Создание значения по умолчанию gjr и укажите значения его параметров с помощью точечной нотации.

Создайте модель GJR (0,0).

Mdl = gjr

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(0,0) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 0
               Q: 0
        Constant: NaN
           GARCH: {}
            ARCH: {}
        Leverage: {}
          Offset: 0

Mdl является gjr объект модели. Он содержит неизвестную константу, его смещение равно 0, и распространение инноваций 'Gaussian'. Модель не имеет многочленов GARCH, ARCH или рычагов.

Укажите два неизвестных коэффициента ARCH и коэффициенты левериджа для лагов 1 и 2, используя точечную нотацию.

Mdl.ARCH = {NaN NaN};
Mdl.Leverage = {NaN NaN};
Mdl

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(0,2) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 0
               Q: 2
        Constant: NaN
           GARCH: {}
            ARCH: {NaN NaN} at lags [1 2]
        Leverage: {NaN NaN} at lags [1 2]
          Offset: 0

Q, ARCH, и Leverage свойства обновляются до 2, {NaN NaN}, и {NaN NaN}соответственно. Два коэффициента ARCH и коэффициента левериджа связаны с лагами 1 и 2.

Создать gjr объект модели с использованием краткой нотации gjr(P,Q), где P - степень полинома GARCH и Q - степень ARCH и многочленов рычагов.

Создайте модель GJR (3,2).

Mdl = gjr(3,2)

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(3,2) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 3
               Q: 2
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN NaN NaN} at lags [1 2 3]
            ARCH: {NaN NaN} at lags [1 2]
        Leverage: {NaN NaN} at lags [1 2]
          Offset: 0

Mdl является gjr объект модели. Все свойства Mdl, за исключением P, Q, и Distributionявляются NaN значения. По умолчанию программное обеспечение:

Mdl указывает только функциональную форму модели GJR. Поскольку он содержит неизвестные значения параметров, его можно передать Mdl и данные временных рядов для estimate для оценки параметров.

Создать gjr модель с использованием аргументов пары имя-значение.

Укажите модель GJR (1,1).

Mdl = gjr('GARCHLags',1,'ARCHLags',1,'LeverageLags',1)

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 1
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN} at lag [1]
            ARCH: {NaN} at lag [1]
        Leverage: {NaN} at lag [1]
          Offset: 0

Mdl является gjr объект модели. Программа устанавливает для всех параметров значение NaN, за исключением P, Q, Distribution, и Offset (который является 0 по умолчанию).

С тех пор Mdl содержит NaN значения, Mdl подходит только для оценки. Проход Mdl и данные временных рядов для estimate.

Создание модели GJR (1,1) со средним смещением

где $${}_{\mathrm{\alpha t}}{=}_{}{}_{}$$starttzt,

и $${}_{\mathrm{zt}}$$ является независимым и одинаково распределенным стандартным гауссовым процессом.

Mdl = gjr('Constant',0.0001,'GARCH',0.35,...
    'ARCH',0.1,'Offset',0.5,'Leverage',{0.03 0 0.01})

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(1,3) Conditional Variance Model with Offset (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 1
               Q: 3
        Constant: 0.0001
           GARCH: {0.35} at lag [1]
            ARCH: {0.1} at lag [1]
        Leverage: {0.03 0.01} at lags [1 3]
          Offset: 0.5

gjr присваивает значения по умолчанию любым свойствам, которые не указаны с аргументами пары имя-значение. Альтернативным способом определения компонента рычагов является 'Leverage',{0.03 0.01},'LeverageLags',[1 3].

Доступ к свойствам gjr объект модели с использованием точечной нотации.

Создать gjr объект модели.

Mdl = gjr(3,2)

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(3,2) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 3
               Q: 2
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN NaN NaN} at lags [1 2 3]
            ARCH: {NaN NaN} at lags [1 2]
        Leverage: {NaN NaN} at lags [1 2]
          Offset: 0

Удалите второй член GARCH из модели. То есть указать, что коэффициент GARCH второй задержанной условной дисперсии равен 0.

Mdl.GARCH{2} = 0

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(3,2) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution)"
    Distribution: Name = "Gaussian"
               P: 3
               Q: 2
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN NaN} at lags [1 3]
            ARCH: {NaN NaN} at lags [1 2]
        Leverage: {NaN NaN} at lags [1 2]
          Offset: 0

Полином GARCH имеет два неизвестных параметра, соответствующих лагам 1 и 3.

Просмотрите распределение возмущений.

Mdl.Distribution

ans = struct with fields:
    Name: "Gaussian"

Возмущения являются гауссовыми со средним значением 0 и дисперсией 1.

Укажите, что нижележащие возмущения имеют распределение t с пятью степенями свободы.

Mdl.Distribution = struct('Name','t','DoF',5)

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(3,2) Conditional Variance Model (t Distribution)"
    Distribution: Name = "t", DoF = 5
               P: 3
               Q: 2
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN NaN} at lags [1 3]
            ARCH: {NaN NaN} at lags [1 2]
        Leverage: {NaN NaN} at lags [1 2]
          Offset: 0

Укажите, что коэффициенты ARCH равны 0,2 для первого запаздывания и 0,1 для второго запаздывания.

Mdl.ARCH = {0.2 0.1}

Mdl = 
  gjr with properties:

     Description: "GJR(3,2) Conditional Variance Model (t Distribution)"
    Distribution: Name = "t", DoF = 5
               P: 3
               Q: 2
        Constant: NaN
           GARCH: {NaN NaN} at lags [1 3]
            ARCH: {0.2 0.1} at lags [1 2]
        Leverage: {NaN NaN} at lags [1 2]
          Offset: 0

Чтобы оценить остальные параметры, можно пройти Mdl и ваши данные для оценки и использования указанных параметров в качестве ограничений равенства. Можно также указать остальные значения параметров, а затем смоделировать или спрогнозировать условные отклонения из модели GARCH, передав полностью указанную модель в simulate или forecastсоответственно.

Подгонка модели GJR к годовому временному ряду доходности индекса цен на акции от 1861-1970.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера. Преобразование годовых индексов котировок акций (SP) к возвратам. Постройте график возврата.

load Data_NelsonPlosser;
sp = price2ret(DataTable.SP);

figure;
plot(dates(2:end),sp);
hold on;
plot([dates(2) dates(end)],[0 0],'r:'); % Plot y = 0
hold off;
title('Returns');
ylabel('Return (%)');
xlabel('Year');
axis tight;

Возвратный ряд, по-видимому, не имеет условного среднего смещения и, по-видимому, демонстрирует кластеризацию волатильности. То есть изменчивость меньше для более ранних лет, чем для более поздних. В этом примере предположим, что модель GJR (1,1) подходит для этой серии.

Создайте модель GJR (1,1). По умолчанию среднее условное смещение равно нулю. По умолчанию программа включает константу модели условного отклонения.

Mdl = gjr('GARCHLags',1,'ARCHLags',1,'LeverageLags',1);

Подгоните модель GJR (1,1) к данным.

EstMdl = estimate(Mdl,sp);

 
    GJR(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                     Value      StandardError    TStatistic     PValue 
                   _________    _____________    __________    ________

    Constant       0.0045728      0.0044199        1.0346       0.30086
    GARCH{1}         0.55808           0.24        2.3253      0.020057
    ARCH{1}          0.20461        0.17886         1.144       0.25263
    Leverage{1}      0.18066        0.26802       0.67406       0.50027

EstMdl является полностью указанным gjr объект модели. То есть он не содержит NaN значения. Можно оценить адекватность модели, генерируя остатки с помощью infer, а затем их анализ.

Для моделирования условных отклонений или откликов передайте EstMdl кому simulate.

Чтобы прогнозировать инновации, проходите EstMdl кому forecast.

Моделирование условного отклонения или путей отклика из полностью указанного gjr объект модели. То есть смоделировать из оценочного gjr модель или известная gjr в которой задаются все значения параметров.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера. Преобразование годовых индексов котировок акций в доходность.

load Data_NelsonPlosser;
sp = price2ret(DataTable.SP);

Создайте модель GJR (1,1). Поместите модель в серию возврата.

Mdl = gjr(1,1);
EstMdl = estimate(Mdl,sp);

 
    GJR(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                     Value      StandardError    TStatistic     PValue 
                   _________    _____________    __________    ________

    Constant       0.0045728      0.0044199        1.0346       0.30086
    GARCH{1}         0.55808           0.24        2.3253      0.020057
    ARCH{1}          0.20461        0.17886         1.144       0.25263
    Leverage{1}      0.18066        0.26802       0.67406       0.50027

Моделирование 100 путей условных отклонений и откликов из расчетной модели GJR.

numObs = numel(sp); % Sample size (T)
numPaths = 100;     % Number of paths to simulate
rng(1);             % For reproducibility
[VSim,YSim] = simulate(EstMdl,numObs,'NumPaths',numPaths);

VSim и YSim являются Tоколо- numPaths матрицы. Строки соответствуют периоду выборки, а столбцы - моделируемому пути.

Постройте график среднего значения и 97,5% и 2,5% процентилей моделируемых путей. Сравните статистику моделирования с исходными данными.

dates = dates(2:end);
VSimBar = mean(VSim,2);
VSimCI = quantile(VSim,[0.025 0.975],2);
YSimBar = mean(YSim,2);
YSimCI = quantile(YSim,[0.025 0.975],2);

figure;
subplot(2,1,1);
h1 = plot(dates,VSim,'Color',0.8*ones(1,3));
hold on;
h2 = plot(dates,VSimBar,'k--','LineWidth',2);
h3 = plot(dates,VSimCI,'r--','LineWidth',2);
hold off;
title('Simulated Conditional Variances');
ylabel('Cond. var.');
xlabel('Year');
axis tight;

subplot(2,1,2);
h1 = plot(dates,YSim,'Color',0.8*ones(1,3));
hold on;
h2 = plot(dates,YSimBar,'k--','LineWidth',2);
h3 = plot(dates,YSimCI,'r--','LineWidth',2);
hold off;
title('Simulated Nominal Returns');
ylabel('Nominal return (%)');
xlabel('Year');
axis tight;
legend([h1(1) h2 h3(1)],{'Simulated path' 'Mean' 'Confidence bounds'},...
    'FontSize',7,'Location','NorthWest');

Прогнозировать условные отклонения от полностью указанного gjr объект модели. То есть прогноз от оценочного gjr модель или известная gjr в которой задаются все значения параметров.

Загрузите набор данных Нельсона-Плоссера. Преобразование годовых индексов котировок акций (SP) к возвратам.

load Data_NelsonPlosser;
sp = price2ret(DataTable.SP);

Создайте модель GJR (1,1) и поместите ее в серию возврата.

Mdl = gjr('GARCHLags',1,'ARCHLags',1,'LeverageLags',1);
EstMdl = estimate(Mdl,sp);

 
    GJR(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
 
                     Value      StandardError    TStatistic     PValue 
                   _________    _____________    __________    ________

    Constant       0.0045728      0.0044199        1.0346       0.30086
    GARCH{1}         0.55808           0.24        2.3253      0.020057
    ARCH{1}          0.20461        0.17886         1.144       0.25263
    Leverage{1}      0.18066        0.26802       0.67406       0.50027

Прогнозирование условного отклонения номинальной серии возврата на 10 лет в будущее с использованием расчетной модели GJR. Укажите весь ряд возвращаемых значений в качестве предварительных наблюдений. Программа выводит предварительные условные отклонения с использованием предварительных наблюдений и модели.

numPeriods = 10;
vF = forecast(EstMdl,numPeriods,sp);

Постройте график прогнозируемых условных отклонений номинальной доходности. Сравните прогнозы с наблюдаемыми условными отклонениями.

v = infer(EstMdl,sp);
nV = size(v,1);
dates = dates((end - nV + 1):end);

figure;
plot(dates,v,'k:','LineWidth',2);
hold on;
plot(dates(end):dates(end) + 10,[v(end);vF],'r','LineWidth',2);
title('Forecasted Conditional Variances of Returns');
ylabel('Conditional variances');
xlabel('Year');
axis tight;
legend({'Estimation Sample Cond. Var.','Forecasted Cond. var.'},...
    'Location','NorthWest');