`plot`::`Ode2d`

2D графики решений для ОДУ

Блокноты MuPAD® будут демонтированы в будущем релизе. Используйте live скрипты MATLAB® вместо этого.

Live скрипты MATLAB поддерживают большую часть функциональности MuPAD, хотя существуют некоторые различия. Для получения дополнительной информации смотрите, Преобразуют Notebook MuPAD в Live скрипты MATLAB.

Синтаксис

plot::Ode2d(f, [t₀, t₁,...], Y₀, <[G₁, <Style = style₁>, <Color = c₁>], [G₂, <Style = style₂>, <Color = c₂>], …>, <method>, <RelativeError = rtol>, <AbsoluteError = atol>, <Stepsize = h>, <a = a_min .. a_max>, options)
plot::Ode2d(f, [Automatic, t_start, t_end, t_step], Y₀, <[G₁, <Style = style₁>, <Color = c₁>], [G₂, <Style = style₂>, <Color = c₂>],...>, <method>, <RelativeError = rtol>, <AbsoluteError = atol>, <Stepsize = h>, <a = a_min .. a_max>, options)
plot::Ode2d([t₀, t₁, …], f, Y₀, <[G₁, <Style = style₁>, <Color = c₁>], [G₂, <Style = style₂>, <Color = c₂>],...>, <method>, <RelativeError = rtol>, <AbsoluteError = atol>, <Stepsize = h>, <a = a_min .. a_max>, options)
plot::Ode2d([Automatic, t_start, t_end, t_step], f, Y₀, <[G₁, <Style = style₁>, <Color = c₁>], [G₂, <Style = style₂>, <Color = c₂>],...>, <method>, <RelativeError = rtol>, <AbsoluteError = atol>, <Stepsize = h>, <a = a_min .. a_max>, options)

Описание

_{plot::Ode2d(f, [t0, t1,...], Y0)} представляет двумерные проекции решений задачи с начальными значениями, данной f_t0 и _Y0.

_{plot::Ode2d(f, [t0, t1,...], Y0, [G])} вычисляет mesh числовых точек выборки Y (t ₀), Y (t ₁), … представление решения Y (t) дифференциального уравнения первого порядка (динамическая система)

Процедура

карты эти точки решения (t _i, Y (t _i)) в ℝ ×ℂⁿ к сетке 2D точек графика [x _i, y _i]. Эти точки могут быть соединены прямыми линиями или интерполирующими сплайнами.

Внутренне, последовательность числовых точек выборки

Y_1 := numeric::odesolve(f, t_0..t_1, Y_0, Options),

Y_2 := numeric::odesolve(f, t_1..t_2, Y_1, Options), и так далее

вычисляется, где Options некоторая комбинация method, RelativeError = rtol, AbsoluteError = atol, и Stepsize = h. Смотрите numeric::odesolve для получения дополнительной информации о векторной полевой процедуре f, начальное условие _Y0, и опции.

Служебная функция numeric::ode2vectorfield может использоваться, чтобы произвести входные параметры _{f, t0, Y0} от набора дифференциальных выражений, представляющих ОДУ. Смотрите Пример 1.

Каждый из “генераторов данных о графике” _G1, _G2 и т.д. создает графическую кривую решения из числовых точек выборки _Y0, _Y1, и так далее. Каждый генератор G внутренне называется в форме _{G(t0, Y0), G(t1, Y1),...} произвести последовательность графика указывает в 2D.

Решатель numeric::odesolve возвращается решение указывает _Y0, _Y1, и так далее, как списки или одномерные массивы (фактический тип определяется начальным значением _Y0). Следовательно, каждый генератор G должен принять два аргумента (t, Y)T действительный параметр, Y “вектор” (или список или 1-мерный массив).

Каждый генератор должен возвратить список с 2 элементами, представляющими (x, y), координаты графической точки, сопоставленной с решением, указывают (t, Y) из ОДУ. Все генераторы должны произвести графические данные той же размерности, то есть, 2D данные как списки с 2 элементами для plot::Ode2d. Вот некоторые примеры:

G := (t, Y) -> [t, Y_1] создает 2D график первого компонента вектора решения вдоль y - ось, построенная против переменной t времени вдоль x - ось
G := (t, Y) -> [Y_1, Y_2] создает 2D график фазы, строя первый компонент решения вдоль x - оси и второго компонента вдоль y - ось. Результатом является кривая решения в фазовом пространстве (параметризованный временем t).

Если никакие генераторы не даны, plot::Ode2d графиками по умолчанию все компоненты решения как функции времени, с помощью [Splines, Points] как стиль.

Обратите внимание на то, что произвольные значения, сопоставленные с кривой решения, могут быть отображены графически соответствующим генератором G. Смотрите пример 2.

Несколько генераторов _{G1, G2}, и так далее может быть задан, чтобы сгенерировать несколько кривых, сопоставленных с той же числовой mesh _{Y0, Y1, …}. Смотрите пример 1, пример 2 и пример 3.

Графические данные, произведенные каждым из генераторов _{G1, G2,...} состоит из последовательности точек mesh в 2D.

С Style = Points, графические данные отображены как дискретный набор точек.
С Style = Lines, точки графических данных отображены как кривая, состоящая из сегментов прямой линии между точками выборки. Сами точки не отображены.
С Style = Splines, точки графических данных отображены как сглаженная сплайновая кривая, соединяющая точки выборки. Сами точки не отображены.
С Style = [Splines, Points] и Style = [Lines, Points], эффекты используемых стилей объединены, то есть, и точки оценки и прямые линии, или сплайны, соответственно, отображены.

Атрибуты графика приняты plot::Ode2d включайте Submesh = n, где n является некоторым положительным целым числом. Этот атрибут только оказывает влияние на кривые, которые возвращены для графических генераторов с Style = Splines и Style = [Splines, Points], соответственно. Это служит для сглаживания графической сплайновой кривой с помощью достаточно высокого количества точек графика.

n количество точек графика между двумя последовательными числовыми точками, соответствующими mesh времени. Значением по умолчанию является n = 4, то есть, сплайны построены как пять сегментов прямой линии, соединяющих числовые точки выборки.

Атрибуты

Атрибут	Цель	Значение по умолчанию
`AbsoluteError`	максимальная абсолютная ошибка дискретизации
`AffectViewingBox`	влияние объектов на `ViewingBox` из сцены	`TRUE`
`AntiAliased`	сглаженные линии и точки?	`TRUE`
`Colors`	список цветов, чтобы использовать	[`RGB::Blue`, `RGB::Red`, `RGB::Green`, `RGB::MuPADGold`, `RGB::Orange`, `RGB::Cyan`, `RGB::Magenta`, `RGB::LimeGreen`, `RGB::CadmiumYellowLight`, `RGB::AlizarinCrimson`, `RGB::Aqua`, `RGB::Lavender`, `RGB::SeaGreen`, `RGB::AureolineYellow`, `RGB::Banana`, `RGB::Beige`, `RGB::YellowGreen`, `RGB::Wheat`, `RGB::IndianRed`, `RGB::Black`]
`Frames`	количество систем координат в анимации	50
`Function`	выражение function или процедура
`InitialConditions`	начальные условия ОДУ
`Legend`	делает запись легенды
`LegendText`	короткий объяснительный текст для легенды
`LegendEntry`	добавить этот объект в легенду?	`FALSE`
`LineWidth`	ширина линий	0.35
`LineStyle`	тело, подчеркнутые штриховой линией или пунктирные линии?	`Solid`
`LinesVisible`	видимость линий	`TRUE`
`Name`	имя объекта графика (для браузера и легенды)
`ODEMethod`	числовая схема, используемая в том, что решила ОДУ	`DOPRI78`
`ParameterEnd`	закончите значение параметра анимации
`ParameterName`	имя параметра анимации
`ParameterBegin`	начальное значение параметра анимации
`ParameterRange`	область значений параметра анимации
`PointSize`	размер точек	1.5
`PointStyle`	стиль презентации точек	`FilledCircles`
`PointsVisible`	видимость точек mesh	`TRUE`
`Projectors`	спроектируйте решение для ОДУ графических точек
`RelativeError`	максимальная относительная ошибка дискретизации
`Stepsize`	установите постоянный размер шага
`Submesh`	плотность подmesh (дополнительные точки выборки)	4
`TimeEnd`	время окончания анимации	10.0
`TimeMesh`	числовая mesh времени
`TimeBegin`	время начала анимации	0.0
`TimeRange`	оперативный промежуток анимации	0.0.. 10.0
`Title`	объектный заголовок
`TitleFont`	шрифт объектных заголовков	[`" sans-serif "`, 11]
`TitlePosition`	положение объектных заголовков
`TitleAlignment`	выравнивание по горизонтали заголовков w.r.t. их координаты	`Center`
`TitlePositionX`	положение объектных заголовков, x компонент
`TitlePositionY`	положение объектных заголовков, y компонент
`USubmesh`	плотность дополнительных точек выборки для параметра “u”	4
`Visible`	видимость	`TRUE`
`VisibleAfter`	объект, видимый после этой временной стоимости
`VisibleBefore`	объект, видимый до этой временной стоимости
`VisibleFromTo`	объект, видимый в это время, располагается
`VisibleAfterEnd`	объект, видимый после его законченного времени анимации?	`TRUE`
`VisibleBeforeBegin`	объект, видимый перед его временем анимации, запускается?	`TRUE`

Примеры

Пример 1

Следующая процедура f вместе с начальным значением Y0 представляйте задачу с начальными значениями, Y (0) = 2. В MuPAD^® одномерный векторный Y представлен списком с одним элементом. Тело функционального f ниже адресов первое (и только) запись этого списка как _Y1 и возвращает одномерный векторный t Y - Y ² как список с одним элементом. Также начальное условие _Y0 одномерный вектор, представленный списком. Для получения дополнительной информации на формате f, смотрите numeric::odesolve:

f := (t, Y) -> [t*Y[1] - Y[1]^2]: 
Y0 := [2]:

В качестве альтернативы служебная функция numeric::ode2vectorfield может использоваться, чтобы сгенерировать входные параметры более интуитивным способом:

[f, t0, Y0] := [numeric::ode2vectorfield(
      {y'(t) = t*y(t) - y(t)^2, y(0) = 2}, [y(t)])]

Числовое решение состоит в том, чтобы состоять из точек выборки по mesh времени t _i = i, i = 0, 1, …, 10. Мы используем генератор по умолчанию plot::Ode2d. Это генерирует точки выборки вместе со сглаженной сплайновой кривой, соединяющей эти точки:

p := plot::Ode2d(f, [$ 0..10], Y0,
                 PointSize = 2*unit::mm,
                 PointStyle = Stars):

Наконец, решение для оды представляется вызовом plot:

plot(p, TicksDistance = 2.0, GridVisible = TRUE, 
     SubgridVisible = TRUE):

Пример 2

Рассмотрите нелинейный генератор. Как динамическая система для, решите следующую задачу с начальными значениями, Y (0) = Y ₀. Для получения дополнительной информации на формате f, смотрите numeric::odesolve:

f := (t, Y) -> [Y[2], - Y[1]^7]: 
Y0 := [1, 0]:

Следующий генератор производит график решения Y (t) против параметра времени t:

G1 := (t, Y) -> [t, Y[1]]:

В демонстрационных целях постройте функцию. Генератор G2 производит значения вдоль решения и строит эти значения против t:

G2 := (t, Y) -> [t, Y[1]^2/2 + Y[2]^2/2]:

Энергетическая функция или “гамильтониан”, должна быть сохранена вдоль кривой решения, потому что полная энергия системы является постоянной. Задайте соответствующий генератор G3 построить как функция t:

G3 := (t, Y) -> [t, Y[1]^8/8 + Y[2]^2/2]:

Кривая решения объединена с графиком функции и гамильтониана:

p := plot::Ode2d(f, [i/2 $ i = 0..40], Y0,
                 [G1, Style = Lines, Color = RGB::Red],
                 [G1, Style = Points, Color = RGB::Black],
                 [G2, Style = Lines, Color = RGB::Blue],
                 [G2, Style = Points, Color = RGB::Black],
                 [G3, Style = Lines, Color = RGB::Green],
                 [G3, Style = Points, Color = RGB::Black],
                 PointSize = 1.5*unit::mm,
                 LineWidth = 0.2*unit::mm
                ):

Обратите внимание на то, что при помощи каждого генератора дважды, можно выбрать различные цвета для линий и точек. Средство отображения называется:

plot(p):

Гамильтонов G3 является постоянным, который проверяет точность интегратора.

Чтобы визуализировать зависимость траектории на начальных условиях, анимируйте plot::Ode2d по различным значениям:

plot(plot::Ode2d(f, [i/6 $ i = 0..120], [1, a], a = -1/2..1/2,
                 [G1, Style = Lines, Color = RGB::Red],
                 [G2, Style = Lines, Color = RGB::Blue],
                 [G3, Style = Lines, Color = RGB::Green],
                 LineWidth = 0.2*unit::mm, Frames=25))

Пример 3

Рассмотрите задачу с начальными значениями, y (0) = 0:

f := (t, y) -> t*sin(t + y^2): Y0:= [0]:

Используйте numeric::ode2vectorfield чтобы сгенерировать следующее векторное поле, которое является касательной к кривым решения:

p1 := plot::VectorField2d([1, f(t, y)], t = 0..4, y = -1.2..1.2,
                          Mesh = [21, 25], Color = RGB::Black):

Следующий объект представляет график решения как функция t:

p2 := plot::Ode2d(
   (t,Y) -> [f(t, Y[1])], [i/3 $ i=0..12], Y0,
   [(t, Y) -> [t, Y[1]], Style = Points, Color = RGB::Red],
   [(t, Y) -> [t, Y[1]], Style = Splines, Color = RGB::Blue]):

Задайте размер точки явным образом:

p2::PointSize := 2*unit::mm:

Наконец, объедините векторное поле и график ОДУ к сцене и вызовите средство отображения:

plot(p1, p2, XTicksDistance = 0.5, YTicksDistance = 0.2,
     Axes = Frame, AxesTitles = ["t", "y"], 
     GridVisible = TRUE):

Пример 4

По умолчанию, numeric::odesolve (который используется plot::Ode2d внутренне), использует адаптивные размеры шага и метод порядка 8. Обычно, нет никакой причины изменить эти настройки, за исключением демонстративных целей. В следующей анимации используйте прямой явный Метод Эйлера (первого порядка) и покажите, как уменьшение размера шага улучшает качество расчетного решения.

Дифференциальное уравнение, очевидно, выполнено показательной функцией:

[f, t0, Y0] := [numeric::ode2vectorfield(
                   {y'(t)=y(t), y(0)=1}, [y(t)])]:

Чтобы судить качество числового решения, постройте символьное решение вместе с приближением:

plot(plot::Function2d(exp(x), x=0..3,
                      Color = RGB::Black, LineStyle = Dashed),
     plot::Ode2d(f, [Automatic, 0, 3, 1/n], Y0, n = 1..50,
                 EULER1, Stepsize = 1/n,
                 [(t, Y) -> [t, Y[1]], Style=[Lines, Points]]))

Параметры

`f`	Векторное поле ОДУ: процедура. Смотрите `numeric::odesolve` для деталей. `f` эквивалентно атрибуту `Function`.
`_{t0, t1, …}`	Mesh времени: действительные численные значения. Если данные отображены с `Style = Splines`, эти значения должны быть в порядке возрастания. `_t0_t1`, … эквивалентен атрибуту `TimeMesh`.
`_tstart`, `_tend`, `_tstep`	Mesh времени: действительные численные значения. `_tend` должно быть больше, чем `_tstart` и `_tstep` должно быть положительным и должен быть меньшим, чем t _e nd - t _s tart. `_tstart`, `_tend`, `_tstep` эквивалентны атрибуту `TimeMesh`.
`_Y0`	Начальное условие ОДУ: список или 1-мерный массив. Смотрите `numeric::odesolve`. `_Y0` эквивалентно атрибуту `InitialConditions`.
`_{G1, G2, …}`	“генераторы отображают данные на графике”: процедуры, сопоставляющие решение, указывают `(t, Y(t))` к списку `[x, y]` или `[x, y, z]` представление графика указывает в 2D или 3D, соответственно. `_G1`, `_G2`, … эквивалентен атрибуту `Projectors`.
`method`	Используйте определенную числовую схему (см. `numeric::odesolve`)
`a`	Параметр анимации, заданный как `a` `_{= amin..amax}`, где `_amin` начальное значение параметров и `_amax` итоговое значение параметров.

Опции

`Style`	Опция, заданная как `Style = style` Устанавливает стиль, в котором отображены данные о графике. Следующие стили доступны: `PointsСтроки`, `Splines`, `[Lines, Points]`, и `[Splines, Points]`. Стилем по умолчанию является `[Splines, Points]`.
`Color`	Опция, заданная как `Color = c` Выбирает цвет RGB `c` в котором отображены данные о графике. Цветом по умолчанию i th генератор является i th запись атрибута `Colors`.
`RelErr`	Опция, заданная как `RelErr = rtol` Устанавливает числовой допуск дискретизации (см. `numeric::odesolve`)
`AbsErr`	Опция, заданная как `AbsErr = atol` Устанавливает числовой допуск дискретизации (см. `numeric::odesolve`)
`Stepsize`	Опция, заданная как `Stepsize = h` Устанавливает постоянный stepsize (см. `numeric::odesolve`)

Смотрите также

Функции MuPAD

numeric::ode2vectorfield | numeric::odesolve | numeric::odesolve2

MuPAD графические примитивы

plot::Curve2d | plot::Curve3d | plot::Ode3d | plot::PointList2d | plot::PointList3d | plot::Polygon2d | plot::Polygon3d | plot::Streamlines2d

Документация