optByMertonFFT

Цена опциона по Merton76 модели с использованием FFT и FRFT

Синтаксис

[Price, StrikeOut] (цена, AssetPrice, Settlement, Maturity, OptSpec, Strike, Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq)

[Цена, StrikeOut] = optByMertonFFT (___, Имя, Стоимость)

Описание

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq) вычисляет цену ванильного европейского опциона по Merton76 модели, используя методы Carr-Madan FFT и Chourdakis FRFT.

пример

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(___,Name,Value) добавляет необязательные аргументы пары имя-значение.

Примеры

свернуть все

Рабочий процесс печати поверхности цены опциона с использованием модели Merton76

Открыть сценарий в реальном времени

Использовать optByMertonFFT для калибровки страйк-сетки БПФ, вычисления цен опционов и построения графика поверхности цен опционов.

Определение переменных опций и параметров модели Merton76

AssetPrice = 80;
Rate = 0.03;
DividendYield = 0.02;
OptSpec = 'call';

Sigma = 0.16;
MeanJ = 0.02;
JumpVol = 0.08;
JumpFreq = 2;

Расчет опционных цен для всей страйк-сетки БПФ (или FRFT) без указания «страйк»

Вычислите цены опционов, а также выведите соответствующие страйки. Если Strike вход пуст ( [] ), цены опционов будут рассчитываться по всей страйк-сетке FFT (или FRFT). Ударная сетка БПФ (или БПФ) определяется как exp(log-strike grid), где каждый столбец сетки log-strike имеет NumFFT точки с LogStrikeStep интервалы, которые грубо центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice). Значение по умолчанию для NumFFT равно 2 ^ 12. В дополнение к ценам в первом выпуске, дополнительный последний выпуск содержит соответствующие страйки.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)

% Compute option prices for the entire FFT strike grid
[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);

% Show the lowest and highest strike values on the FFT strike grid
format
MinStrike = Kout(1) % Lowest possible strike in the current FFT strike grid

MinStrike = 2.9205e-135

MaxStrike = Kout(end) % Highest possible strike in the current FFT strike grid

MaxStrike = 1.8798e+138

% Show a subset of the strikes and corresponding option prices
Range = (2046:2052);
[Kout(Range) Call(Range)]

ans = 7×2

   50.4929   29.4645
   58.8640   21.2601
   68.6231   12.2218
   80.0000    4.5600
   93.2631    0.9579
  108.7251    0.1236
  126.7505    0.0113

Изменение количества точек БПФ (или БПФ) и сравнение с optByMertonNI

Попробуйте использовать другое количество точек БПФ (или БПФ) и сравните результаты с прямым числовым интегрированием. В отличие от этого,optByMertonFFT, который использует методы FFT (или FRFT) для быстрого вычисления по всему спектру ударов, optByMertonNI функция использует прямое численное интегрирование, и обычно она медленнее, особенно при многократных ударах. Однако значения, вычисленные optByMertonNI может служить эталоном для корректировки настроек для optByMertonFFT.

% Try a smaller number of FFT (or FRFT) points 
% (e.g. for faster performance or smaller memory footprint)
NumFFT = 2^10; % Smaller than the default value of 2^12
Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT strike grid)
[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT);

% Compare with numerical integration method
Range = (510:516);
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike     CallFFT       CallNI         Error  
    ______    _________    ___________    _________

    12.696       66.328         66.696      0.36786
    23.449       55.922         56.103      0.18071
    43.312       36.481         36.536     0.055233
        80       4.7387           4.56      0.17867
    147.76     0.046602      0.0008089     0.045793
    272.93    0.0092842    -7.0709e-08    0.0092842
    504.11    0.0024041    -2.4515e-07    0.0024044

Дальнейшие корректировки БПФ (или БПФ)

Если значения в выходных данных CallFFT значительно отличаются от таковых в CallNI, попробуйте внести коррективы в optByMertonFFT настройки, такие как CharacteristicFcnStep, LogStrikeStep, NumFFT, DampingFactorи так далее. Обратите внимание, что если (LogStrikeStep * CharacteristicFcnStep) равно 2 * pi/NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Strike = []; % Strike is not specified (will use the entire FFT or FRFT strike grid)
[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001);

% Compare with numerical integration method
Strike = Kout(Range);
CallFFT = Call(Range);
CallNI = optByMertonNI(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield);
Error = abs(CallFFT-CallNI);
table(Strike, CallFFT, CallNI, Error)

ans=7×4 table
    Strike    CallFFT    CallNI      Error   
    ______    _______    ______    __________

    79.76      4.674      4.674    4.9664e-10
    79.84     4.6358     4.6358    4.9651e-10
    79.92     4.5978     4.5978    4.9642e-10
       80       4.56       4.56    4.9641e-10
    80.08     4.5224     4.5224    4.9642e-10
    80.16      4.485      4.485     4.965e-10
    80.24     4.4478     4.4478     4.966e-10

% Save the final FFT (or FRFT) strike grid for future reference. For
% example, it provides information about the range of Strike inputs for
% which the FFT (or FRFT) operation is valid.
FFTStrikeGrid = Kout;
MinStrike = FFTStrikeGrid(1) % Strike cannot be less than MinStrike

MinStrike = 47.9437

MaxStrike = FFTStrikeGrid(end) % Strike cannot be greater than MaxStrike

MaxStrike = 133.3566

Вычислить опционную цену для одной забастовки

После определения требуемых настроек БПФ (или БПФ) используйте Strike ввод для указания ударов вместо предоставления пустого массива. Если указанные удары не совпадают со значением на сетке ударов БПФ (или FRFT), выходные данные интерполируются на указанных ударах.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = 80; 

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001)

Call = 4.5600

Расчет опционных цен для вектора забастовок

Используйте Strike ввод для указания ударов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 6);
Strike = (76:2:84)';

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001)

Расчет опционных цен для вектора ударов и вектора дат одинаковой длины

Используйте Strike ввод для указания ударов. Также, Maturity ввод может быть вектором, но он должен соответствовать длине Strike вектор, если ExpandOutput аргумент пары имя-значение не установлен в значение "true".

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, [12 18 24 30 36]); % Five maturities
Strike = [76 78 80 82 84]'; % Five strikes

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001) % Five values in vector output

Развернуть выходные данные поверхности

Установите ExpandOutput аргумент пары имя-значение для "true" для расширения выходных данных в NStrikesоколо-NMaturities матрицы. В этом случае они являются квадратными матрицами.

[Call, Kout] = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 5) matrix output

Call = 5×5

    8.5589    9.9675   11.1343   12.1492   13.0464
    7.4844    8.9439   10.1481   11.1939   12.1181
    6.5125    8.0023    9.2316   10.2999   11.2449
    5.6401    7.1402    8.3827    9.4653   10.4249
    4.8630    6.3545    7.5990    8.6881    9.6565

Kout = 5×5

    76    76    76    76    76
    78    78    78    78    78
    80    80    80    80    80
    82    82    82    82    82
    84    84    84    84    84

Расчет опционных цен для вектора ударов и вектора дат различной длины

Когда ExpandOutput является "true", NStrikes не обязательно соответствовать NMaturities. То есть выход NStrikesоколо-NMaturities матрица может быть прямоугольной.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*(0.5:0.5:3)'); % Six maturities
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 6) matrix output

Call = 5×6

    6.7411    8.5589    9.9675   11.1343   12.1492   13.0464
    5.5762    7.4844    8.9439   10.1481   11.1939   12.1181
    4.5600    6.5125    8.0023    9.2316   10.2999   11.2449
    3.6891    5.6401    7.1402    8.3827    9.4653   10.4249
    2.9551    4.8630    6.3545    7.5990    8.6881    9.6565

Расчет опционных цен для вектора забастовок и вектора цен активов

Когда ExpandOutput является "true", выходной сигнал также может быть NStrikesоколо-NAssetPrices прямоугольная матрица путем принятия вектора цен активов.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12); % Single maturity
ManyAssetPrices = [70 75 80 85]; % Four asset prices
Strike = (76:2:84)'; % Five strikes

Call = optByMertonFFT(Rate, ManyAssetPrices, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, ...
    'ExpandOutput', true) % (5 x 4) matrix output

Call = 5×4

    3.4187    5.6579    8.5589   12.0417
    2.8538    4.8401    7.4844   10.7343
    2.3718    4.1205    6.5125    9.5230
    1.9635    3.4922    5.6401    8.4090
    1.6198    2.9476    4.8630    7.3921

Печать поверхности цены опциона

Используйте Strike ввод для указания ударов. Увеличить значение для NumFFT поддерживать более широкий спектр ударов. Также, Maturity входным может быть вектор. Набор ExpandOutput кому "true" для вывода поверхности в виде NStrikesоколо-NMaturities матрица.

Settle = datenum('29-Jun-2017');
Maturity = datemnth(Settle, 12*[1/12 0.25 (0.5:0.5:3)]');
Times = yearfrac(Settle, Maturity);
Strike = (2:2:200)';

% Increase 'NumFFT' to support a wider range of strikes
NumFFT = 2^13;

Call = optByMertonFFT(Rate, AssetPrice, Settle, Maturity, OptSpec, Strike, ...
    Sigma, MeanJ, JumpVol, JumpFreq, 'DividendYield', DividendYield, 'NumFFT', NumFFT, ...
    'CharacteristicFcnStep', 0.065, 'LogStrikeStep', 0.001, 'ExpandOutput', true);

[X,Y] = meshgrid(Times,Strike);

figure;
surf(X,Y,Call);
title('Price');
xlabel('Years to Option Expiry');
ylabel('Strike');
view(-112,34);
xlim([0 Times(end)]);
zlim([0 80]);

Figure contains an axes. The axes with title Price contains an object of type surface.

Входные аргументы

свернуть все

`Rate` - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

Непрерывно складываемая безрисковая процентная ставка, заданная как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

Текущая базовая цена актива, указанная как числовое значение с использованием скаляра или NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для AssetPrice, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double

`Settle` - Дата расчета опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

Дата расчета опциона, указанная как NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор с использованием серийных номеров дат, векторов символов даты, массивов даты и времени или строковых массивов. Settle дата должна быть до Maturity дата.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для Settle, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`Maturity` - Дата погашения опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

Дата погашения опциона, указанная как NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор с использованием серийных номеров дат, векторов символов даты, массивов даты и времени или строковых массивов.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для Maturity, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double | char | datetime | string

`OptSpec` - Определение опциона
массив ячеек символьного вектора со значениями `'call'` или `'put'` | строковый массив со значениями `"call"` или `"put"`

Определение опции, указанной как NINSTоколо-1 или NColumnsоколо-1 вектор с использованием массива ячеек из символьных векторов или строковых массивов со значениями 'call' или 'put'.

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для OptSpec, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: cell | string

`Strike` - Цена страйка опциона
числовой

Цена страйка опциона, указанная как NINSTоколо-1, NRowsоколо-1, NRowsоколо-NColumns вектор ударных цен.

Если этот вход является пустым массивом ([]), цены опционов вычисляются по всей страйк-сетке FFT (или FRFT), которая определяется как exp(log-strike grid). Каждый столбец сетки log-strike имеет'NumFFT' точки с 'LogStrikeStep' интервалы, которые грубо центрированы вокруг каждого элемента log(AssetPrice).

Дополнительные сведения о соответствующих размерах для Strike, см. аргумент пара имя-значение ExpandOutput.

Типы данных: double

`Sigma` - Волатильность базового актива
числовой

Волатильность недоделанного актива, определяемая как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`MeanJ` - Среднее значение случайного процентного размера скачка
десятичное число

Среднее значение случайного процентного размера перехода (J), указанное как скалярное десятичное значение, где log(1 + J) обычно распределяется со средним (log(1+MeanJ)-0.5*JumpVol^ 2) и стандартное отклонениеJumpVol.

Типы данных: double

`JumpVol` - Стандартное отклонение `log`(1 + J)
десятичное число

Стандартное отклонение log(1 + J) гдеJ - случайный размер перехода в процентах, заданный как скалярное десятичное значение.

Типы данных: double

`JumpFreq` - Ежегодная частота процесса перехода Пуассона
числовой

Годовая частота процесса перехода Пуассона, заданная как скалярное числовое значение.

Типы данных: double

Аргументы пары «имя-значение»

Укажите дополнительные пары, разделенные запятыми Name,Value аргументы. Name является именем аргумента и Value - соответствующее значение. Name должен отображаться внутри кавычек. Можно указать несколько аргументов пары имен и значений в любом порядке как Name1,Value1,...,NameN,ValueN.

Пример:

[Price,StrikeOut] = optByMertonFFT(Rate,AssetPrice,Settle,Maturity,OptSpec,Strike,Sigma,MeanJ,JumpVol,JumpFreq,'Basis',7)

`'Basis'` - Дневная основа прибора
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`,`1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

Количество дней прибора, указанное как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'Basis' и скаляр, использующий поддерживаемое значение:

0 = факт/факт
1 = 30/360 (SIA)
2 = фактически/360
3 = факт/365
4 = 30/360 (PSA)
5 = 30/360 (ISDA)
6 = 30/360 (европейский)
7 = факт/365 (японский)
8 = факт/факт (ICMA)
9 = факт/360 (ICMA)
10 = факт/365 (ICMA)
11 = 30/360E (ICMA)
12 = факт/365 (ISDA)
13 = BUS/252

Дополнительные сведения см. в разделе Базис.

Типы данных: double

`'DividendYield'` - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов
`0` (по умолчанию) | числовые

Постоянно смешанная базовая доходность активов, указанная как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'DividendYield' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции признака
`4096` (по умолчанию) | числовые

Количество точек сетки в переменной характеристической функции и в каждом столбце сетки log-strike, указанной как разделенная запятыми пара, состоящая из 'NumFFT' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'CharacteristicFcnStep'` - Переменный шаг сетки характеристической функции
`0.01` (по умолчанию) | числовые

Переменная шаг сетки характеристической функции, указанная как разделенная запятыми пара, состоящая из 'CharacteristicFcnStep' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'LogStrikeStep'` - Интервал между решетками каротажа
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | числовые

Интервал сетки log-strike, указанный как разделенная запятыми пара, состоящая из 'LogStrikeStep' и скалярное числовое значение.

Примечание

Если (LogStrikeStep*CharacteristicFcnStepявляется 2*pi/NumFFT, используется БПФ. В противном случае используется FRFT.

Типы данных: double

`'DampingFactor'` - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan
`1.5` (по умолчанию) | числовые

Коэффициент демпфирования для состава Карра-Мадана, определяемый как пара, разделенная запятыми, состоящая из 'DampingFactor' и скалярное числовое значение.

Типы данных: double

`'Quadrature'` - Тип квадратуры
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковый массив со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

Тип квадратуры, определяемый как разделенная запятыми пара, состоящая из 'Quadrature' и односимвольный вектор или строковый массив со значением 'simpson' или 'trapezoidal'.

Типы данных: char | string

`'ExpandOutput'` - Флажок для расширения выходных данных
`false` (выходы: `NINST`около-`1` векторы) (по умолчанию) | логический со значением `true` или `false`

Флаг для расширения выходных данных, указанный как разделенная запятыми пара, состоящая из 'ExpandOutput' и логическое:

true - если true, выходы: NRowsоколо- NColumns матрицы. NRows - количество ударов для каждого столбца, которое определяется Strike вход. Например, Strike может быть NRowsоколо-1 вектор или NRowsоколо-NColumns матрица. Если Strike пуст, NRows равно NumFFT. NColumns определяется размерами AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec, которые все должны быть скалярными или NColumnsоколо-1 векторы.
false - если false, выходы: NINSTоколо-1 векторы. Кроме того, входные данные Strike, AssetPrice, Settle, Maturity, и OptSpec все должны быть скалярными или NINSTоколо-1 векторы.

Типы данных: logical

Выходные аргументы

свернуть все

`Price` - Цены опционов
числовой

Цены опционов, возвращенные как NINSTоколо-1, или NRowsоколо-NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой

Удары, соответствующие Price, возвращено как NINSTоколо-1, или NRowsоколо-NColumns, в зависимости от ExpandOutput.

Подробнее

свернуть все

Вариант ванили

Вариант ванили - это категория вариантов, включающая только самые стандартные компоненты.

Вариант ванили имеет срок годности и простую цену страйка. Варианты в американском и европейском стиле классифицируются как варианты ванили.

Окупаемость опциона на ваниль выглядит следующим образом:

Для вызова: $\max (St - K$ , 0)
Для put: $\max (K - St$ , 0)

где:

St - цена базового актива в момент времени t.

K - цена удара.

Дополнительные сведения см. в разделе Параметр ванили.

Диффузионная модель Merton Jump

Модель диффузии прыжков Мертона (Merton (1976)) является другим расширением модели Блэка-Шоулза, где внезапные движения цен активов (как вверх, так и вниз) моделируются путем добавления параметров диффузии скачков с процессом Пуассона.

Стохастическое дифференциальное уравнение:

$\begin{array}{l} _{dSt} = (r -_{} q_{} -_{} λ pmc j)_{}_{Stdt} +_{}_{} \\ startStdWt +_{}_{} JStdPtprob \end{array}$ (dPt = 1) = λ pdt

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывный дивидендный выход.

Wt - процесс Вайнера.

J - случайный процентный размер скачка, обусловленный происходящим скачком, где ln(1 + J) обычно распределяется со $средним значением ln (_{1} + \frac{^{}}{мкJ}$ ) − δ22 и стандартным отклонением δ, а (1 + J) имеет логнормальное распределение:

$\frac{1}{(1 + \sqrt{J)}} {\frac{δ2āexp {− [ln (1 + J_{)} - \frac{^{(}}{} ln}{(^{1}}}^{} +$ мкJ) − δ22] 2δ22}

мкДж представляет собой среднее значение J для (мкДж > -1).

δ - стандартное отклонение ln(1 + J) для (δ≥ 0).

ƛp - годовая частота (интенсивность) процесса Пуассона Ptfor (ƛp ≥ 0).

λ - волатильность цены актива для (λ > 0).

Характеристическая функция $_{_{fMerton76j}} (start$ ) для j = 1 (измерение цен на активы) и j = 2 (измерение, нейтральное по отношению к риску):

$\begin{array}{l} _{_{}}_{_{}} fMerton76j=fBSjexp (_{} {λpτ (1_{}}^{{+μj}_{)} \frac{}{}} {mj+12 [_{(} 1}^{} {+μj}^{)^{}_{} iϕeδ2 \frac{(^{mjiϕ}}{+}} (iϕ)_{} 22)_{} −1] \\ −λpτμjiϕ), где \\ _{{для}_{}} \frac{_{_{}} j=1,2:fBS1}{{(ϕ)}_{_{}} =fBS2} \\ _{} (ϕ-i) fBS2 (-i)_{} fBS2 (ϕ) \frac{^{}}{} =exp (\frac{{iϕ}^{[}^{}}{} lnSt + \\ _{} \frac{}{}_{} (r-q-σ22) \frac{}{τ} \end{array}$ ]−ϕ2σ22τ) m1=12, m2 =−12

где

start- переменная характеристической функции.

start- время до наступления зрелости (start= T- t).

i - единичное мнимое число (i2 = -1).

Формулировка Карр-Мадан

Формулировка Карра и Мадана (1999) является популярной модифицированной реализацией структуры Хестона (1993).

Вместо того, чтобы вычислять вероятности P1 и P2 как промежуточные шаги, Карр и Мадан разработали альтернативное выражение, так что принятие его обратного преобразования Фурье дает цену опциона непосредственно.

$\begin{array}{l} Вызов (k) \frac{^{}}{}_{}^{}^{} =e−αkπ∫0∞Re[e−iukψ (u) \\ ] dustart(\frac{^{u)}_{=} e - rstartf2 (start= (u}{^{} - (α^{} + 1) i)} \\ ) α2 + α - u2 +^{iu (} {2α}_{} +^{1)} \end{array}$ Пут (K) = вызов (K) + Ke − r

где

r - непрерывная безрисковая ставка.

q - непрерывный дивидендный выход.

St - цена актива в момент времени t.

start- время до зрелости (start= T-t).

Call (K) - цена вызова при ударе K.

Пут (К) - цена пут при ударе К

i - единичное воображаемое число (i2 = -1)

start- переменная характеристической функции.

α - коэффициент демпфирования.

u - это переменная характеристической функции для интегрирования, где start= = (u - (α + 1) i).

f2 (start) является характеристической функцией для _P2.

P2 - вероятность St > K в рамках нейтральной по риску меры для модели.

Чтобы применить FFT или FRFT к этой формулировке, переменная характеристической функции для интегрирования u дискретизируется в NumFFT(N) точек с размером шага CharacteristicFcnStep (Δu), и логарифмический удар k дискретизируется в N точек с размером шага LogStrikeStep(Δk).

Дискретизированная переменная характеристической функции для интегрирования uj (для j = 1,2,3,..., N) имеет минимальное значение 0 и максимальное значение (N-1) (Δu) и аппроксимирует диапазон непрерывного интегрирования от 0 до бесконечности.

Дискретизированная логарифмическая решетка, kn (для n = 1, 2, 3, N) приблизительно центрирована вокругln(St), с минимальным значением

$\ln (_{} St) \frac{}{−}$ N2Δk

и максимальное значение, равное

$\ln (_{} St) \frac{+}{} (N2 -$ 1) Δk

Где минимально допустимый удар

$_{} Штексп (\frac{-}{}$ N2Δk)

и максимально допустимый удар

$_{} Stexp [\frac{(}{} N2 - 1)$ Δk]

В результате дискретизации выражение для опции вызова становится

$Вызов (_{} kn) \frac{^{_{}}}{}_{}^{}^{=Δue−αknπ∑j=1NRe[e−iΔkΔu (j - 1)^{(n_{}} - \frac{1)}{} eiuj_{[}} NΔk2_{-} \ln_{}$ (St)] (uj)] wj

где

Δu - размер шага переменной дискретизированной характеристической функции для интегрирования.

Δk - размер шага дискретизированного логарифмического удара.

N - количество точек БПФ или БПФ.

wj - веса квадратуры, используемые для аппроксимации интеграла.

FFT используется для оценки вышеуказанного выражения, если Δk и Δu подвержены следующему ограничению:

$ΔkΔu = \frac{(}{}$ 2πN)

в противном случае функции используют метод FRFT, описанный в Chourdakis (2005).

Ссылки

[1] Бейтс, Д. С. «Скачки и стохастическая волатильность: процессы обменного курса, неявные в опционах Deutsche Mark». Обзор финансовых исследований. Том 9. № 1. 1996.

[2] Карр, П. и Д. Б. Мэдан. «Оценка опциона с использованием быстрого преобразования Фурье». Журнал вычислительных финансов. Том 2. № 4. 1999.

[3] Конт, Р. и П. Танков. Финансовое моделирование с процессами перехода. Chapman & Hall/CRC Press, 2004.

[4] Чурдакис, К. «Опционное ценообразование с использованием дробного БПФ». Журнал вычислительных финансов. 2005.

[5] Мертон, Р. «Ценообразование опциона, когда возврат базового запаса является прерывистым». Журнал финансовой экономики. Том 3. 1976.

См. также

Темы

Представлен в R2018a

Документация

optByMertonFFT

Синтаксис

Описание

Примеры

Рабочий процесс печати поверхности цены опциона с использованием модели Merton76

Входные аргументы

`Rate` - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

`Settle` - Дата расчета опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

`Maturity` - Дата погашения опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

`OptSpec` - Определение опциона
массив ячеек символьного вектора со значениями `'call'` или `'put'` | строковый массив со значениями `"call"` или `"put"`

`Strike` - Цена страйка опциона
числовой

`Sigma` - Волатильность базового актива
числовой

`MeanJ` - Среднее значение случайного процентного размера скачка
десятичное число

`JumpVol` - Стандартное отклонение `log`(1 + J)
десятичное число

`JumpFreq` - Ежегодная частота процесса перехода Пуассона
числовой

Аргументы пары «имя-значение»

`'Basis'` - Дневная основа прибора
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`,`1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

`'DividendYield'` - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов
`0` (по умолчанию) | числовые

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции признака
`4096` (по умолчанию) | числовые

`'CharacteristicFcnStep'` - Переменный шаг сетки характеристической функции
`0.01` (по умолчанию) | числовые

`'LogStrikeStep'` - Интервал между решетками каротажа
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | числовые

`'DampingFactor'` - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan
`1.5` (по умолчанию) | числовые

`'Quadrature'` - Тип квадратуры
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковый массив со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

`'ExpandOutput'` - Флажок для расширения выходных данных
`false` (выходы: `NINST`около-`1` векторы) (по умолчанию) | логический со значением `true` или `false`

Выходные аргументы

`Price` - Цены опционов
числовой

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой

Подробнее

Вариант ванили

Диффузионная модель Merton Jump

Формулировка Карр-Мадан

Ссылки

См. также

Темы

Документация по инструментам для финансовых инструментов

Поддержка

Документация

optByMertonFFT

Синтаксис

Описание

Примеры

Рабочий процесс печати поверхности цены опциона с использованием модели Merton76

Входные аргументы

Rate - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка десятичное число

AssetPrice - Текущая базовая цена актива числовой

Settle - Дата расчета опциона серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

Maturity - Дата погашения опциона серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

OptSpec - Определение опциона массив ячеек символьного вектора со значениями 'call' или 'put' | строковый массив со значениями "call" или "put"

Strike - Цена страйка опциона числовой

Sigma - Волатильность базового актива числовой

MeanJ - Среднее значение случайного процентного размера скачка десятичное число

JumpVol - Стандартное отклонение log(1 + J) десятичное число

JumpFreq - Ежегодная частота процесса перехода Пуассона числовой

Аргументы пары «имя-значение»

'Basis' - Дневная основа прибора 0 (по умолчанию) | числовые значения: 0,1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13

'DividendYield' - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов 0 (по умолчанию) | числовые

'NumFFT' - Количество точек сетки в переменной функции признака 4096 (по умолчанию) | числовые

'CharacteristicFcnStep' - Переменный шаг сетки характеристической функции 0.01 (по умолчанию) | числовые

'LogStrikeStep' - Интервал между решетками каротажа 2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep (по умолчанию) | числовые

'DampingFactor' - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan 1.5 (по умолчанию) | числовые

'Quadrature' - Тип квадратуры "simpson" (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:'simpson' или 'trapezoidal' | строковый массив со значениями: "simpson" или "trapezoidal"

'ExpandOutput' - Флажок для расширения выходных данных false (выходы: NINSTоколо-1 векторы) (по умолчанию) | логический со значением true или false

Выходные аргументы

Price - Цены опционов числовой

StrikeOut - Удары, соответствующие Price числовой

Подробнее

Вариант ванили

Диффузионная модель Merton Jump

Формулировка Карр-Мадан

Ссылки

См. также

Темы

Документация по инструментам для финансовых инструментов

Поддержка

`Rate` - Постоянно усложняемая безрисковая процентная ставка
десятичное число

`AssetPrice` - Текущая базовая цена актива
числовой

`Settle` - Дата расчета опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

`Maturity` - Дата погашения опциона
серийный номер даты | вектор символов даты | datetime | строковый массив

`OptSpec` - Определение опциона
массив ячеек символьного вектора со значениями `'call'` или `'put'` | строковый массив со значениями `"call"` или `"put"`

`Strike` - Цена страйка опциона
числовой

`Sigma` - Волатильность базового актива
числовой

`MeanJ` - Среднее значение случайного процентного размера скачка
десятичное число

`JumpVol` - Стандартное отклонение `log`(1 + J)
десятичное число

`JumpFreq` - Ежегодная частота процесса перехода Пуассона
числовой

`'Basis'` - Дневная основа прибора
`0` (по умолчанию) | числовые значения: `0`,`1`, `2`, `3`, `4`, `6`, `7`, `8`, `9`, `10`, `11`, `12`, `13`

`'DividendYield'` - Постоянно увеличиваемая базовая доходность активов
`0` (по умолчанию) | числовые

`'NumFFT'` - Количество точек сетки в переменной функции признака
`4096` (по умолчанию) | числовые

`'CharacteristicFcnStep'` - Переменный шаг сетки характеристической функции
`0.01` (по умолчанию) | числовые

`'LogStrikeStep'` - Интервал между решетками каротажа
`2*pi/NumFFT/CharacteristicFcnStep` (по умолчанию) | числовые

`'DampingFactor'` - Коэффициент демпфирования для состава Carr-Madan
`1.5` (по умолчанию) | числовые

`'Quadrature'` - Тип квадратуры
`"simpson"` (по умолчанию) | символьный вектор со значениями:`'simpson'` или `'trapezoidal'` | строковый массив со значениями: `"simpson"` или `"trapezoidal"`

`'ExpandOutput'` - Флажок для расширения выходных данных
`false` (выходы: `NINST`около-`1` векторы) (по умолчанию) | логический со значением `true` или `false`

`Price` - Цены опционов
числовой

`StrikeOut` - Удары, соответствующие `Price`
числовой