Exponenta Banner
exponenta event banner

Моделирование состояний изменяющегося во времени состояния-пространственная модель с использованием моделирования более плавного

Открыть сценарий

В этом примере генерируются данные из известной модели, подгоняется модель пространства состояния к данным, а затем моделируются ряды из подогнанной модели с помощью более плавного моделирования.

Предположим, что скрытый процесс содержит модель AR (2) и MA (1). Существует 50 периодов, и процесс MA (1) выпадает из модели для последних 25 периодов. Уравнение состояния для первых 25 периодов

$$\begin{array}{l}
{x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}}\\
{x_{2,t}} = {u_{2,t}} + 0.6{u_{2,t - 1}},
\end{array}$$

и за последние 25 периодов, это

$${x_{1,t}} = 0.7{x_{1,t - 1}} - 0.2{x_{1,t - 2}} + {u_{1,t}},$$

где$u_{1,t}$ и$u_{2,t}$ являются гауссовыми со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Предполагая, что серия начинается с 1,5 и 1 соответственно, генерируйте случайную серию из 50 наблюдений из$x_{1,t}$ и.$x_{2,t}$

T = 50;
ARMdl = arima('AR',{0.7,-0.2},'Constant',0,'Variance',1);
MAMdl = arima('MA',0.6,'Constant',0,'Variance',1);
x0 = [1.5 1; 1.5 1];
rng(1);
x = [simulate(ARMdl,T,'Y0',x0(:,1)),...
    [simulate(MAMdl,T/2,'Y0',x0(:,2));nan(T/2,1)]];

Последние 25 значений для моделируемых данных MA (1): NaN значения.

Предположим далее, что скрытые процессы измеряются с помощью

$${y_t} = 2\left( {{x_{1,t}} + {x_{2,t}}} \right) + {\varepsilon _t},$$

за первые 25 периодов, и

$${y_t} = 2{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}$$

для последних 25 периодов, где$\varepsilon_t$ - гауссов со средним значением 0 и стандартным отклонением 1.

Использовать процесс случайного скрытого состояния (x) и уравнение наблюдения для генерации наблюдений.

y = 2*sum(x','omitnan')'+randn(T,1);

В совокупности скрытый процесс и уравнения наблюдения составляют модель состояния-пространства. Предполагая, что коэффициенты являются неизвестными параметрами, модель state-space является

$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}\\
{{x_{3,t}}}\\
{{x_{4,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0\\
0&0&0&{{\theta _1}}\\
0&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&0\\
0&1\\
0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{u_{1,t}}}\\
{{u_{2,t}}}
\end{array}} \right]\\
{y_t} = a({x_{1,t}} + {x_{3,t}}) + {\varepsilon _t}
\end{array}$$

за первые 25 периодов,

$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}&0&0\\
1&0&0&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}\\
{{x_{3,t - 1}}}\\
{{x_{4,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$

на период 26, и

$$\begin{array}{l}
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t}}}\\
{{x_{2,t}}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{\phi _1}}&{{\phi _2}}\\
1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_{1,t - 1}}}\\
{{x_{2,t - 1}}}
\end{array}} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1\\
0
\end{array}} \right]{u_{1,t}}\\
{y_t} = b{x_{1,t}} + {\varepsilon _t}
\end{array}$$

за последние 24 периода.

Запись функции, указывающей, как параметры в params сопоставить с матрицами модели state-space, начальными значениями состояния и типом состояния.


% Copyright 2015 The MathWorks, Inc.

function [A,B,C,D,Mean0,Cov0,StateType] = AR2MAParamMap(params,T)
%AR2MAParamMap Time-variant state-space model parameter mapping function
%
% This function maps the vector params to the state-space matrices (A, B,
% C, and D), the initial state value and the initial state variance (Mean0
% and Cov0), and the type of state (StateType). From periods 1 to T/2, the
% state model is an AR(2) and an MA(1) model, and the observation model is
% the sum of the two states. From periods T/2 + 1 to T, the state model is
% just the AR(2) model.
    A1 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0; 0 0 0 params(3); 0 0 0 0]};
    B1 = {[1 0; 0 0; 0 1; 0 1]}; 
    C1 = {params(4)*[1 0 1 0]};
    Mean0 = ones(4,1);
    Cov0 = 10*eye(4);
    StateType = [0 0 0 0];
    A2 = {[params(1) params(2) 0 0; 1 0 0 0]};
    B2 = {[1; 0]};
    A3 = {[params(1) params(2); 1 0]};
    B3 = {[1; 0]}; 
    C3 = {params(5)*[1 0]};
    A = [repmat(A1,T/2,1);A2;repmat(A3,(T-2)/2,1)];
    B = [repmat(B1,T/2,1);B2;repmat(B3,(T-2)/2,1)];
    C = [repmat(C1,T/2,1);repmat(C3,T/2,1)];
    D = 1;
end

Сохранить этот код как файл с именем AR2MAParamMap на пути MATLAB ®.

Создание модели состояния-пространства путем передачи функции AR2MAParamMap как дескриптор функции для ssm.

Mdl = ssm(@(params)AR2MAParamMap(params,T));

ssm неявно создает модель state-space. Обычно невозможно проверить неявно определенную модель пространства состояния.

Смоделировать один путь состояний из Mdl с помощью сглаживания моделирования. Укажите, что функция преобразования параметра в матрицу имеет семь выходных аргументов. Также укажите неизвестные значения параметров.

simParams = [0.48 0.0081 0.56 1.63 1.9];
X = simsmooth(Mdl,y,'NumOut',7,'Params',simParams);

X является T-по-1 клеточный вектор моделируемых состояний. Клетки 1-25 содержат векторы 4-на-1, а клетки 26-на-50 содержат векторы 2-на-1.

Доступ к ячейке с помощью индексации ячейки, например доступ к ячейке 5 с помощью X{5}.

simStatesPeriod5 = X{5}

simStatesPeriod5 =

   -1.7591
   -1.5404
   -1.5171
   -1.1417

См. также

| | | |

Связанные примеры

Подробнее

Документация по инструментарию Econometrics

Поддержка