Взаимодействия среды

Функция чувствительна к переменной окружения DIGITS, который определяет числовую рабочую точность.

Пример 1

Мы соответствуем линейной функции y = p ₁ + p _2 x1 к четырем парам данных (x _i1, y _i) данный двумя списками:

stats::reg([0, 1, 2, 3], [1, 3, 5, 7],
           p1 + p2*x1, [x1], [p1, p2])

Значения параметров p ₁ = 1.0, p ₂ = 2.0 обеспечивает совершенную подгонку: до числового округления исчезает квадратичное отклонение.

Пример 2

Мы соответствуем показательной функции y = a  eb ^x к пяти парам данных (x _i, y _i). Веса используются, чтобы уменьшить влияние “исключительной пары” (x, y) = (5.0, ^6.5×106) на подгонке:

stats::reg([[1.1, 54, 1], [1.2, 73, 1], [1.3, 98, 1], 
            [1.4, 133, 1], [5.0, 6.5*10^6, 10^(-4)]], 
           a*exp(b*x), [x], [a, b])

Пример 3

Мы создаем выборку с четырьмя столбцами. Первый столбец является счетчиком, маркирующим измерения. Этот столбец не имеет дальнейшей уместности здесь. Второй и третий столбец обеспечивает результаты измерений двух переменных x ₁ и x ₂, соответственно. Последний столбец обеспечивает соответствующие измерения зависимой переменной.

s := stats::sample([[1, 0, 0,  1.1], [2, 0, 1,  5.4], 
                    [3, 1, 1,  8.5], [4, 1, 2, 18.5], 
                    [5, 2, 1, 15.0], [6, 2, 2, 24.8]])

1  0  0   1.1
2  0  1   5.4
3  1  1   8.5
4  1  2  18.5
5  2  1  15.0
6  2  2  24.8

Во-первых, мы пытаемся смоделировать данные, обеспеченные столбцами 2, 3, 4 функцией, которая линейна в переменных x ₁, x ₂. Мы задаем столбцы данных списком индексов столбца:

stats::reg(s, [2, 3, 4], p1 + p2*x1 + p3*x2, 
           [x1, x2], [p1, p2, p3])

Квадратичное отклонение является довольно большим, указывая, что линейная функция является несоответствующей, чтобы соответствовать данным. Затем мы расширяем модель и рассматриваем функцию аппроксимации полиномом степени 2. Это - все еще проблема линейной регрессии, потому что подходящие параметры вводят функцию модели линейно. Мы задаем столбцы данных последовательностью индексов столбца:

stats::reg(s, 2, 3, 4,
           p1 + p2*x1 + p3*x2 + p4*x1^2 + p5*x2^2, 
           [x1, x2], [p1, p2, p3, p4, p5])

Наконец, мы включаем дальнейший термин p6*x1*x2 в модели, получая совершенную подгонку:

stats::reg(s, 2, 3, 4, 
           p1 + p2*x1 + p3*x2 + p4*x1^2 + p5*x2^2 + p6*x1*x2, 
           [x1, x2], [p1, p2, p3, p4, p5, p6])

delete s:

Пример 4

Мы создаем выборку двух столбцов:

s := stats::sample([[1, -1.44], [2, -0.82], 
                    [3, 0.97], [4, 1.37]])

1  -1.44
2  -0.82
3   0.97
4   1.37

Данные должны быть смоделированы функцией формы y = p ₁sin (p ₂x), где первый столбец содержит измерения x, и второй столбец содержит соответствующие данные для y. Обратите внимание на то, что в этом примере нет никакой потребности задать индексы столбца, потому что выборка содержит только два столбца:

stats::reg(s, a*sin(b*x), [x], [a, b])

Подбор кривой периодической функции может быть проблематичным. Мы вводим начальные значения для подходящих параметров и получаем очень отличающийся набор параметров, аппроксимирующих данные тем же качеством:

stats::reg(s, a*sin(b*x), [x], [a, b], StartingValues = [2, 5])

delete s:

Пример 5

Уровень сахара в крови y (в mmol/L) диабетика измеряется в течение 10 дней с 5 измерениями в день в x1 = 7 (час утра), x1 = 12 (полдень), x1 = 15 (день), x1 = 19 (перед ужином), и x1 = 23 (время ложиться спать). Это измерения:

Y:=  //hour: 7    12   15   19   23
    [     [ 7.2, 5.5, 6.8, 5.4, 6.0], // day 1
          [ 6.3, 5.0, 5.5, 5.8, 4.9], // day 2
          [ 6.5, 6.3, 4.8, 4.5, 5.0], // day 3
          [ 4.3, 5.2, 4.3, 4.7, 4.0], // day 4
          [ 7.1, 7.2, 6.7, 7.2, 5.5], // day 5
          [ 5.8, 5.5, 4.9, 5.0, 6.2], // day 6
          [ 6.2, 4.8, 5.0, 5.2, 5.3], // day 7
          [ 4.8, 5.8, 5.7, 6.2, 5.0], // day 8
          [ 5.2, 3.8, 4.8, 5.8, 4.7], // day 9
          [ 5.8, 4.7, 5.0, 6.5, 6.3]  // day 10
    ]:

У нас есть в общей сложности 50 измерений. Каждым измерением является тройной [x1, x2, y], где x1 является часом дня, x2 является дневным номером и y уровень сахара в крови:

data:= [([ 7, x2, Y[x2][1]], 
         [12, x2, Y[x2][2]], 
         [15, x2, Y[x2][3]], 
         [19, x2, Y[x2][4]], 
         [23, x2, Y[x2][5]]
        ) $ x2 = 1 .. 10]:

Мы моделируем сахар в крови y как функция часа дня x1 и дневной номер x2 (пытающийся обнаружить общую тенденцию). Мы принимаем периодическую зависимость от x1 с периодом 24 часов:

y := y0 + a*x2 + b*sin(2*PI/24*x1 + c):

Метод наименьших квадратов определенных данных приводит к следующим параметрам y0, a, b, c:

[y0abc, residue]:= stats::reg(data, y, [x1, x2], [y0, a, b, c]):
[y0, a, b, c]:= y0abc

Средним уровнем сахара в крови является y0 = с улучшением a = в день. Амплитуда ежедневного изменения y b =. Мы визуализируем измерения Y plot::Matrixplot. Метод наименьших квадратов нашего функционального y модели добавляется как функциональный график:

plot(plot::Matrixplot(Y, x1 = 0..24, x2 = 1..10),
     plot::Function3d(y, x1 = 0..24, x2 = 1..10,
                      Color = RGB::Green))

delete Y, data, y, y0abc, y0, a, b, c, residue:

Пример 6

Мы рассматриваем затухающий радиоактивный источник, действие которого N (“количества”) измеряется с промежутками в 1 секунду. Физическая модель для затухания, где N (t) является уровнем количества во время t, N ₀ является базовой ставкой во время, t = 0 и τ является временем жизни радиоактивного источника. Вместо того, чтобы брать данные из фактического физического эксперимента, мы создаем искусственные данные с базовой ставкой N ₀ = 100 и время жизни τ = 300:

T := [i $ i= 0 .. 100]:
N := [100*exp(-t/300) $ t in T]:

Конструкцией мы получаем совершенную подгонку при оценке параматерей N ₀ и τ модели:

stats::reg(T, N, N0*exp(-t/tau), [t], [N0, tau]);

Мы тревожим данные:

N := [stats::poissonRandom(n)() $ n in N]:

Начиная с данных n _i в N является Poissonian, их стандартное отклонение является квадратным корнем из их среднего значения:. таким образом подходящими весами для оценки методом наименьших квадратов параметров дают:

W := [1/n $ n in N]:

С этими весами методом наименьших квадратов параметров модели вычисляются N ₀ и τ. Опция CovarianceMatrix используется, чтобы получить информацию о доверительных интервалах для параметров:

[p, chisquared, C] :=
    stats::reg(T, N, W, N0*exp(-t/tau), [t], [N0, tau],
               CovarianceMatrix)

Квадратные корни из диагональных элементов ковариационной матрицы обеспечивают статистические стандартные отклонения подходящих параметров:

sqrt(float(C[1,1])), sqrt(float(C[2,2]))

Таким образом оценка для базовой ставки, которая N ₀, оценка для пожизненного τ. Корреляционная матрица подходящих параметров получена из ковариационной матрицы через stats::correlationMatrix:

stats::correlationMatrix(C)

delete T, N, W, p, chisquared, C:

Возвращаемые значения

Без опции CovarianceMatrix, список [[p ₁, …, p _n], χ ²] возвращен. Это содержит оптимизированные подходящие параметры p _i, минимизирующий квадратичное отклонение. Минимизированное значение этого отклонения дано χ ², это указывает на качество подгонки.

С опцией CovarianceMatrix, список [[p ₁, …, p _n], χ ², C] возвращен. n ×n матричный C ковариационная матрица подходящих параметров.

Все возвращенные данные являются значениями с плавающей точкой. FAIL возвращен, если припадок наименьшего квадрата данных не возможен с данной функцией модели или если внутренний числовой поиск перестал работать.