MMSE Прогнозирование моделей условных отклонений

Каковы прогнозы MMSE?

Общей целью моделирования условных отклонений является создание прогнозов для процесса условных отклонений в будущем временном горизонте. То есть, учитывая процесс условной дисперсии $_{}^{}_{}^{}_{}^{}$ σ12,σ22,...,σN2 и горизонт прогноза h, генерируют предсказания ${для}_{startN}^{} +_{12,}^{} startN +_{22}^{,} .$ .., startN + h2.

Пусть ${\overset{}{λ}}_{^t}^{}$ + 12 обозначает прогноз дисперсии в момент времени t + 1, обусловленный историей процесса до времени _t, Ht. Прогноз минимальной среднеквадратической погрешности (MMSE) - это ${\overset{}{}}_{прогноз}^{}$ 12, который минимизирует условные ожидаемые квадратные потери,

$E (_{startt}^{+} {\overset{12}{}}_{-}^{λ}^_{} t$ + 12 | Ht).

Минимизация этой функции потерь дает прогноз MMSE,

${\overset{}{λ}}_{^t}^{} + 12_{=}^{E} (_{} startt +_{12 |}^{} {Ht}_{)} =$ E (αt + 12 | Ht).

Прогнозы EGARCH MMSE

Для модели EGARCH прогноз MMSE найден для условного отклонения журнала,

${\overset{}{logλ}}_{^t}^{} + 12 =_{E (}^{}_{} logstartt$ + 12 | Ht).

Для прогнозов условных отклонений процессов EGARCH, forecast возвращает прогноз условных отклонений в журнале MMSE с возведением в степень,

${\overset{}{λ}}_{^t}^{} + 12 = {\overset{exp}{}}_{{}^{} logλ$ ^ t + 12}.

Это приводит к незначительному отклонению прогноза из-за неравенства Дженсена,

$E (_{startt}^{+} 12) ≥exp{E_{(}^{} logstartt$ + 12)}.

В качестве альтернативы прогнозированию MMSE можно проводить моделирование Монте-Карло для прогнозирования процессов EGARCH. Моделирование Монте-Карло дает объективные прогнозы для моделей EGARCH. Однако прогнозы Монте-Карло подвержены ошибке Монте-Карло (которую можно уменьшить, увеличив размер выборки моделирования).

Как `forecast` Создание прогнозов MMSE

forecast функция создает прогнозы MMSE рекурсивно. При звонке forecast, необходимо указать предварительные примеры ответов Y0, и при необходимости можно указать условные отклонения предварительной выборки V0 с использованием 'V0' аргумент пары имя-значение. Если прогнозируемая модель включает среднее смещение, сигнализируемое ненулевым значением Offset собственность, forecast вычитает элемент смещения из ответов предварительной выборки для создания инноваций предварительной выборки.

Чтобы начать прогнозирование с конца наблюдаемой серии, скажем Y, использовать последние несколько наблюдений Y в качестве предварительных ответов Y0 для инициализации прогноза. Минимальное количество ответов предварительного отбора, необходимых для инициализации прогнозирования, хранится в свойстве Q модели.

При указании условных отклонений предварительной выборки V0минимальное количество предварительных условных отклонений, необходимых для инициализации прогнозирования, хранится в свойстве P для моделей GARCH (P, Q) и GJR (P, Q). Для моделей EGARCH (P, Q) минимальное количество предварительных условных отклонений, необходимых для инициализации прогнозирования, равно max (P, Q).

Обратите внимание, что для всех моделей отклонений, если вы предоставляете по крайней мере max (P, Q) + P presample response observationsY0, forecast выводит любые необходимые условные отклонения предварительной выборки V0 для тебя. Если вы предоставляете предварительные наблюдения, но меньше, чем max (P, Q) + P,forecast задает любые необходимые условные отклонения предварительной выборки, равные безусловной дисперсии модели.

Модель GARCH

forecast функция создает прогнозы MMSE для моделей GARCH рекурсивно.

Рассмотрите возможность создания прогнозов для модели GARCH (1,1), $_{}_{}_{}$

$_{}^{startt2} = {start+}_{}_{}^{} γ 1startt_{−}_{12}^{+}$ α1αt − 12.

Учитывая предтиповые инновации $_{εT}$ и предтиповое условное различие $_{}^{σT2},$ прогнозы рекурсивно произведены следующим образом:

${\overset{}{λ}}_{^T}^{} + 12_{} =_{}^{start+}_{}_{}^{}$ γ 1startT2 + α1αT2
${\overset{}{δ}}_{^T}^{} + 22_{} {\overset{}{=/γ}}_{+}^{}_{1 ^} {\overset{}{}}_{T}^{+}$ 12 + α1λ ^ T + 12
${\overset{}{δ}}_{^T}^{} + 32_{} {\overset{}{=/γ}}_{+}^{}_{1 ^} {\overset{}{}}_{T}^{+}$ 22 + α1λ ^ T + 22

$⋮$

Обратите внимание, что инновации прогнозируются с использованием идентификатора

$E (_{αt}^{+}_{12} | {Ht}_{) =}^{} E_{(} startt {\overset{+}{}}_{12}^{} |$ Ht) = λ ^ t + 12.

Эта рекурсия сходится к безусловной дисперсии процесса,

$_{}^{} \frac{}{_{}_{}} σε2=κ(1-γ1-α1).$

Модель GJR

forecast функция создает прогнозы MMSE для моделей GJR рекурсивно.

Рассмотрите возможность формирования прогнозов для модели GJR (1,1), $_{} αt_{=}_{}$ starttzt, $_{где}^{} startt2_{=}_{start+}^{}_{} {γ 1startt}_{-}^{} 12_{+}_{α1αt} - 12_{+}^{}$ ξ1I [αt − 1 < 0] αt − 12. ${Учитывая}_{}$ предтиповые инновации εT и ${предтиповое}_{}^{}$ условное различие σT2, прогнозы рекурсивно произведены следующим образом:

${\overset{}{λ}}_{^T}^{} + 12_{} {\overset{}{=}}_{λ}^{} +_{}_{γ 1λ}^{}^_{} T2 +_{}_{α1εT2}^{}$ + ξ1I [αT < 0] εT2
${\overset{}{}}_{}^{σ^T+22} =κ_{} {\overset{}{}}_{}^{+γ1σ^T+12}_{} {\overset{}{}}_{}^{} \frac{}{}_{} {\overset{}{}}_{}^{+α1σ^T+12+12ξ1σ^T+12}$
${\overset{}{λ}}_{^T}^{} + 32_{} {\overset{}{=}}_{start+}^{}_{γ 1λ} {\hat{}}_{T}^{+} \frac{}{22}_{+} {\overset{}{}}_{α1λ}^{^}$ T + 22 + 12

$⋮$

Обратите внимание, что ожидаемое значение индикатора составляет 1/2 для инновационного процесса со средним нулем и что инновации прогнозируются с использованием идентичности.

$E (_{αt}^{+}_{12} | {Ht}_{) =}^{} E_{(} startt {\overset{+}{}}_{12}^{} |$ Ht) = λ ^ t + 12.

Эта рекурсия сходится к безусловной дисперсии процесса,

$_{}^{} \frac{}{_{}_{} \frac{}{}_{}} σε2=κ(1-γ1-α1-12ξ1).$

Модель EGARCH

forecast функция создает прогнозы MMSE для моделей EGARCH рекурсивно. Прогнозы первоначально создаются для условных отклонений журнала, а затем в степени для прогнозирования условных отклонений. Это приводит к незначительному отклонению прогноза.

Рассмотрите возможность создания прогнозов для модели EGARCH (1,1), $_{}_{}_{}$

$_{}^{logstartt2} = {start+}_{}_{}^{} γ 1logstartt_{−} \frac{12_{+}}{_{α1 [}} | αt \frac{-_{}}{{1startt}_{-}} 1 | -_{} \frac{E_{{|}}{_{αt}} -$ 1startt − 1 |}] + start1αt − 1startt − 1.

Форма термина ожидаемого значения зависит от выбора распределения инноваций, гауссова или студенческой т. Учитывая предпечатную инновацию $_{δ T}$ и $_{}^{σT2}$ условной дисперсии, прогнозы рекурсивно генерируются следующим образом:

${\overset{}{logλ}}_{^T}^{} + 12_{} = start+_{}^{}_{} \frac{_{}}{{γ 1logstartT2}_{}} + α1 \frac{[_{|}}{_{}} αTstartT |_{} \frac{-_{}}{E_{}}$ {| αTstartT |}] +
${\overset{}{logλ}}_{^T}^{} + 22_{} = start+ {\overset{}{}}_{}^{}$ γ 1logλ ^ T + 12
${\overset{}{logλ}}_{^T}^{} + 32_{} = start+ {\overset{}{}}_{}^{}$ γ 1logλ ^ T + 22

$⋮$

Обратите внимание, что будущие абсолютные стандартизированные инновации и будущие инновации заменяются ожидаемой ценностью. Это означает, что как условия ARCH, так и условия левериджа равны нулю для всех прогнозов, которые зависят от будущих инноваций. Эта рекурсия сходится к безусловной логарифмической дисперсии процесса,

$_{}^{logstartα2} \frac{= (}{_{1}} -$ γ 1).

forecast возвращает возведенные в степень прогнозы, $\exp {{\overset{logλ}{}}_{^}^{T} + 12}, {\overset{exp}{}}_{{}^{} logλ^$ T + 22},..., которые имеют предел

$\exp \frac{{}{start(1_{} -}$ γ 1)}.

См. также

Объекты

egarch | garch | gjr

Функции

forecast

Связанные примеры

Подробнее

Монте-Карло Прогнозирование моделей условных отклонений

Документация