numeric::factorLU

LU-факторизация матрицы

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

numeric::factorLU(A, options)

Описание

numeric::factorLU(A) возвращает факторизацию LU матричного A.

Факторизация LU действительного или комплексного m ×n матричный A P  A = L  U. m ×m матричный L является нижним треугольным, нормирован к 1 по диагонали. m ×n матричный U верхний треугольный, т.е. U ij = 0 для j <i. Список p = [p1, …, pm] возвращенный numeric::factorLU сочетание чисел 1, …, m, соответствующий обменам строки A. Это представляет следующий m ×m матрица перестановок P (мы принимаем, что матричные индексы лежат в диапазоне от 1 до m):

.

Оставленное умножение матриц и векторов с P понято легко с помощью списка сочетания p: Y i, j: = X p i, j задает сочетание строки Y = P  X матричного X, y i: = x p i задает сочетание строки y = P  x векторного x.

По умолчанию числовая факторизация с частичным поворотом вычисляется. Если опция Symbolic не используется, все компоненты матрицы преобразованы в числа с плавающей запятой. В этом случае матрица не должна содержать символьные объекты, которые не могут быть преобразованы в плавания. Числовые символьные выражения, такие как π, и т.д. приняты.

Факторизация зависит от вертящейся стратегии. Результаты получили с/без опцией Symbolic может отличаться. Смотрите Пример 2. Для числовых факторизаций результаты получены с HardwareFloats и SoftwareFloats, соответственно, может отличаться. Смотрите Пример 3.

Если никакие не возвращаются, тип задан с помощью опции ReturnType = d, доменный тип факторов L и U зависит от типа входной матрицы A:

  • Факторы массива возвращены как массивы.

  • Факторы hfarray возвращены как hfarrays.

  • Факторы плотной матрицы типа Dom::DenseMatrix() снова плотные матрицы типа Dom::DenseMatrix() по звонку выражений MuPAD®.

  • Для всех других матриц категории Cat::Matrix, факторы возвращены как матрицы типа Dom::Matrix() по звонку выражений MuPAD. Это включает входные матрицы A из типа Dom::Matrix(...), Dom::SquareMatrix(...), Dom::MatrixGroup(...) и т.д.

Взаимодействия среды

Без дополнительного аргумента Symbolic, функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Примеры

Пример 1

Мы учитываем матрицу, заданную массивом:

A := array(1..3, 1..3, [[1, 2, 3], [2, 4, 6], [4, 8, 9]]):
[L, U, p] := numeric::factorLU(A)

Факторы (доменного типа DOM_ARRAY) преобразованы в элементы матричного доменного Dom::Matrix(). После преобразования, перегруженные арифметические операторы +, *, ^ и т.д. может использоваться в последующей обработке:

L := matrix(L): U := matrix(U):
L*U

Продукт L  U совпадает с A после обмена строками согласно сочетанию, сохраненному в списке p:

PA := array(1..3, 1..3, [[A[p[i], j] $ j=1..3] $ i=1..3])

delete A, L, U, p, PA:

Пример 2

Мы считаем неквадратную матрицу размерности 3 ×2:

A := matrix([[3*I, 10], [I, 1], [I, 1]]):
[L1, U1, p1] := numeric::factorLU(A)

Обратите внимание на то, что символьная факторизация отличается, потому что используется различная вертящаяся стратегия:

[L2, U2, p2] := numeric::factorLU(A, Symbolic)

Здесь, матричные факторы имеют тип Dom::Matrix(), потому что входная матрица A имела этот тип. Мы можем использовать перегруженную арифметику непосредственно. Мы преобразуем списки сочетаний p1, p2 к матрицам и проверяют отношение P  A = L  U для факторизации:

P1 := matrix(3, 3):
P2 := matrix(3, 3):
for i from 1 to 3 do
  P1[i, p1[i]] := 1;
  P2[i, p2[i]] := 1;
end_for:
P1*A - L1*U1, P2*A - L2*U2

delete A, L1, U1, p1, L2, U2, p2:

Пример 3

Мы демонстрируем использование аппаратных плаваний. Внутреннее округление HardwareFloats и SoftwareFloats отличается. Следовательно, следующие результаты не совпадают:

n := 14:
A := linalg::hilbert(n):
[L1, U1, p1] := numeric::factorLU(A, HardwareFloats):
[L2, U2, p2] := numeric::factorLU(A, SoftwareFloats):
p1, p2

Однако обе факторизации удовлетворяют P  A = L  U численно:

P1A := matrix([[A[p1[i], j] $ j = 1..n] $ i = 1..n]):
P2A := matrix([[A[p2[i], j] $ j = 1..n] $ i = 1..n]):
norm(P1A - L1*U1), norm(P2A - L2*U2)

delete n, A, L1, U1, p1, L2, U2, p2, P1A, P2A:

Параметры

A

m ×n матрица доменный тип DOM_ARRAY, DOM_HFARRAY, или категории Cat::Matrix

Опции

Hard, HardwareFloats, Soft, SoftwareFloats

С Hard (или HardwareFloats), расчеты сделаны с помощью быстрой аппаратной плавающей арифметики из сеанса MuPAD. Hard и HardwareFloats эквивалентны. При использовании этой опции входные данные преобразованы в аппаратные плавания и обработаны скомпилированным кодом С. Результат повторно преобразован в плавания MuPAD и возвращен в сеанс MuPAD.

С Soft (или SoftwareFloats) расчеты являются плавающей арифметикой программного обеспечения использования купола, обеспеченной ядром MuPAD. Soft и SoftwareFloats эквивалентны. SoftwareFloats используется по умолчанию если текущее значение DIGITS больше, чем 15 и входная матрица A не имеет доменного типа DOM_HFARRAY.

По сравнению с SoftwareFloats используемый ядром MuPAD, расчетом с HardwareFloats может быть много раз быстрее. Обратите внимание, однако, что точность аппаратной арифметики ограничивается приблизительно 15 цифрами. Далее, размер чисел с плавающей запятой не может быть больше, чем приблизительно 10 308 и не меньшим, чем приблизительно 10 - 308.

Если никакой HardwareFloats или SoftwareFloats требуются явным образом, следующая стратегия используется: Если текущее значение DIGITS меньше, чем 16 или если матричный A аппаратный плавающий массив доменного типа DOM_HFARRAY, затем аппаратную арифметику пробуют. Если это успешно, результат возвращен.

Если результат не может быть вычислен с аппаратными плаваниями, арифметику программного обеспечения ядром MuPAD пробуют.

Если текущее значение DIGITS больше, чем 15 и входная матрица A не имеет доменного типа DOM_HFARRAY, или если одна из опций Soft, SoftwareFloats или Symbolic задан, MuPAD вычисляет результат со своей арифметикой программного обеспечения, не пытаясь использовать аппаратные плавания сначала.

Может быть несколько причин аппаратной арифметики, чтобы перестать работать:

  • Текущее значение DIGITS больше, чем 15.

  • Данные содержат символьные объекты.

  • Данные содержат числа, больше, чем 10 308 или меньший, чем 10 - 308, который не может быть представлен аппаратными плаваниями.

Если никакой HardwareFloats ни SoftwareFloats задан, пользователю не сообщают, используются ли аппаратные плавания или плавания программного обеспечения.

Если HardwareFloats заданы, но перестали работать из-за одной из причин выше, предупреждение выдано, что (намного более медленное) программное обеспечение арифметика с плавающей точкой ядра MuPAD используется.

Обратите внимание на то, что HardwareFloats может только использоваться, если все входные данные могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой.

Запаздывающие цифры в результатах с плавающей точкой вычисляются с HardwareFloats и SoftwareFloats может отличаться.

Примечание

Для плохих обусловленных матриц результаты, возвращенные с HardwareFloats и SoftwareFloats может значительно отличаться! Смотрите Пример 3.

Symbolic

Предотвращает преобразование входных данных к числам с плавающей запятой. Точная арифметика используется. Эта опция заменяет HardwareFloats и SoftwareFloats.

Обычная арифметика для выражений MuPAD используется. При использовании этой опции матричный A может содержать символьные объекты.

При использовании этой опции никакие обмены строки не выполняются во внутреннем Исключении Гаусса, если не необходимо.

NoWarning

Отключает предупреждения

Если символьные коэффициенты найдены, numeric::factorLU автоматически переключатели к Symbolic режим с предупреждением. При использовании этой опции подавлено это предупреждение; стандартная программа все еще использует символьный режим в символьных коэффициентах, т.е. точная арифметика без преобразований с плавающей точкой используется.

ReturnType

Опция, заданная как ReturnType = d

Возвратите факторы как матрицы доменного типа d. Следующее возвращается, типы доступны: DOM_ARRAY, DOM_HFARRAY, Dom::Matrix(), или Dom::DenseMatrix().

Возвращаемые значения

Перечислите [L, U, p] возвращен. Доменный тип m ×m матричный L и m ×n матричный U зависит от типа входной матрицы AP список с элементами m, состоящими из сочетания целых чисел 1, …, m. Это представляет обмены строки на вертящихся шагах. Компоненты L и U действительные или комплексные плавания, если опция Symbolic используется.

Смотрите также

Функции MuPAD

Темы

Документация Symbolic Math Toolbox
Поддержка
Для просмотра документации необходимо авторизоваться на сайте