

cond начальных или граничных условий должен быть задан как системы уравнений формы {y(n0) = y0, y(n1) = y1, ...} с арифметическими выражениями n0, n1, ..., который не должен содержать идентификатор n и арифметические выражения y0, y1, ..., который не должен содержать идентификатор y.

Основная цель области rec состоит в том, чтобы обеспечить среду для перегрузки функционального solve. Для повторения r типа rec вызов solve(r) возвращает набор, представляющий аффинное подпространство пробела полного решения. Его единственная запись является выражением в n, который может содержать свободные параметры, такие как C1, C2, и т.д. SeeExample 1, Пример 4 и Пример 5.

В настоящее время только линейные повторения с коэффициентами, которые являются рациональными функциями n, могут быть решены. solve обрабатывает повторения с постоянными коэффициентами, он находит гипергеометрические решения повторений первого порядка и полиномиальные решения повторений высшего порядка с непостоянными коэффициентами.

solve не всегда может найти пробел полного решения. Cf. Пример 5. Если solve не может найти решение, то на звонок solve отвечают символически. Для параметрических повторений вывод solve может быть условно заданным набором типа piecewise. Cf. Пример 6.

Примеры

Пример 1

Первая команда определяет гомогенное уравнение повторения первого порядка для последовательности y (n). Это решено вызовом функции solve:

rec(y(n + 1) = 2*y(n)*(n + 1)/n, y(n))

solve(%)

Таким образом общим решением уравнения повторения является y (n) = C _1 n 2ⁿ, где C ₁ является произвольной постоянной.

Пример 2

В следующем примере гомогенное повторение первого порядка y (n + 1) = 3 (n + 1) y (n) с начальным условием y (0) = 1 решен для неизвестной последовательности y (n):

solve(rec(y(n + 1) = 3*(n + 1)*y(n), y(n), {y(0) = 1}))

Таким образом решением является для всех целых чисел n ≥ 0 (gamma является гамма функцией).

Пример 3

В следующем примере неоднородное повторение второго порядка y (n + 2) - 2 y (n + 1) + y (n) = 2 решен для неизвестной последовательности y (n). Начальные условия y (0) = - 1 и y (1) = m с некоторым параметром m учтены solve:

solve(rec(y(n + 2) - 2*y(n + 1) + y(n) = 2, y(n),
          {y(0) = -1, y(1) = m}))

Пример 4

Мы вычисляем общее решение гомогенного повторения второго порядка y (n + 2) + 3 y (n + 1) + 2 y (n) = 0:

solve(rec(y(n + 2) + 3*y(n + 1) + 2*y(n), y(n)))

Здесь, C6 и C7 являются произвольными постоянными.

Пример 5

Для следующего гомогенного третьего повторения порядка с непостоянными коэффициентами система только находит полиномиальные решения:

solve(rec(n*y(n + 3) = (n + 3)*y(n), y(n)))

Пример 6

Следующее гомогенное повторение второго порядка с постоянными коэффициентами включает параметр a. Набор решения зависит от значения этого параметра, и solve возвращает объект piecewise:

solve(rec(a*y(n + 2) = y(n), y(n)))

Пример 7

Следующее гомогенное повторение второго порядка с непостоянными коэффициентами включает параметр a. Несмотря на то, что это имеет полиномиальное решение для a = 2, система не распознает это:

solve(rec(n*y(n + 2) = (n + a)*y(n), y(n)))

Параметры

`eq`	Уравнение или арифметическое выражение
`y`	Неизвестная функция: идентификатор
`n`	Индекс: идентификатор
`cond`	Набор начальных или граничных условий

Возвращаемые значения

Объект типа rec.

Алгоритмы

Для гомогенных повторений с постоянными коэффициентами solve вычисляет корни характеристического полинома. Если некоторым из них нельзя дать в явной форме, т.е. только посредством RootOf, то solve не возвращает решение. В противном случае пробел полного решения возвращен.

Для первого порядка гомогенные повторения с непостоянными коэффициентами solve возвращает пробел полного решения, если коэффициенты повторения могут быть включены в в большинстве квадратичных полиномов. В противном случае solve не возвращает решение.

Для гомогенных повторений порядка по крайней мере два с непостоянными коэффициентами solve находит полный пробел всех полиномиальных решений.

В настоящее время неоднородные повторения могут только быть решены, если у них есть полиномиальное решение. Предыдущие комментарии применяются.

Для параметрических повторений система не может найти решения, которые допустимы только для специальных значений параметров. Cf. Пример 7.

Документация