numeric
::matlinsolve
Решите линейное матричное уравнение
Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.
Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.
numeric::matlinsolve(A
, B
, options
)
numeric::matlinsolve(A, B)
возвращает матричное решение X матричного уравнения A X = B вместе с ядром матричного A.
numeric::matlinsolve
быстрый числовой линейный решатель и для разреженных и для плотных систем. Это - также рекомендуемый решатель для линейных систем с точными или символьными коэффициентами (используйте опцию Symbolic
).
Если никакие не возвращаются, тип задан с помощью опции ReturnType = d
, доменный тип данных о возврате зависит от типа входной матрицы A
:
Специальное решение X, а также ядро массива A возвращено как массивы.
Специальное решение X, а также ядро hfarray A возвращено как hfarrays.
Для плотного matrixA типа Dom::DenseMatrix()
, оба специальное решение X, а также ядро A возвращены как матрицы типа Dom::DenseMatrix()
по звонку выражений MuPAD®.
Для всех других матриц категории Cat::Matrix
, оба специальное решение X, а также ядро A возвращены как матрицы типа Dom::Matrix()
по звонку выражений MuPAD. Это включает входные матрицы A
из типа Dom::Matrix(...)
, Dom::SquareMatrix(...)
, Dom::MatrixGroup(...)
и т.д.
Без Symbolic
, точные числовые входные данные, такие как PI + sqrt(2)
, sin(3)
и т.д. преобразованы в числа с плавающей запятой. Арифметика с плавающей точкой используется. Его точности дают переменную окружения DIGITS
. Если символьные данные найдены, что это не может быть преобразовано в числа с плавающей запятой, numeric::matlinsolve
автоматически переключатели к его символьному режиму, выдавая предупреждение. Это предупреждение может быть подавлено через NoWarning
.
С Symbolic
, символьные параметры в матрице коэффициентов A
а также в правой стороне B
приняты и обработаны без предупреждения.
С SofwareFloats
, правая сторона B
может содержать символьные параметры, которые не могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой. Все записи матрицы коэффициентов A
, однако, должно быть конвертируемым к числам с плавающей запятой.
С HardwareFloats
, ни A, ни B не должны содержать символьные параметры, которые не могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой.
X
специальное решение уравнения A X = B. Если A имеет нетривиальное ядро, решение, X не уникален.
Результат вычисляется с HardwareFloats
может отличаться от решения, вычисленного с SoftwareFloats
или Symbolic
!, В частности, дело обстоит так для систем с нетривиальным ядром.
См. пример 9.
n ×d матричный KernelBasis
самое общее решение A X = 0. Его столбцы охватывают d - размерное ядро A.
Таким образом ядро A может быть вычислено через numeric::matlinsolve(A, [0, ..., 0])[2]
.
Если ядро является 0-мерным, возвращаемое значение KernelBasis
целое число 0. Если KernelBasis
возвращен как массив, размерность, d ядра является d
= op(KernelBasis, [0, 3, 2]])
. Если KernelBasis
возвращен как матрица типа Dom::Matrix()
или Dom::DenseMatrix()
, размерностью d ядра является d
= KernelBasis::dom::matdim(KernelBasis)[2]
.
Из-за ошибок округления, некоторых или всех базисных векторов в ядре A
может быть пропущен в числовых режимах.
Специальное решение X
в сочетании с KernelBasis
предоставляет общее решение A X = B. Решения сгенерировали без опции ShowAssumptions
допустимы для произвольных комплексных чисел символьных параметров, которые могут присутствовать в A
и B
. Если никакое такое решение не существует, то [FAIL,NIL]
возвращен. Решения, которые допустимы только для специальных значений символьных параметров, могут быть получены с ShowAssumptions
. Смотрите пример 3, пример 4 и пример 7.
numeric::matlinsolve
внутренне использует разреженное представление матриц. Это подходит для решения больших разреженных систем. Смотрите Пример 5.
numeric::matlinsolve
не реагирует ни на какие предположения на символьных параметрах в A,B
это установлено через assume
.
Исключение Гаусса с частичным поворотом используется. Без опции Symbolic
, вертящаяся стратегия заботится о числовой стабилизации. С Symbolic
, приняты точные данные. Символьные вертящиеся попытки стратегии максимизируют скорость, и не заботится о числовой стабилизации! Не используйте Symbolic
для линейных систем, включающих записи с плавающей точкой! Смотрите Пример 6.
Кроме матриц типа Dom::Matrix(...)
, Cat::Matrix
объекты A
от матричных областей, таких как Dom::DenseMatrix
(...)
или Dom::SquareMatrix
(...)
внутренне преобразованы в массивы по выражениям через expr(A)
. Обратите внимание на то, что опция Symbolic
должен использоваться, если записи не могут быть преобразованы в числовые выражения.
Обратите внимание на то, что linalg::matlinsolve
должен использоваться, когда решение состоит в том, чтобы быть вычислено по области компонента. Смотрите. Пример 8.
Без опции Symbolic
, функция чувствительна к переменной окружения DIGITS
, который определяет числовую рабочую точность.
Мы используем эквивалентные форматы ввода (B1, B2)
представлять вектор с компонентами [a, π]. Во-первых, этот вектор задан как 2-мерный массив:
A := array(1..2, 1..3, [[1, 2, 3],[1, 1, 2]]): B1 := array(1..2, 1..1, [[a], [PI]]): numeric::matlinsolve(A, B1)
Затем мы используем 1-мерный массив и вычисляем точное решение:
B2 := array(1..2, [a, PI]): numeric::matlinsolve(A, B2, Symbolic)
Теперь список используется, чтобы задать вектор. Никакие внутренние предположения не использовались numeric::matlinsolve
получить решение:
B3 := [a, PI]: numeric::matlinsolve(A, B3, ShowAssumptions)
Наконец, мы используем Dom::Matrix
объекты задать систему. Обратите внимание на то, что результаты возвращены, когда соответствующая матрица возражает:
A := matrix([[1, 2, 3],[1, 1, 2]]): B4 := matrix([a, PI]): numeric::matlinsolve(A, B4)
delete A, B1, B2, B3, B4:
Мы инвертируем матрицу путем решения A X = 1:
A := hfarray(1..3, 1..3, [[1, 1, 0], [0, 1, 1], [0, 0, 1]]): B := matrix::identity(3, 3): InverseOfA := numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1]
delete A, B, InverseOfA:
Мы решаем уравнение символьным параметром x:
A := matrix([[2, 2, 3], [1, 1, 2], [3, 3, 5]]): B := matrix([sin(x)^2, cos(x)^2, 0]): [X, Kernel, Constraints, Pivots] := numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)
Это решение содержит удовлетворяющий ограничению sin (x) 2 + cos (x) 2 = 0 на параметре x. numeric::matlinsolve
не исследует Constraints
и не понимает, что им нельзя удовлетворить. Мы проверяем непротиворечивость “результата” путем вставки решения в исходную систему. Начиная с входной матрицы A имел тип Dom::Matrix()
, результаты X
и Kernel
были возвращены как соответствующие матрицы. Перегруженные операторы *
и -
поскольку умножение матриц и вычитание могут использоваться:
A*X - B, A*Kernel
delete A, B, X, Kernel, Constraints, Pivots:
Мы даем дальнейшую демонстрацию опции ShowAssumptions
. Следующая система не имеет решения для всех значений параметра a
:
A := array(1..2, 1..2, [[1, 1], [1, 1]]): B := array(1..2, 1..1, [[1], [a]]): numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)
С ShowAssumptions
, numeric::matlinsolve
занимается расследованиями под который условия (на параметре a
) существует решение:
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)
Мы приходим к заключению, что существует 1-мерный пробел решения для a = 1.
delete A, B:
Мы решаем разреженную систему с 3 диагональными полосами:
n := 100: A := matrix(n, n, [1, -2, 1], Banded): B := array(1..n, [1 $ n]): numeric::matlinsolve(A, B)
delete n, A, B:
Опция Symbolic
не должен использоваться в уравнениях с коэффициентами с плавающей точкой, потому что символьная вертящаяся стратегия способствует КПД вместо числовой устойчивости.
A := array(1..2, 1..2, [[1, 10^20], [1, 1]]): B := array(1..2, 1..1, [[10^20], [0]]):
Приближение плавающее точного решения:
map(numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1], float)
Мы теперь преобразуем точные входные данные в приближения с плавающей точкой:
A := map(A, float): B := map(B, float):
Значение по умолчанию, вертящееся стратегия алгоритма с плавающей точкой, стабилизирует операции с плавающей точкой. Следовательно, каждый получает правильный результат:
numeric::matlinsolve(A, B)[1]
С опцией Symbolic
, однако, вертящаяся стратегия оптимизирует скорость, принимая точную арифметику. Числовая нестабильность может произойти, если коэффициенты с плавающей точкой включены. Следующий результат вызывается внутренними эффектами округления (“отмена”):
numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1]
Мы должны увеличить DIGITS
получить лучший результат:
DIGITS := 20: numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic)[1]
delete A, B, DIGITS:
Мы демонстрируем, как полное решение следующей линейной системы символьными параметрами может быть найдено:
A := array(1..3, 1..2, [[1, 1], [a, b], [1, c]]): B := array(1..3, 1..1, [[1], [1], [1]]): numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)
Это - общее решение, принимающее a ≠ b. Мы теперь устанавливаем b = a исследовать дальнейшие ветви решения:
A := subs(A, b = a): numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)
Это - общее решение для a = b, принимая c ≠ 1. Мы наконец устанавливаем c = 1 получать последнюю ветвь решения:
A := subs(A, c = 1): numeric::matlinsolve(A, B, Symbolic, ShowAssumptions)
От ограничения на a
, мы приходим к заключению, что существует 1-мерный пробел решения для специальных значений a = b = c = 1 из символьных параметров.
delete A, B:
Матрицы от области, такие как Dom::Matrix
(...)
преобразованы в массивы с числами или выражениями. Следовательно, numeric::matlinsolve
не находит решения для следующей системы:
M := Dom::Matrix(Dom::IntegerMod(7)): A := M([[1, 4], [6, 3], [3, 2]]): B := M([[9], [5], [0]]): numeric::matlinsolve(A, B)
Используйте linalg::matlinsolve
решить систему по содействующему полю матриц. Решение действительно существует по полю Dom::IntegerMod
(7):
linalg::matlinsolve(A, B)
delete M, A, B:
Мы демонстрируем различие между Symbolic
, HardwareFloats
, и SoftwareFloats
. Следующий матричный A имеет 1-мерное ядро. Из-за округления, дальнейший побочный вектор ядра появляется с SoftwareFloats
. Никакой вектор ядра не обнаруживается с HardwareFloats
:
A := matrix([[2*10^14 + 2, 2*10^(-9), 2*10^(-4)], [3*10^15 + 3, 3*10^(-8), 3*10^(-3)], [4*10^16 + 4, 4*10^(-7), 4*10^(-2)] ]): b := matrix([2*10^(-9), 3*10^(-8), 4*10^(-7)]): float(numeric::matlinsolve(A, b, Symbolic)); numeric::matlinsolve(A, b, SoftwareFloats); numeric::matlinsolve(A, b, HardwareFloats)
delete A, b:
|
m ×n матрица доменный тип |
|
m ×p матрица доменного типа |
|
С С По сравнению с Если никакой Если результат не может быть вычислен с аппаратными плаваниями, арифметику программного обеспечения ядром MuPAD пробуют. Если текущее значение Может быть несколько причин аппаратной арифметики, чтобы перестать работать:
Если никакой Если Обратите внимание на то, что Запаздывающие цифры в результатах с плавающей точкой вычисляются с ПримечаниеДля плохо обусловленных матриц, результаты, возвращенные с |
|
Предотвращает преобразование входных данных к числам с плавающей запятой. Точная арифметика используется. Эта опция заменяет Эта опция должна использоваться, если матричный A содержит символьные параметры, которые не могут быть преобразованы в числа с плавающей запятой. ПримечаниеЭта опция не должна использоваться в матрицах с записями с плавающей точкой! Числовая нестабильность может произойти в операциях с плавающей точкой. См. Пример 6. |
|
Возвращает информацию о внутренних предположениях на символьных параметрах в Эта опция только полезна, если матрицы содержат символьные параметры. Следовательно, это должно только использоваться в сочетании с опцией ПримечаниеЭта опция изменяет формат возвращаемого значения к
Такие ограничения возникают, если Исключение Гаусса приводит к уравнениям формы 0 = c, где c является некоторым выражением, включающим символьные параметры, содержавшиеся в B. Все такие уравнения собраны в Если никакие такие ограничения не возникают, возвращаемое значение
Примечание
ПримечаниеЭта опция изменяет стратегию возврата “неразрешимых” систем. Без опции |
|
Отключает предупреждения Если символьные коэффициенты найдены, |
|
Опция, заданная как Возвратите (специальное) решение и ядро как матрицы доменного типа |
|
Используйте разреженное внутреннее представление в матрицах. Эта опция только оказывает влияние, когда используется в сочетании с |
Без опции ShowAssumptions
, список [X, KernelBasis]
возвращен. (Специальное) решение X
n ×p матрица. KernelBasis
n ×d матрица (d является размерностью ядра A). Его столбцы охватывают ядро A. Если ядро тривиально, KernelBasis
целое число 0.
[FAIL, NIL]
возвращен, если система не разрешима.
С ShowAssumptions
, список [X, KernelBasis, Constraints, Pivots]
возвращен. Списки Constraints
и Pivots
содержите уравнения и неравенства, вовлекающие символьные параметры в A
и B
. Внутренне они были приняты, чтобы сохраняться при решении системы. [FAIL, NIL, [], []]
возвращен, если система не разрешима.