Прогнозирование условных отклонений от моделей условных отклонений
V = forecast(Mdl,numperiods,Y0)numperiods последовательные прогнозируемые условные отклонения V полностью указанной одномерной модели условного отклонения Mdl. Модель Mdl может быть garch, egarch, или gjr объект модели. Предварительные данные ответа Y0 инициализирует модель для создания прогнозов.
V = forecast(Mdl,numperiods,Y0,Name,Value)
Прогнозирование условного отклонения смоделированных данных на 30-периодном горизонте.
Моделирование 100 наблюдений из модели GARCH (1,1) с известными параметрами .
Mdl = garch('Constant',0.02,'GARCH',0.8,'ARCH',0.1); rng default; % For reproducibility [v,y] = simulate(Mdl,100);
Прогнозирование условных отклонений по 30-периодному горизонту с использованием и без использования смоделированных данных в качестве предварительных инноваций. Постройте графики прогнозов.
vF1 = forecast(Mdl,30,'Y0',y); vF2 = forecast(Mdl,30); figure plot(v,'Color',[.7,.7,.7]) hold on plot(101:130,vF1,'r','LineWidth',2); plot(101:130,vF2,':','LineWidth',2); title('Forecasted Conditional Variances') legend('Observed','Forecasts with Presamples',... 'Forecasts without Presamples','Location','NorthEast') hold off
Прогнозы, сделанные без использования предварительных инноваций, равны безусловной дисперсии инноваций. Прогнозы, сделанные с использованием предварительных инноваций, асимптотически сходятся к безусловной дисперсии инноваций.
Прогнозирование условного отклонения смоделированных данных на 30-периодном горизонте.
Моделирование 100 наблюдений из модели EGARCH (1,1) с известными параметрами .
Mdl = egarch('Constant',0.01,'GARCH',0.6,'ARCH',0.2,... 'Leverage',-0.2); rng default; % For reproducibility [v,y] = simulate(Mdl,100);
Прогнозирование условного отклонения по 30-периодному горизонту с использованием и без использования смоделированных данных в качестве предварительных инноваций. Постройте графики прогнозов.
Vf1 = forecast(Mdl,30,y); Vf2 = forecast(Mdl,30); figure plot(v,'Color',[.7,.7,.7]) hold on plot(101:130,Vf1,'r','LineWidth',2); plot(101:130,Vf2,':','LineWidth',2); title('Forecasted Conditional Variances') legend('Observed','Forecasts with Presamples',... 'Forecasts without Presamples','Location','NorthEast') hold off
Прогнозы, сделанные без использования предварительных инноваций, равны безусловной дисперсии инноваций. Прогнозы, сделанные с использованием предварительных инноваций, асимптотически сходятся к безусловной дисперсии инноваций.
Прогнозирование условного отклонения смоделированных данных на 30-периодном горизонте.
Моделирование 100 наблюдений из модели GJR (1,1) с известными параметрами .
Mdl = gjr('Constant',0.01,'GARCH',0.6,'ARCH',0.2,... 'Leverage',0.2); rng default; % For reproducibility [v,y] = simulate(Mdl,100);
Прогнозирование условных отклонений по 30-периодному горизонту с использованием и без использования смоделированных данных в качестве предварительных инноваций. Постройте графики прогнозов.
vF1 = forecast(Mdl,30,'Y0',y); vF2 = forecast(Mdl,30); figure plot(v,'Color',[.7,.7,.7]) hold on plot(101:130,vF1,'r','LineWidth',2); plot(101:130,vF2,':','LineWidth',2); title('Forecasted Conditional Variances') legend('Observed','Forecasts with Presamples',... 'Forecasts without Presamples','Location','NorthEast') hold off
Прогнозы, сделанные без использования предварительных инноваций, равны безусловной дисперсии инноваций. Прогнозы, сделанные с использованием предварительных инноваций, асимптотически сходятся к безусловной дисперсии инноваций.
Спрогнозировать условную дисперсию возвратов NASDAQ Composite Index за 500-дневный горизонт с использованием моделей GARCH (1,1), EGARCH (1,1) и GJR (1,1).
Загрузите данные NASDAQ, включенные в набор инструментов. Преобразовать индекс в возвращаемые значения. Постройте график возврата.
load Data_EquityIdx
nasdaq = DataTable.NASDAQ;
r = price2ret(nasdaq);
T = length(r);
meanR = mean(r)meanR = 4.7771e-04
figure; plot(dates(2:end),r,dates(2:end),meanR*ones(T,1),'--r'); datetick; title('Daily NASDAQ Returns'); xlabel('Day'); ylabel('Return');
Дисперсия ряда, похоже, меняется. Это изменение является показателем кластеризации волатильности. Среднее условное смещение модели очень близко к нулю.
Подберите модели GARCH (1,1), EGARCH (1,1) и GJR (1,1) к данным. По умолчанию среднее условное смещение модели устанавливается равным нулю.
MdlGARCH = garch(1,1); MdlEGARCH = egarch(1,1); MdlGJR = gjr(1,1); EstMdlGARCH = estimate(MdlGARCH,r);
GARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
Value StandardError TStatistic PValue
__________ _____________ __________ __________
Constant 2.0101e-06 5.4314e-07 3.7008 0.0002149
GARCH{1} 0.8833 0.0084528 104.5 0
ARCH{1} 0.10919 0.007662 14.251 4.4112e-46
EstMdlEGARCH = estimate(MdlEGARCH,r);
EGARCH(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
Value StandardError TStatistic PValue
_________ _____________ __________ __________
Constant -0.13494 0.022096 -6.1073 1.0134e-09
GARCH{1} 0.98389 0.0024225 406.15 0
ARCH{1} 0.19964 0.013964 14.297 2.2804e-46
Leverage{1} -0.060242 0.005646 -10.67 1.4065e-26
EstMdlGJR = estimate(MdlGJR,r);
GJR(1,1) Conditional Variance Model (Gaussian Distribution):
Value StandardError TStatistic PValue
__________ _____________ __________ __________
Constant 2.4568e-06 5.6828e-07 4.3231 1.5385e-05
GARCH{1} 0.88144 0.009478 92.998 0
ARCH{1} 0.06394 0.0091771 6.9674 3.2293e-12
Leverage{1} 0.088909 0.0099025 8.9784 2.7468e-19
Прогнозирование условного отклонения на 500 дней с использованием соответствующих моделей. Используйте наблюдаемые результаты в качестве предварительных инноваций для прогнозов.
vFGARCH = forecast(EstMdlGARCH,500,r); vFEGARCH = forecast(EstMdlEGARCH,500,r); vFGJR= forecast(EstMdlGJR,500,r);
Постройте график прогнозов вместе с условными отклонениями, выведенными из данных.
vGARCH = infer(EstMdlGARCH,r); vEGARCH = infer(EstMdlEGARCH,r); vGJR = infer(EstMdlGJR,r); datesFH = dates(end):(dates(end)+1000); % 1000 period forecast horizon figure; subplot(3,1,1); plot(dates(end-250:end),vGARCH(end-250:end),'b',... datesFH(2:end-500),vFGARCH,'b--'); legend('Inferred','Forecast','Location','NorthEast'); title('GARCH(1,1) Conditional Variances'); datetick; axis tight; subplot(3,1,2); plot(dates(end-250:end),vEGARCH(end-250:end),'r',... datesFH(2:end-500),vFEGARCH,'r--'); legend('Inferred','Forecast','Location','NorthEast'); title('EGARCH(1,1) Conditional Variances'); datetick; axis tight; subplot(3,1,3); plot(dates(end-250:end),vGJR(end-250:end),'k',... datesFH(2:end-500),vFGJR,'k--'); legend('Inferred','Forecast','Location','NorthEast'); title('GJR(1,1) Conditional Variances'); datetick; axis tight;
Постройте график прогнозов условных отклонений на 1000 дней.
vF1000GARCH = forecast(EstMdlGARCH,1000,r); vF1000EGARCH = forecast(EstMdlEGARCH,1000,r); vF1000GJR = forecast(EstMdlGJR,1000,r); figure; plot(datesFH(2:end),vF1000GARCH,'b',... datesFH(2:end),vF1000EGARCH,'r',... datesFH(2:end),vF1000GJR,'k'); legend('GARCH','EGARCH','GJR','Location','NorthEast'); title('Conditional Variance Forecast Asymptote') datetick;
Прогнозы асимптотически сходятся к безусловным отклонениям их соответствующих процессов.
Секциями временной базы для прогнозирования являются два непересекающихся, смежных интервала временной базы; каждый интервал содержит данные временных рядов для прогнозирования динамической модели. Прогнозный период (горизонт прогноза) является numperiods length partition в конце временной базы, в течение которой forecast генерирует прогнозы V из динамической модели Mdl. Период предварительной выборки - это весь раздел, происходящий до периода прогноза. forecast может потребовать наблюдаемых ответов (или инноваций) Y0 или условные отклонения V0 в период предварительного отбора для инициализации динамической модели для прогнозирования. Структура модели определяет типы и объемы требуемых предварительных наблюдений.
Обычной практикой является подгонка динамической модели к части набора данных, а затем проверка предсказуемости модели путем сравнения ее прогнозов с наблюдаемыми ответами. Во время прогнозирования период предварительной выборки содержит данные, которым соответствует модель, а период прогноза содержит выборку с удержанием для проверки. Предположим, что yt является наблюдаемым рядом ответов. Рассмотреть возможность прогнозирования условных отклонений из динамической модели yt
numperiods = K периодов. Предположим, что динамическая модель соответствует данным в интервале [1,T - K] (дополнительные сведения см. в разделе estimate). На этом рисунке показаны разделы временной базы для прогнозирования.
Например, для создания прогнозов Y из модели GARCH (0,2 ),forecast требуется предварительный отбор ответов (инновации) Y0 = − K] ′ для инициализации модели. Прогноз на 1 период вперед требует обоих наблюдений, в то время как прогноз на 2 периода вперед требует yT - K и прогноз на 1 период впередV(1). forecast генерирует все другие прогнозы путем замены предыдущих прогнозов на запаздывающие ответы в модели.
Для динамических моделей, содержащих компонент GARCH, может потребоваться предварительная выборка условных отклонений. Учитывая достаточное количество предварительных ответов, forecast выводит требуемые условные отклонения предварительной выборки. На этом рисунке показаны массивы необходимых для этого случая наблюдений с соответствующими входными и выходными аргументами.
Если модель условного отклонения Mdl имеет смещение (Mdl.Offset), forecast вычитает его из указанных ответов предварительного отбора Y0 для получения предварительных инноваций E0. Впоследствии, forecast использование E0 для инициализации модели условного отклонения для прогнозирования.
forecast задает количество путей выборки для прогноза numpaths максимальное количество столбцов среди наборов данных предварительной выборки Y0 и V0. Все наборы данных предварительного отбора должны иметь либо numpaths > 1 столбец или один столбец. В противном случае forecast выдает ошибку. Например, если Y0 имеет пять столбцов, представляющих пять путей, затем V0 может иметь либо пять столбцов, либо один столбец. Если V0 имеет один столбец, затем forecast применяется V0 к каждому пути.
NaN значения в наборах данных предварительной выборки указывают на отсутствие данных. forecast удаляет отсутствующие данные из наборов данных предварительной выборки в соответствии с этой процедурой:
forecast горизонтальная конкатенация указанных наборов данных предварительного отбора Y0 и V0 таким образом, что последние наблюдения происходят одновременно. Результатом может быть массив с зазубринами, поскольку наборы данных предварительной выборки могут иметь разное количество строк. В этом случае forecast подготавливает переменные с соответствующим количеством нулей для формирования матрицы.
forecast применяет удаление на основе списка к комбинированной матрице предварительного отбора путем удаления всех строк, содержащих по крайней мере одну NaN.
forecast извлекает обработанные наборы данных предварительной выборки из результата шага 2 и удаляет все добавленные нули.
Удаление на основе списка уменьшает размер выборки и может создавать нерегулярные временные ряды.
[1] Боллерслев, Т. «Обобщенная авторегрессионная условная гетероскедастичность». Журнал эконометрики. Том 31, 1986, стр. 307-327.
[2] Боллерслев, Т. «Условно гетероскедастическая модель временных рядов для спекулятивных цен и ставок доходности». Обзор экономики и статистики. Том 69, 1987, стр. 542-547.
[3] Бокс, Г. Э. П., Г. М. Дженкинс и Г. К. Рейнсель. Анализ временных рядов: прогнозирование и контроль. 3-й ред. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис Холл, 1994.
[4] Enders, W. Applied Econometric Time Series. Хобокен, Нью-Джерси: John Wiley & Sons, 1995.
[5] Энгл, Р. Ф. «Авторегрессивная условная гетероскедастичность с оценками дисперсии инфляции Соединенного Королевства». Эконометрика. Том 50, 1982, стр. 987-1007.
[6] Глостен, Л. Р., Р. Джаганнатан и Д. Э. Ранкл. «О связи между ожидаемой стоимостью и волатильностью номинальной избыточной доходности акций». Финансовый журнал. т. 48, № 5, 1993, с. 1779-1801.
[7] Гамильтон, Дж. Д. Анализ временных рядов. Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, 1994.
[8] Нельсон, Д. Б. «Условная гетероскедастичность в возвратах активов: новый подход». Эконометрика. Том 59, 1991, стр. 347-370.