Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.
Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ODE) содержит производные зависимых переменных относительно единственной независимой переменной. Если y
зависимая переменная и x
независимая переменная, решение ОДУ является выражением y(x)
. Порядок производной зависимой переменной задает порядок ОДУ.
Решение одного явного ОДУ первого порядка может всегда вычисляться интегрированием, предоставил решение, существует. Чтобы задать обыкновенное дифференциальное уравнение, используйте ode
команда:
o := ode(y'(x) = y(x)^2, y(x))
ode
не принимает многомерные выражения, такие как y(x, t)
. Это также не принимает piecewise
выражения.
Теперь используйте генерала, решают, чтобы решить это уравнение:
solve(o)
В качестве альтернативы можно вызвать решатель ОДУ непосредственно:
ode::solve(y'(x) = y(x)^2, y(x))
Общие решения ОДУ содержат произвольные постоянные интегрирования. Решатель генерирует константы интегрирования с помощью формата прописной буквы C сопровождаемый автоматически сгенерированным номером. Например, это генерирует C1
C2
, и так далее.
Для ОДУ высшего порядка можно найти явные решения только для специальных типов уравнений. Например, следующее уравнение второго порядка имеет решение в терминах элементарных функций:
ode::solve(y''(x) = y(x), y(x))
Решатель вводит решение следующего уравнения в терминах Функций Бесселя. MuPAD® использует стандартные математические обозначения в функции Бесселя и других специальных функциях:
ode::solve(y''(x) = y'(x) + y(x)*exp(x), y(x))
Если у вас есть секунда - или ОДУ высшего порядка, нелинейное ОДУ или система ОДУ, символьное решение не всегда существует:
ode::solve(y''(x) = y'(x)^2 + y(x)*exp(x), y(x))
Для ОДУ, которые не могут быть решены символически, попытайтесь использовать числовые решатели.
Много проблем в разработке и физике связали дифференциальные уравнения решения с начальными условиями или граничными условиями или обоими. Чтобы задать начальные или граничные условия, создайте набор, содержащий уравнение и условия. Например, утвердите следующую задачу с начальными значениями путем определения ОДУ с начальными условиями:
IVP := ode({y''(x) = y(x), y(0) = 5, y'(0) = 1}, y(x))
Когда вы решаете ОДУ с начальными или граничными условиями, решатель настраивает константы интегрирования, чтобы соответствовать этим условиям:
solve(IVP)
Следующее уравнение имеет и начальные и граничные условия:
ode::solve({y'''(x) = y(x), y(0) = 0, y(5) = 1, y'(0) = 0}, y(x))
Каждое независимое условие удаляет одно постоянное интегрирование:
ode::solve({y'''(x) = y'(x)}, y(x))
ode::solve({y'''(x) = y'(x), y(0) = 0}, y(x))
ode::solve({y'''(x) = y'(x), y(0) = 0, y(1) = 1}, y(x))
ode::solve({y'''(x)=y'(x), y(0)=0, y(1)=1, y'(0)=1/2}, y(x))
Предположим, уравнение, которое вы хотите решить, принадлежит типу Клеро:
o:= ode(y(x) = x*y'(x) + y'(x)^3, y(x)): solve(o)
Решатель распознает тип уравнения и применяет алгоритм для решения уравнений Клеро. Чтобы улучшать производительность, вызовите решатель с опцией Type = Clairaut
:
solve(o, Type = Clairaut)
Решатель пытается распознать и пытается решить следующие классы ОДУ.
Ввод | Уравнение | Опция решателя ОДУ |
---|---|---|
Дифференциальное уравнение Абеля | Абель | |
Бернуллиевое дифференциальное уравнение | где n ≠ 0 и n ≠ 1 | Бернулли |
Дифференциальное уравнение Chini | Chini | |
Дифференциальное уравнение Клеро | Клеро | |
Точное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка | это может быть представлено как M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0 где | ExactFirstOrder |
Точное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка | , если первый интеграл превращает это уравнение в ОДУ первого порядка | ExactSecondOrder |
Линейное гомогенное обыкновенное дифференциальное уравнение | Dy = 0 , где D линейный дифференциальный оператор | Гомогенный |
Лагранжево дифференциальное уравнение | Лагранж | |
Дифференциальное уравнение Riccati | Riccati |
Если решатель не может идентифицировать уравнение с типом, вы указали, это выдает предупреждение и возвращает специальное значение FAIL
:
ode::solve(y'(x) + y(x) = x, y(x), Type = Homogeneous)
Warning: Unable to detect homogeneous ODE. [ode::homogeneous]
Чтобы решить систему дифференциальных уравнений, задайте систему как набор уравнений:
s := {y'(x) = z(x), z'(x) = y(x) + 2*z(x)}:
Вызовите ode::solve
функция, задающая набор функций {y (x), z (x)}, для которого вы хотите решить систему:
ode::solve(s, {y(x), z(x)})
Теперь предположите, что система дифференциальных уравнений появляется в матричной форме. Например, задайте систему, где A
B
, и Y
представляйте следующие матрицы:
Y:= matrix([x(t), y(t)]): A:= matrix([[1, 2], [-1, 1]]): B:= matrix([1, t]):
ode::solve
функция не принимает матрицы. Чтобы смочь использовать этот решатель, извлеките компоненты матрицы и включайте их в набор. Используйте op
функционируйте, чтобы извлечь уравнения из матрицы. Затем используйте фигурные скобки, чтобы создать набор уравнений. Можно не использовать правые стороны уравнений, в этом случае MuPAD принимает их, чтобы быть 0:
s := {op(diff(Y, t) - A*Y - B)}
Теперь задайте набор функций {x (t), y (t)}, для которого вы хотите решить систему. Решите систему:
ode::solve(s, {x(t), y(t)})
Если вы решаете несколько аналогичных систем обыкновенных дифференциальных уравнений в матричной форме, создаете ваш собственный решатель для этих систем, и затем используете его в качестве ярлыка. Решатель для таких систем должен быть функцией, которая принимает матрицы как входные параметры, и затем выполняет все необходимые шаги. Например, создайте решатель для системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в матричной форме, где компоненты функций зависят от переменной t
:
solveLinearSystem := (A, B, Y) -> solve(ode({op(diff(Y, t) - A*Y - B)}, {op(Y)})):
solveLinearSystem
функция принимает матрицы как входные параметры, создает матрицу уравнений, извлекает эти уравнения к набору и решает систему:
Y:= matrix([x(t), y(t)]): A:= matrix([[1, 2], [-3, 1]]): B:= matrix([2, t]): solveLinearSystem(A, B, Y)
Предположим, что вы хотите решить следующее уравнение. Решатель возвращает результаты как набор, даже если набор содержит только один элемент:
f := ode::solve({y''(x) = x*y'(x), y(0) = 0, y'(0) = 1/3}, y(x))
Функции построения графика в MuPAD не принимают наборы. Чтобы построить решение, получите доступ к элементам набора решения с помощью квадратных скобок или op
команда:
plotfunc2d(f[1], x = -3..3)
Если у вас есть больше чем один элемент набора решения, можно получить доступ к конкретному элементу. Например, выберите второй элемент набора решения для системы ОДУ:
f := ode::solve( {y'(x) = z(x), z'(x) = y(x) + 2*z(x), y(0) = 0, z(0) = 1}, {y(x), z(x)})
Решатель возвращает результаты для системы как набор, который содержит список. Чтобы открыть набор и получить доступ к списку, используйте квадратные скобки или op
команда. Чтобы получить доступ к конкретной записи этого списка, используйте квадратные скобки:
f[1][2]; op(f)[2]
Чтобы получить доступ к правой стороне уравнения, используйте квадратные скобки или rhs
команда:
f[1][2][2]; rhs(f[1][2])
Постройте это решение:
plotfunc2d(f[1][2][2], x = -1..1)
Чтобы построить решение системы ОДУ в 3-D, используйте plot::Curve3d
команда:
solution := plot::Curve3d([x, f[1][2][2], f[1][1][2]], x = -2..2, GridVisible): plot(solution)
MuPAD предоставляет функциям plot::Ode2d
и plot::Ode3d
для визуализации решений ОДУ. Кроме того, можно построить векторное поле, сопоставленное с ОДУ. Для всех графических возможностей, доступных в MuPAD, смотрите Графику и Анимации.