Проблемы оптимизации портфеля включают в себя выявление портфелей, удовлетворяющих трем критериям:
Минимизация прокси для риска.
Сопоставить или превысить прокси для возврата.
Удовлетворять основным требованиям к выполнимости.
Портфели представляют собой элементы возможного набора активов, составляющих совокупность активов. Портфель определяет либо активы, либо веса в каждом отдельном активе во вселенной активов. Соглашение предусматривает определение портфелей с точки зрения веса, хотя инструменты оптимизации портфеля также работают с холдингами.
Набор возможных портфелей обязательно является непустым, закрытым и ограниченным набором. Прокси для риска - это функция, характеризующая либо изменчивость, либо потери, связанные с выбором портфеля. Прокси для возврата - это функция, характеризующая либо валовые, либо чистые выгоды, связанные с выбором портфеля. Термины «risk» и «risk proxy» и «return» и «return proxy» являются взаимозаменяемыми. Фундаментальное понимание Марковица (см. Оптимизация портфеля) заключается в том, что целью проблемы выбора портфеля является поиск минимального риска для данного уровня доходности и поиск максимальной доходности для данного уровня риска. Портфели, удовлетворяющие этим критериям, являются эффективными портфелями, и график рисков и доходности этих портфелей формирует кривую, называемую эффективной границей.
Для определения задачи оптимизации портфеля необходимо следующее:
Прокси-сервер для возврата портфеля (мкс)
Прокси для портфельного риска (λ)
Набор возможных портфелей (X), называемый набором портфелей
Финансовая Toolbox™ имеет три объекта для решения конкретных типов задач оптимизации портфеля:
Portfolio объект поддерживает оптимизацию портфеля средних отклонений (см. Markowitz [46], [47] в Portfolio Optimization). Этот объект имеет либо валовую, либо чистую доходность портфеля в качестве прокси возврата, отклонение доходности портфеля в качестве прокси риска и набор портфеля, который представляет собой любую комбинацию указанных ограничений для формирования набора портфеля.
PortfolioCVaR объект реализует так называемую оптимизацию портфеля «условная стоимость под угрозой» (см. Rockafellar и Uryasev [48], [49] в Portfolio Optimization), которая обычно называется оптимизацией портфеля CVaR. Оптимизация портфеля CVaR работает с теми же прокси-серверами возврата и наборами портфеля, что и оптимизация портфеля со средним отклонением, но использует условную стоимость - риск возврата портфеля в качестве прокси-сервера риска.
PortfolioMAD объект реализует так называемую оптимизацию портфеля со средним абсолютным отклонением (см. Konno and Yamazaki [50] в Portfolio Optimization), которая называется оптимизацией портфеля MAD. Оптимизация портфеля MAD работает с теми же доверенными лицами возврата и наборами портфеля, что и оптимизация портфеля среднего отклонения, но использует доходность портфеля среднего абсолютного отклонения в качестве прокси риска.
Прокси для возврата портфеля - это функция, на набора портфеля, которая характеризует вознаграждения, связанные с выбором портфеля. Обычно прокси для возврата портфеля имеет две общие формы: валовая и чистая доходность портфеля. Обе формы возврата портфеля разделяют безрисковую ставку r0, так что портфеля содержит только рискованные активы.
Независимо от базового распределения возвратов основных средств, коллекция возвратов основных средств S y1,...,yS имеет среднее значение возвратов основных средств.
и (выборка) ковариации возврата активов
− m) Т.
Эти моменты (или альтернативные оценки, характеризующие эти моменты) используются непосредственно при оптимизации портфеля средних отклонений для формирования прокси-серверов для риска портфеля и возврата.
Валовая доходность портфеля для портфеля составляет
r01) Tx,
где:
r0 - безрисковая скорость (скаляр).
m - среднее значение возврата активов (вектор n).
Если веса портфеля суммируются с 1, безрисковая ставка не имеет значения. Свойства в Portfolio объект для определения валовой доходности портфеля:
RiskFreeRate для r0
AssetMean для м
Чистая доходность портфеля для портфеля составляет
− sTmax {0, x0 − x},
где:
r0 - безрисковая скорость (скаляр).
m - среднее значение возврата активов (вектор n).
b - пропорциональные затраты на приобретение активов (вектор n).
s - пропорциональная стоимость продажи активов (вектор n).
В эту модель также можно включить фиксированные операционные затраты. Хотя в этом случае необходимо включать цены в такие затраты. Свойства в Portfolio объект для указания чистой доходности портфеля:
RiskFreeRate для r0
AssetMean для м
InitPort для x0
BuyCost для b
SellCost для s
Прокси для портфельного риска - это функция, на портфельного набора, которая характеризует риски, связанные с выбором портфеля.
Отклонение доходности портфеля для портфеля составляет
xTCx
где C - ковариация возврата активов (nоколо-n положительно-полудефинированная матрица). Ковариация является мерой степени, в которой доходность двух активов перемещается в тандеме. Положительная ковариация означает, что доходность активов движется вместе; отрицательная ковариация означает, что они различаются обратно.
Свойство в Portfolio объект для определения отклонения доходности портфеля: AssetCovar для С.
Хотя прокси риска при оптимизации портфеля средних отклонений является дисперсией доходности портфеля, квадратный корень, который является стандартным отклонением доходности портфеля, часто сообщается и отображается. Причем это количество часто называют «риском» портфеля. Дополнительные сведения см. в разделе Марковиц (оптимизация портфеля).
Условная стоимость для которая также известна как ожидаемый дефицит, определяется как
y) p (y) dy,
где:
α - уровень вероятности, такой, что 0 < α < 1.
f (x, y) - функция потерь для портфеля x и возврата активов y.
p (y) - функция плотности вероятности для возврата активов y.
VaRα - величина риска портфеля x на уровне вероятности α.
Значение риска определяется как
) ≤γ]≥α}.
Альтернативный состав для CVaR имеет форму:
(x))} p (y) dy
Выбор для уровня вероятности α обычно составляет 0,9 или 0,95. Выбор α подразумевает, что стоимость VaRα (x) для портфеля x является доходностью портфеля, так что вероятность возврата портфеля ниже этого уровня составляет (1 –α). Учитывая VaRα (x) для портфеля x, условной стоимостью риска портфеля является ожидаемая потеря доходности портфеля выше доходности риска.
Примечание
Значение риска является положительным значением для потерь, так что уровень вероятности α указывает вероятность того, что доходность портфеля ниже отрицательного значения риска.
Чтобы описать распределение вероятности возвращаемых результатов, PortfolioCVaR объект берет конечную выборку сценариев возврата ys, с s = 1..., S. Каждый ys является n вектором, который содержит результаты для каждого из n активов в сценарии. Этот образец S сценариев хранится в виде матрицы сценариев размера S-by-n. Затем прокси риска для оптимизации портфеля CVaR для данного и портфеля
S∑s=1Smax{0,−ysTx−VaRα (x)}
Значение риска VaRα (x) оценивается всякий раз, когда оценивается CVaR. Функция потерь - − ysTx, которая является портфельной потерей по сценарию s.
В соответствии с этим определением, VaR и CVaR являются оценщиками выборки для VaR и CVaR на основе заданных сценариев. Лучшие выборки сценариев дают более надежные оценки VaR и CVaR.
Для получения дополнительной информации см. Rockafellar и Uryasev [48], [49], и Cornuejols and Tütüncü, [51], в Portfolio Optimization.
Среднее абсолютное отклонение (MAD) для портфеля определяется как
m) Tx |
где:
ys - возврат активов со сценариями s = 1,...S (коллекция S n векторов).
f (x, y) - функция потерь для портфеля x и возврата активов y.
m - среднее значение возврата активов (вектор n).
такой, что
Для получения дополнительной информации см. Konno and Yamazaki [50] в разделе Оптимизация портфеля.