`linalg`::`factorLU`

LU-разложение матрицы

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

linalg::factorLU(A)

Описание

linalg::factorLU(A) вычисляет LU-разложение m ×n матричный A, т.е. разложение A в m ×m нижний треугольный матричный L и m ×n верхняя треугольная матрица U, таким образом, что P A = L U, где P является матрицей перестановок.

Диагональные элементы нижнего треугольного матричного L равны одному (Doolittle-разложение). Диагональные элементы U являются элементами центра, используемыми во время расчета.

Матрицы L и U уникальны.

pivindex список _{[ r1, r2, ...]} представление обменов строки A на вертящихся шагах, т.е. B = P A = L U, где b _ij = a _{r _i, j}.

Приближение с плавающей точкой разложения вычисляется с помощью numeric::factorLU, если матричный A задан по кольцевому Dom::Float компонента. В этом случае рекомендуется вызвать numeric::factorLU непосредственно для лучшего КПД.

Алгоритм также работает на сингулярный A. В этом случае или L или U сингулярны.

L и U несингулярны, если и только если A несингулярен.

Звонок компонента матричного A должно быть поле, т.е. область категории Cat::Field.

Примеры

Пример 1

Мы вычисляем LU-разложение действительной матрицы:

A := Dom::Matrix(Dom::Real)(
  [[2, -3, -1], [1, 1, -1], [0, 1, -1]]
)

[L, U, pivlist] := linalg::factorLU(A)

Нижний треугольный матричный L является первым элементом und верхняя треугольная матрица, U является вторым элементом списка LU. Продукт этих двух матриц равен входной матрице A:

L * U

Пример 2

LU-разложение 3×2 матрица:

A := Dom::Matrix(Dom::Real)([[2, -3], [1, 2], [2, 3]])

дает 3×3 нижняя треугольная матрица и 3×2 верхняя треугольная матрица:

[L, U, pivlist] := linalg::factorLU(A)

L * U

Пример 3

Вычислить LU-разложение матрицы:

A := matrix([[1, 2, -1], [0, 0, 3], [0, 2, -1]])

один обмен строки необходим, и мы поэтому получаем нетривиальный список сочетаний:

[L, U, pivlist] := linalg::factorLU(A)

Соответствующая матрица перестановок следующая:

P := linalg::swapRow(matrix::identity(3), 3, 2)

Следовательно, у нас есть разложение A в продукт этих трех матриц, L и U можно следующим образом:

P^(-1) * L * U

Пример 4

Можно вычислить LU-разложение матрицы с символьными компонентами, такими как:

delete a, b, c, d:
A := matrix([[a, b], [c, d]])

Диагональные элементы матричного U являются элементами центра, используемыми во время расчета. Они должны быть ненулевыми, если инверсия U необходима:

[L, U, pivlist] := linalg::factorLU(A)

Например, если мы используем это разложение, чтобы решить линейную систему для произвольных векторов, затем следующий результат только правилен для a ≠ 0 и:

delete b1, b2:
linalg::matlinsolveLU(L, U, matrix([b1, b2]))

Параметры

`A`	Матрица A области категории `Cat::Matrix`

Возвращаемые значения

Перечислите [L, U, pivindex] с этими двумя матрицами L и U доменного Dom::Matrix(R) и список pivindex из положительных целых чисел. R звонок компонента A.

Алгоритмы

Следующий алгоритм для решения системы с несингулярным матричным A использует LU-разложение:

Вычислите LU-разложение A: A = L U.
Решите прямой заменой.
Решите обратной подстановкой.

LU-разложение матричного A полезно для решения нескольких систем линейных уравнений с той же матрицей коэффициентов A и несколько правых векторов стороны, потому что затем продвигаются, один из алгоритма выше должен быть сделан только однажды.