Пример 1

Решите линейную систему:

по реалам. Во-первых, введите матрицу коэффициентов и правую сторону:

MatR := Dom::Matrix(Dom::Real):
A := MatR([[1, 2], [-1, 2]]); b := MatR([1, -1])

Затем вызовите linalg::matlinsolve решить систему:

x := linalg::matlinsolve(A, b)

Система имеет точно одно решение. Векторный x удовлетворяет матричному уравнению, данному выше:

A * x

Пример 2

Система:

не имеет решения по ℝ (на самом деле, ни по какой области компонента):

MatR := Dom::Matrix(Dom::Real):
A := MatR([[1, 2], [-1, -2]]): b := MatR([1, 0]):
linalg::matlinsolve(A, b)

Пример 3

Решите линейную систему:

по рациональным числам. Во-первых, введите матрицу коэффициентов и правую сторону:

MatQ := Dom::Matrix(Dom::Rational):
A := MatQ([[1, 1, -4, -7, -6], [0, 1, -3, -5, -7]]);
b := MatQ([30, 17])

Затем вызовите linalg::matlinsolve решить систему:

sol:= linalg::matlinsolve(A, b)

Результат состоит в том, чтобы быть интерпретирован можно следующим образом: первый вектор списка sol конкретное решение линейной системы:

A * sol[1]

Вторая запись списка содержит базис для ядра A, т.е. пробел решения соответствующей однородной системы (ядро A). Возвращенное основание дано как список векторов.

Следующий вход проверяет этот факт путем вычисления продукта для каждого вектора списка sol[2]:

map(sol[2], x -> A * x)

Любое решение линейной системы может быть представлено как сумма конкретного решения (здесь: sol[1]) и линейная комбинация базисных векторов ядра A. Следовательно входная система имеет бесконечное число решений.

Например, другим решением системы дают:

x := sol[1] + 1*sol[2][1] + 1/2*sol[2][2] - 2*sol[2][3]

A * x

Если вы идентифицируете столбцы матрицы коэффициентов A линейной системы с переменными x ₁, x ₂, x ₃, x ₄, x ₅, то вы видите из общего решения что переменные x ₃, x ₄, x ₅ действий как свободные параметры. Они могут быть присвоены произвольные рациональные значения, чтобы получить уникальное решение.

Путем предоставления списка значений для этих переменных как третий параметр к linalg::matlinsolve, можно выбрать определенный вектор из набора всех решений линейной системы. Например, чтобы выбрать тот же векторный x как выбрано в предыдущем входе, введите:

linalg::matlinsolve(A, b, [0, 0, 1, 1/2, -2])

Если вы только интересуетесь конкретным решением и не нуждаетесь в общем решении линейной системы, введите:

linalg::matlinsolve(A, b, Special)

Этот вызов подавляет расчет ядра A.

Пример 4

Если линейная система дана в форме уравнений функциональный linalg::expr2Matrix может использоваться, чтобы сформировать соответствующее матричное уравнение:

delete x, y, z:
Ab := linalg::expr2Matrix(
  [x + y + z = 6, 2*x + y + 2*z = 10, x + 3*y + z = 10]
)

Результатом здесь является расширенная матрица коэффициентов входной системы, то есть, вектор правой стороны является 4-м вектор-столбцом матричного Ab. Поскольку вы не задавали звонок компонента для этой матрицы, стандартный звонок компонента для матриц, доменного Dom::ExpressionField(), был выбран.

Чтобы решить линейную систему, вызовите:

linalg::matlinsolve(Ab)

Система имеет бесконечное число решений. Третьи действия переменной z как свободный параметр и поэтому могут иметь любое (комплексное) значение.

Чтобы получить общее решение в форме параметра, можно использовать параметры в переменных x, y, z входной системы:

delete u, v, w:
sol := linalg::matlinsolve(Ab, [u, v, w])

Это возможно здесь, потому что вы выполняете матричные расчеты по Dom::ExpressionField() который позволяет вам вычислить с символическими (арифметическими) выражениями.

Выбрать определенный вектор из набора решений, например, решения для w = 1, введите:

x := subs(sol, w = 1)

Пример 5

Рассмотрите систему линейных уравнений с разреженной структурой, то есть, матрица коэффициентов имеет много нулевых компонентов:

eqs := {x1 + x5 = 0, x2 - x4 = 1, x3 + 2*x5 = 2, x4 - x5 = -1}:
Ab := linalg::expr2Matrix(eqs, [x1, x2, x3, x4, x5])

linalg::matlinsolve использует разреженность матрицы коэффициентов, если это передается как матрица типа Dom::Matrix. В качестве альтернативы можно использовать функциональный linsolve который позволяет разреженный ввод и вывод через символьные уравнения:

linsolve(eqs)

Также можно использовать функциональный numeric::matlinsolve с опцией Symbolic вместо linalg::matlinsolve:

A := linalg::delCol(Ab, 6):
b := linalg::col(Ab, 6):
numeric::matlinsolve(A, b, Symbolic)

Обратите внимание на то, что функциональный numeric::matlinsolve всегда перерабатывает подполе комплексных чисел и не позволяет вам задать область расчета. Без опции Symbolic, numeric::matlinsolve преобразует входные данные в числа с плавающей запятой.

Пример 6

Проверяйте ли матричное уравнение

имеет уникальное решение по целым числам.

Запустите путем ввода матрицы коэффициентов и матрицы правой стороны:

MatZ := Dom::Matrix(Dom::Integer):
A := MatZ([[1, 2], [-2, 3]]); B := MatZ([[4, 2], [6, 3]])

Затем решите матричное уравнение:

X := linalg::matlinsolve(A, B)

Уравнение действительно имеет уникальное решение (в противном случае ответ linalg::matlinsolve был бы пустой список []). Проверяйте результат:

A * X

Пример 7

Если вы используете Normal опция, linalg::matlinsolve вызывает normal функция для конечных результатов. Этот вызов гарантирует тот linalg::matlinsolve возвращает результаты в нормированной форме:

A := matrix([[1, s], [t, -1]]):
b := matrix([s + 1, t - 1]):
x := linalg::matlinsolve(A, b)

Если вы задаете Normal = FALSE, linalg::matlinsolve не вызывает normal для конечного результата:

x := linalg::matlinsolve(A, b, Normal = FALSE)

Пример 8

Решите эту систему:

A := matrix([[1, s], [1, t]]):
b := matrix([1, 1]):

linalg::matlinsolve(A, b)

Обратите внимание на то, что больше решений существует для t = s. linalg::matlinsolve не использует эти решения, потому что это делает некоторые дополнительные предположения на символьных параметрах этой системы. Видеть предположения что linalg::matlinsolve сделанный при решении этой системы, используйте ShowAssumptions опция:

linalg::matlinsolve(A, b, ShowAssumptions)

Возвращаемые значения

Без ShowAssumptions, linalg::matlinsolve может возвратить вектор или список [S, KernelBasis] (возможно пустой), где S вектор решения и KernelBasis список базисных векторов для ядра A. Это также может возвратить матрицу или значение NIL.

Матрица и векторы, соответственно, имеют доменный тип Dom::Matrix(R), где R звонок компонента A.

С ShowAssumptions, linalg::matlinsolve возвращает список [S, KernelBasis, Constraints, Pivots]. Списки Constraints и Pivots содержите уравнения и неравенства, вовлекающие символьные параметры в A и b (или B). Внутренне, они были приняты, чтобы сохраняться при решении системы. Если система не разрешима, linalg::matlinsolve с ShowAssumptions возвращается.